天然肠衣搭配问题最新版本

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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设

2、置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： 日期：_年_月日天然肠衣搭配问题摘要本文主要是对天然肠衣搭配问题进行探讨与研究，建立线性规划数学模型，利用LINGO编程，得到符合实际的最优方案。文章以成品规格表和原料描述表 为参考依据，采用整数规划，分别从“最大捆数、最优方案和时间限制”三个方 面建立优化模型，利用LINGO编程最优求解，最终制作出了一套科学、合理和 实用的搭配方案。本文分三步解决问题，具体如下：首先，通过分析题设，按照要求（1）、（ 3）和（4）,建立“最大捆数”的优 化模型。根据文中给出的三

3、种成品规格，我们建立了三个求最大捆数的整数规划 模型。考虑到剩余原料可以降级规格使用， 我们采用“倒序”原则，利用LINGO 编程，先算出第三种规格的最大捆数，接着把剩余原料米的6根和米的1根降级到第二种规格搭配使用，以此类推，LINGO运行得到三种规格的最大捆数，分别为134捆,41捆和16捆。其次，根据最大捆数，本文得到两个具体的搭配方案。方案一是根据材料使 用情况建立最大损失函数模型，通过LINGO编程得到搭配方案（表5 4）。方案 二是按照原料的最大利用原则建立优化模型，利用LINGO编程得到搭配方案（表 5 5），按照要求（2），比较两个方案的剩余原料（表5 6），档次低的原料越 多

4、，搭配方案越好。我们最终选择方案二。对剩余原料再次替代，得到优化方案 （表 5 7 ）。最后，考虑到食品保鲜，要求 30 分钟内产生方案，而第三规格原料数据太 多，给程序运行带来困难，我们对模型改进。把第三规格原料分成 5 个批次（表 5 9、5 10 ），对每个批次分别建模，求出的最大捆数分别 32,32,32,18,1。9 然后 通过 LINGO 编程分别求出各个批次的搭配方案（表 5 11、5 12、5 13）。 最后剩余的 5根，利用替代原则，再优化 1捆，得到最终的搭配方案 （表5 14）。关键词： 整数规划 LINGO 搭配方案 最优求解 天然肠衣1 问题重述天然肠衣的制作加工首先

5、要经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），然后进入组装工序。传统的生产方式就是人工边丈量原料长度边心算，将 原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。原料按长度分档，以 0.5米为一档，附表 1是几种常见成品的规格，长度单位为米， 表示没有上限，但实际长度小于 26 米。为了提高生产效率， 公司计划改变组装工艺， 先丈量所有原料， 建立一个原 料表。附表 2 为某批次原料描述。根据以上成品和原料描述， 设计一个原料搭配方案， 工人根据这个方案 “照 方抓药”进行生产。公司对搭配方案有以下具体要求：（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长

6、的成品越多，方案越好；（3）为提高原料使用率，总长度允许有 0.5 米的误差，总根数允许比标准 少1根；（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级规格使用。如长度为 14米的原料可以和长度介于 7 - 13.5米的进行捆扎，成品属于 7-13.5米的规格；（5）为了食品保鲜 ,要求在 30 分钟内产生方案。根据上述问题建立数学模型，给出求解方法，并对附表 1、附表 2 给出的实 际数据进行求解，给出搭配方案。2 问题分析 问题中要求根据成品规格和原料描述， 以及公司对搭配方案的具体要求， 设 计一个原料的最优搭配方案。2.1对最大捆数的分析制作原料的搭配方案，首先要确定最大捆数。考虑到文中要

