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1、 1 1升级增分训练 导数的综合应用（一）1设函数f(x)ln xax2xa1(aR)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当a0时，不等式f(x)x1在1，)上恒成立解：(1)当a时，f(x)ln xx2x，且定义域为(0，)，因为f(x)x1，(x0)当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，所以f(x)的单调增区间是；单调减区间是(2)证明：令g(x)f(x)x1ln xax2a，则g(x)2ax，所以当a0时，g(x)0在1，)上恒成立，所以g(x)在1，)上是增函数，且g(1)0，所以g(x)0在1，)上恒成立，即当a0时，不等式f(x)x1在1，)上恒成立2(20xx海
2、口调研)已知函数f(x)mx，g(x)3ln x(1)当m4时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若x(1，(e是自然对数的底数)时，不等式f(x)g(x)3恒成立，求实数m的取值范围解：(1)当m4时，f(x)4x，f(x)4，f(2)5，又f(2)6，所求切线方程为y65(x2)，即y5x4(2)由题意知，x(1，时，mx3ln x3恒成立，即m(x21)3x3xln x恒成立，x(1，x210，则m恒成立令h(x)，x(1，则mh(x)minh(x)，x(1，h(x)0，即h(x)在(1，上是减函数当x(1，时，h(x)minh()m的取值范围是3(20xx广西质检)
3、设函数f(x)cln xx2bx(b，cR，c0)，且x1为f(x)的极值点(1)若x1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；(2)若f(x)0恰有两解，求实数c的取值范围解：f(x)xb(x0)，又f(1)0，所以f(x)(x0)且c1，bc10(1)因为x1为f(x)的极大值点，所以c1，当0x1时，f(x)0；当1xc时，f(x)0；当xc时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，)；单调递减区间为(1，c)(2)若c0，则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增f(x)0恰有两解，则f(1)0，即b0，所以c0；若0c1，则f(x)极大
4、值f(c)cln cc2bc，f(x)极小值f(1)b，因为b1c，则f(x)极大值cln cc(1c)cln cc0，f(x)极小值c0，从而f(x)0只有一解；若c1，则f(x)极小值cln cc(1c)cln cc0，f(x)极大值c0，则f(x)0只有一解综上，使f(x)0恰有两解的c的取值范围为4(20xx福建省质检)已知函数f(x)axln(x1)，g(x)exx1曲线yf(x)与yg(x)在原点处的切线相同(1)求f(x)的单调区间；(2)若x0时，g(x)kf(x)，求k的取值范围解：(1)因为f(x)a(x1)，g(x)ex1，依题意，f(0)g(0)，即a10，解得a1，所
5、以f(x)1，当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0故f(x)的单调递减区间为(1,0)，单调递增区间为(0，)(2)由(1)知，当x0时，f(x)取得最小值0，所以f(x)0，即xln(x1)，从而exx1设F(x)g(x)kf(x)exkln(x1)(k1)x1，则F(x)ex(k1)x1(k1)，()当k1时，因为x0，所以F(x)x120(当且仅当x0时等号成立)，此时F(x)在0，)上单调递增，从而F(x)F(0)0，即g(x)kf(x)()当k1时，因为f(x)0，所以f(x)kf(x)由()知g(x)f(x)0，所以g(x)f(x)kf(x)，故g(x)kf(x)()当k1
6、时，令h(x)ex(k1)，则h(x)ex，显然h(x)在0，)上单调递增，又h(0)1k0，h(1)e110，所以h(x)在(0，1)上存在唯一零点x0，当x(0，x0)时，h(x)0，所以h(x)在0，x0)上单调递减，从而h(x)h(0)0，即F(x)0，所以F(x)在0，x0)上单调递减，从而当x(0，x0)时，F(x)F(0)0，即g(x)kf(x)，不合题意综上，实数k的取值范围为(，15(20xx石家庄质检)已知函数f(x)x3ax，g(x)exe(e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线与曲线yg(x)在(0，g(0)处的切线互相垂直，求实数a的值；(
7、2)设函数h(x)试讨论函数h(x)零点的个数解：(1)由已知，f(x)3x2a，g(x)ex，所以f(0)a，g(0)1，由题意，知a1(2)易知函数g(x)exe在R上单调递增，仅在x1处有一个零点，且x1时，g(x)0，又f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递减，且过点，f(1)a0，即f(x)在x0时必有一个零点，此时yh(x)有两个零点；当a0时，令f(x)3x2a0，两根为x10，x2 0，则 是函数f(x)的一个极小值点， 是函数f(x)的一个极大值点，而f3a 0；现在讨论极大值的情况：f3a ，当f0，即a时，函数yf(x)在(0，)上恒小于零，此时yh
8、(x)有两个零点；当f0，即a时，函数yf(x)在(0，)上有一个零点x0 ，此时yh(x)有三个零点；当f0，即a时，函数yf(x)在(0，)上有两个零点，一个零点小于，一个零点大于，若f(1)1a0，即a时，yh(x)有四个零点；若f(1)1a0，即a时，yh(x)有三个零点；若f(1)1a0，即a时，yh(x)有两个零点综上所述：当a或a时，yh(x)有两个零点；当a或a时，yh(x)有三个零点；当a时，yh(x)有四个零点6已知函数f(x)axbln x1，此函数在点(1，f(1)处的切线为x轴(1)求函数f(x)的单调区间和最大值；(2)当x0时，证明：ln；(3)已知nN*，n2，求证：ln n1解：(1)由题意得因为f(x)a，所以解得所以f(x)xln x1即f(x)1，又函数f(x)的定义域为(0，)，所以当0x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)，函数f(x)的最大值为f(1)0(2)证明：由(1)知f(x)xln x1，且f(x)0(当且仅当x1时取等号)，所以ln xx1(当且仅当x1时取等号)当x0时，由1，得ln 1；由1，得ln1lnln故当x0时，ln(3)证明：由(2)可知，当x0时，ln取x1,2，n1，nN*，n2，将所得各式相加，得lnlnln1，故ln n1
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