7、求（1）装出的成品捆数越多越好，因此把三个规格的最大捆数作为目标函数。文中的要求（3）指出总长度可以允许 0.5 米的误差，鉴于最大捆数的要求， 把要求（ 3）作为约束条件对目标函数进行优化。文中（ 4）要求，如果原料有剩 余，可以考虑降级规格使用。所以，先求第三种规格的最大捆数。此规格中剩余 的原料，降级使用，安排到第二种规格里面，作为新的长度档，参与第二种规格 的分配。同理，第二种规格中剩余的原料降级到第一种规格使用。对建立的目标函数，根据题目的约束条件，进行 LINGO 编程，运行得到最 大捆数为 191 捆。2.2对最优搭配方案的分析在求出最大捆数的前提下， 通过建立不同的目标函数得到

8、两种优化模型： 一 种是按照原料的最大损失函数建立的优化模型， 另一种是根据原料的最大利用原 则建立优化模型， 通过 LINGO 分别编程，得出两种搭配方案。 鉴于文中要求 （2） 提出：最短长度最长的成品越多， 方案越好， 我们选择第二种方案作为最终搭配 方案。要求（ 3）中提出：总长度允许有 0.5 米误差、总根数允许比标准 20根 少一根。在满足要求（ 3）的前提下，又把剩余的原料中档次较高的去替代档次 较低的，使得搭配方案更加合理优化，达到了最优的搭配效果。 2.3改进的最优搭配方案根据第二种方案，利用 LINGO 编程，可以很快的求出原料第一、二规格的 具体搭配方案。 但是在求第三种

9、规格搭配方案时， 由于数据较多， 程序运行会占 用很多时间，从而不满足要求（ 5）中的食品保鲜，即要求 30 分钟内产生方案。本文对搭配方案模型进行改进，采用“化整为零”的思想优化模型：把第三 规格原料分成 5 个批次，对每个批次分别建模，再用 LINGO 进行编程，求出最 大捆数分别 32,32,32,18,1。9 然后通过对每个批次建立最优搭配模型， LINGO 编 程分别求出各个批次的搭配方案。 最后剩余的 5 根，利用替代原则，再优化 1 捆， 得到最终的搭配方案（表 5 14 ）3 模型假设1）假设分割后的肠衣没有损坏；2）假设原料的丈量误差忽略不计；3）假设原料的分档无误；4）假设

10、肠衣在捆装的过程中不出现断裂；5）假设电脑运行正常；6）假设在测量长度时不出现重叠；7）假设工人可以看懂搭配方案；8）假设肠衣在制作过程中不收缩变形；9）假设不考虑温度、湿度等外界因素对肠衣质量的影响；4 符号说明Xi :第一种规格中的总捆数x3 ：第二种规格中的总捆数X5 :第三种规格中的总捆数i1,2,3,8i1,2,3,9i0,1,2,3,4i1,2,3,9i 0,1,2, ,8i 1,2,3, ,16 j 1,2,3,11x1i :第一种规格中的第 i 档次X3i :第二种规格中的第1 9档次x4i :第二种规格中的第 10 14档次X5i :第三种规格中得第1 9档次X6i :第三种

11、规格中的第10 18档次aij :第一种规格的第 i 捆中第 j 档的根数bij ：第二种规格的第 i 捆中第 j 档的根数i 1,2,3, ,41 j 1,2,3, ,16cij ：第三种规格的第 i 捆中第 j 档的根数i 1,2,3, ,134 j 1,2,3, ,205 模型建立与求解5.1最大捆数的模型建立与求解根据附表 1,2和公司要求（ 1），首先建立求最大捆数的优化模型 1 。考虑原 材料分为 3 6.5 米、7 13.5米、14 25.5米三个规格，根据每个规格求最大捆数， 求和得到原料的总的最大捆数。要求（ 4）中提到，剩余原料可以降级使用。因 此先求第三规格的最大捆数，建

12、立目标函数 1 ：max x5要求（ 3）为提高原料的使用率，总长度允许有0.5 米的误差，以此约束条件：88.5x5 14x5114.5x5215x5315.5x5416x5516.5x5617x5717.5x5818x5918.5x6019x6119.5x6220x6320.5x6421x6521.5x6622x6722.5 x 6823.5x6925.5x7089.5x5（）第三种规格中每捆 5 根，得到另一约束条件：60xi 5x5（）i 51每档的根数不能超过现有根数，约束为：x5135x5229x5330x5442x5528x5642x5745x5849x5950x6064x615

13、2x6263x6349x6435x6527x6616x6712x682利用LINGO软件进行编程（附录一）计算2，得出第三种规格中各档使用根数（表5-1）和总的最大捆数X5134捆档次X51X52X53X54X55X56X57X58X59X60使用 根数35293042284245495064档次X61X62X63X64X65X66X67X68X69X70使用 根数52634935271612200表5 1由表5 1知，第三种规格中X69和X70有剩余。根据要求4中降级使用，把剩余的根数X69 6和X70 1降级到第二种规格进行计算（根据 LINGO内置算法编号不能有断层，所以将X69和X70

14、重新编号为X45和X46 ），作为两个新档。求第二种规格最大捆数，建立目标函数:maxX3约束条件:88.5x3 7x317.5x32 8x338.5x34 9x359.5X3610x3710.5x3811X3911. 5X4012 X4112.5X4213X4313 5X4423.5X4525.5X4689.5x346X3124X3224X3320X3425X3521 X3623X3721X3818X3931X4023X4122X4259 X4318X4425X456X461(5.1.6)利用LINGO软件进行编程（附录二）计算得出第二种规格各档使用根数（表Xi8X3i 315-2）和总的最

15、大捆数X341捆档次X31X32X33X34X35X36X37X38使用 根数017182521232118档次X39X40X41X42X43X44X45X46使用 根数31232259182561表5 2由表5 2得出第二种规格中X3!、X32和X33有剩余，根据要求4可降级使用,把剩余的根数X31 24、X32 7和X33 2降级到第一种规格中进行计算。得第一 种规格最大捆数的目标函数：约束条件：88.5x13Xn3.5x124x134.5x146.5x187X197.5X2c）8x2121Xi20x1i 1121Xi19X1i 11Xu 43X1259 x1339X14X1734X18

16、21X1924maxX15X155.5x16 6X1789.5x1（）（）（）41X1527X1628X20 7 X21 2（利用LINGO软件进行计算（附录三）得出第一种规格中各档使用根数（表5-3）和总的最大捆数为Xi 16捆档次X11X12X13X14X15X16X17X18X19X20X21使用根数43563932272834212400由表 5 3 得出第一种规格中 x12 、 x14 、 x20 和 x21 有剩余 ,剩余的根数为x123、x149 、 x20 7 和 x21 2 。5.2 选择最优搭配方案在满足成品捆数越多越好的情况下， 本文得到了两个具体的搭配方案。 方案 一是

17、根据材料使用情况建立最大损失函数模型， 通过 LINGO 编程得到搭配方案。 方案二是按照原料的最大利用原则建立优化模型，利用 LINGO 编程得到搭配方 案。按照要求（ 2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案 越好；就是说两个方案剩余的原料，档次低的原料越多，搭配方案越好，所以只 需要比较第一种规格即可。 比较方案一和方案二剩余原料的根数， 本文最终选择 方案二。具体建模如下：方案一：通过构建损失函数， 并使得损失函数值最大 （损失的最大也就是卖出的最少但获得的利润不变） 。根据提高使用率的要求和给定原料的根数，采用 线性规划的方法，建立模型如下：16161616max 3

18、 43 ai1 3.5 59 ai2 4 39ai3 4.5 41 ai4i1i 1i1i116 16 16 165 27 ai5 5.5 28ai66 34 ai 7 6.5 21ai8i116i1167ai108i1i1162ai11i1i17 24ai9i17.5约束条件为：1616161616ai143ai259 ai339ai441ai5 27i1i1i1i1i11616161616ai628ai734ai821 ai924ai10 0i1i1i1i1i1ai110i 119aj 1j20i 1,2,3,16(88.5 3ai13.5ai24ai 345ai45 ai 55.5ai6

19、 6 ai76舸87ai97.5 ai108 ai1189.5()我们用LINGO软件计算，得到结果（附录四）。经过EXCEL处理得出表5 4 :33.43, 53.94-4, 5- 95-5, 45. 5-5.966. i乩5-6.377.47. 57.98_3. 4捆数 单根3第1捆01021010024001988. 5第2捆1000000090001983.5第3捆6000211000001988. 5第4捆0201500002001999.5第5捆02627001100198S. 5篥6捆091010800001988.5第了捆26000100100019S8. 5Rsa091010

20、300001983. 5第时出0311200200011983. 5第gF困0110002060001983. 5第让2110150000001980. 5第佗0611100002002083. 513；la11000001701988. 5第1主la0011015200001983, 5第垃1200000000701983.50015000012Q11988. 5所用根數込593941272820211372剩余根数0000014000方案二：从原料的最大利用的角度来考虑。根据提高原料使用率的要求和给定的原料根数，采用线性规划的方法，进行模型的建立与求解。具体模型如下:16161616161

21、6max 3ai13.5ai2 4ai34.5ai45ai55.5ai6i 1i 1i 1i 1i 1i 116161616166 ：3i76.5ai8 7ai97.5ai108ai11)i 1i 1i 1i 1i 1约束条件为:1616161616a)143ai256ai339ai432ai527i 1i 1i 1i 1i 11616161616ai6 28ai734ai821ai924ai100i 1i 1i 1i 1i 1ai110i 119ajj 12Q（i 1,2,16）（）88.5 3 ai13.5 ai24 ai34.5a 4 5ai55.5ai66 a7 6.5a 87 a9

22、7.5 ai1Q8 ai1189.5（）用LINGO软件进行计算，得出结果（附录五）。然后经过EXCEL处理得出XX3. 43.53 944 44.54.955 +5. 5-5.9&-& 5-T-7.47.57.9Fi_BY单捆 才瞰单捆 $度0110007001001勺闊710L03B0LI001?3950&C1&000a0他690111600100c：8 E1g1021c050D用圧9La000090001勺的第世0IEa01000601勺B9第潘255c10$0Q0030 5第9捆11a000000300闪&9第10D10a001q001勺62r0021600弟勲由0a00&020003

23、8.5第13捆25o07041Q00第14捆11li100230第诽01200pg的1150021a0D用&943se3932ET2634212400利金根齣0300QCoQ72根据要求（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，也就 是在剩余的根数里，最短的根数越多方案就相对越好。 由此，比较方案一与方案 二相剩余的根数（表5 6 ）。档次33.43.53.94.Q-4.44.54.95.Q-5.45.55.96.Q-6.46.56.97.Q-7.47.57.98.Q-8.4一剩QQQQQQ14Q6QQ二剩Q3Q9QQQQQ72根据题目要求对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品

24、越多方案越好，所以采用方案二。对方案二剩余原料根据要求（4）进行替代，得到更好的搭配方案（表5 7）应用方案二，可以得到第二中规格的搭配方案,即以总长度最大为目标函数,X33.43 5-4-4- 44.54 95-5. 45.S-5 966 4?-7.47.57 930. 4单捆 根数捆It 单云第l捆01100Ta0119旳5第T10037i00019E9 521001600019旳5第001118000L1969.5第5捆19102L0411939 531U0U00=510uig船丐第丁捆1Z001Q511969.52吕301070119C9 5第邮11a00071L959. 5策捆010

25、000SI0019EQ. 5G22002151019S9.5策览捆900610169 52S0004010019SO 5第均捆111110Ez113S9. 50011511100n19E9 5第逅捆10015010199. 5所用根數425T3932pi2330ig230Q剩余银数12090042t11建立模型:max 7i10.513.541bi1i 141bi8i 141bi14i 1417.5bi 2i 14111i 1bi923.541bi3i 111.541bi15i 18.541bi 4i 141419.5ibi64110 bi7i 141bi10i 125.541414112bi

26、1112.5b 1213bi1341bi16i 1(5.2.7)约束条件:88.57bi17.5b i 2 8bi38.5 bi 49bi59.5bi610bi710.5bi811 bi 911.5bi104112bi1112.55213bi1313.5bi1423.5bi1525.5bi1689.5( )bi141bi2i 14117bi 3 18i 141bi4i 14125bi5 21i 1、77. 47,57. g8S. 4858 9y- Q 49 59 0io-10 410 s-io gIlli .41L5-11.91212 412-512. 91313. 413,513. Q23.

27、523 g25.52S. g单捆单捆 长度第1捆a00c2z0010E100S3. 5g(?QD9QQ0Q1L21000?88 5橐捆000004O000031000883.5.毂捆010200i0000014000889000210000c050000363.500Dc1D00cI40000363.5001Da11000电0100aoa. 50000010600i0000883.5笔0000r040I00300003ee s第询捆003000000030z00863.5Mil0100c20000L40000860.5弟拦捆00,D1i10001040000a68.5第13捆00D0c0040

28、3I00000s63.5温価00Dza010z0Q0z1003前.5第15捆0201Q0000cL10300aS3 5第堆捆000Da12020Q30001839第L捆001L0010Q014100Q0883.5第捆0203c0D0000200103as第1勺捆a01Zc0000cI0400ass第20捆000L30300c000010aas弟霍拥3Ela000u00104uubay000Dc1050d00c2003的1第站堀0120nE.000200000018第24捆0020c200000004008第25拥Z0a0000百00020D8第&捆D0,DDc200204000003讯舷捆D3

29、D0a000000L0400a8S00D0i040000I0200863 5第霍捆00D0300n0Q2100839第汕拥0000a0Q71Q000009ee.s第3：捆0021201000010010383.5第3?拥QQ10D0200001D388 5第翁捆000D2101010030008B3. S第捆00aD000510020003S3. 5第35捆0000C023100101003ea.s第36捆001L1000005G000388. 5幽据t)00L10002103000t)0前-500D110002103C0008施5D31DaO000300001nBSB 5第抽捆0100c00

30、0I4200000888.5第4；捆002DQ40Q01000D108讯所用艰数0IT132S212321ie3123225918256121720a0000Q000000bi6i 123bi 1i8 184141bi1122匕伐 59i 1i 14116b1617biji 1j 14141bi1318bi1425i 1i 1b7 21 b9 31i 1i 18 i 1,2,3,41用LINGO软件进行计算，得出结果（附录六）b 1023i 141bi156i 1,然后经过EXCEL处理得出根据第一、二两种规格的建模求解过程，可以类推出第三种规格的优化模型但是由于第三种规格的数据太多，一般计算

31、机运算时间的花费远远超过三十分 钟，不满足文中的要求（5）。为了解决这个问题，提出了改进的最优搭配方案。5.3改进的最优搭配方案在改进的最优模型中，采取分批计算原则，将第三种规格中所有根数按档次不同分成4份，前三份均匀分配，将剩余的放在第四份里（表 5 9 ）。第一份 根数第二份 根数第三份 根数第四份 根数14-14.49998777815-15.477791010101216-16.477771010101217-17.4111111121212121318-18.4121212141616161619-19.4131313251515151820-20.412121213999821-2

32、1.47776444422-22.433330002表5 9将第一份的根数按照5.1中求捆数的模型进行计算，用LINGO软件将最大捆 数和所用根数求出。对第四份进行求解时，又因为运行时间过长，我们又将其分 成两组计算（表5-10）。档14 _14. 5-15-16. 5-16-16. 5-17-17. 5-18-14.414.S15.415-916.416.917.417.918.4第一组根数44463&667第二组根数4463&661档LS.5-15-19. 5-20-20. E-2121. 5-2 2-22.5-18.919.419.520.420,321.421.922.422,9第一组

33、根数8M2I 97:100第二组根数812g742432表5 10经过计算分别得出第一批32捆，第二批32捆，第三批32捆，第四批18捆, 第五批19捆，最后剩余5根。将上述得到的捆数，按照5.2中方案二的模型进行计算（附录七），从而得出 方案（表 5-11,5-12 5-13）。结果是32捆的搭配方案的运行程序和结果（附录十）。结果是32捆的搭配方案为：X1卜14 4L4.514,915-1匚115 515J16-1.416.51717 417.517,9IBIS 4la. s13,9laid. 41.519 9aj-20.5歼i q?1-21.421 5JI 92222.4TLA22, Q

34、艰数0C100D030400o0Q|00D5B901D000aa2L000000s69第瑚QQ02010Va000uQ20QD5ea.s第20D000CJ000003000569.5QDQ1QS1uuQQuQQQJ5eg, 500J1000D0q口000000?5B9.5第斶00D0110?1D0200000569 5第瑚B1D000(200002B000J58S. 5第瑚0C0200(0003000005B9.5M1030D00111001L0000035es.s第1】捆00D100(j040000000j569.5M12S0010110000000020cD69.5第1瞞011000Cu0

35、00030000J569. 5第個00j100t102a:000t0j569.E第翊01D0000D3aa000100D509 5第斶0130200D00o00002005es. 5第1T廻1CD1000Daa0030D000569.5第1嗣2CD0000300a03000D569.5第屈Z0D000000D0Q30003569 51D0QQJJ00300000J5GB 50000020110口000100?5E9.5010Q02J00I0100J569 5DCD003(J000200000S88.5QQD000-：c1001QQ00J569.5M250C1000(J201L000003冒89

36、.510D0001j0ilJ300000j569.500D00002300000000j53900DT00(-1Q000000j5es.s010020.3000a00020369.50CZ1000D00a0000020S69.50C000102002o00D00009 5叙捆1C01000Da00o30D00056S.5971107101112IE16g15129743D剩余眾書00D000tJQ0a000000J表5 11结果是18捆的搭配方案的运行程序和结果（附录一）结果是18捆的搭配方案为:1414.414.f14.9F-15.:5.515.9l:-16.416,3IT*n.i17.5I

37、T. 9L0*19.4ISLE曲1919. 4nsns20-2D.42D. 52D. 9T2L. 21.5ZL.92222.:22. Eq4iaa 1 F楼數危丽1100000000&02100Q05051程也10000J1I000a00DD068r.F1 叙 tffl 12000000000D003000053讥1執魂01000u1I00Zu1000u5b砌捆01000100000300000058S.C幕湘010C00001Dg00u000038生上1郑湍0010010L10101000fl:5 |S0.51駅禍10010001000g00000fl051至4曲00200u0L000120

38、000:51 42191 10001L00L0010000LQ05S9.f1撤m 100010u0I040000000J51希厨10001Lu0i01020000flj5e?1重北捆00030u0i000I002I05第翻0000L11i10000010flj5CL l1軍哪0000030u001II10000058:. 5:1第低捆00000U2i03000000flj5BE.E1章翊100000U0400100000Qj5E勺1剜用100000U0140000000Qj58f电ie3G&G7312g?I:10:舸計般0000000I000J000000表5 12结果是19捆的搭配方案的运行程序和结果（附录十二）结果是19捆的搭配方案为:1” 114$ m a1595 415. S- 用dlais- 416.E-17*17. S-11IBIS 1ie.牛LS 9ifr19. E=La.2D2Q 1M 5-M.W2L21.521.922- 盈422.5-dFEE01Q00a0QD0050QQD0510D0