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1、人教版高中数学精品资料第二章2.42.4.2第2课时一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k()A2或2B1C2D3答案C解析由得k2x24(k2)x40，则4，即k2.2抛物线yx2的焦点关于直线xy10的对称点的坐标是()A(2，1)B(1，1)C(，)D(，)答案A解析yx2x24y，焦点为(0,1)，其关于xy10的对称点为(2，1)3过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则的值是()A12B12C3D3答案D解析设A(，y1)、B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有
2、y1y2p24，y1y243，故选D.4过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在答案B解析由定义|AB|527，|AB|min4，这样的直线有两条5已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是()A1B2CD答案D解析如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A，Q，B，由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2，又|PQ|y0，y02，y0.6设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|等于
3、()A9B6C4D3答案B解析设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)由题意知F(1,0)，因为0，所以x1x2x33.根据抛物线定义，有|x11x21x31336.故选B. 二、填空题7顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xy10所得弦长为，则抛物线方程为_.答案y212x或y24x解析设所求抛物线方程为y2ax(a0)直线变形为y2x1设抛物线截直线所得弦长为AB消y得(2x1)2ax整理得4x2(4a)x10|AB|解得a12或a4所求抛物线方程为y212x或y24x.8已知点F为抛物线y28x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上
4、，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值是_.答案2解析由|AF|4及抛物线定义得A到准线的距离为4.A点横坐标为2，A(2,4). 又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以|PA|PO|的最小值为：|AB|2.三、解答题9设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上且BCx轴，证明：直线AC经过原点O.解析因为抛物线y22px(p0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程设为：xmy代入抛物线方程得：y22pmyp20若记A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2p2因为BCx轴，且点C在
5、准线x上，所以点C的坐标为(，y2)，故直线CO的斜率为：k，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点.(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解析(1)如图所示，由，消去x得，ky2yk0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y21，y1y2.A、B在抛物线y2x上，yx1，yx2，yyx1x2.kOAkOB1，OAOB.(2)设直线与x轴交于点N，显然k0.令y0，得x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB1.SOAB，解得k.一、选择
6、题1(2015山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则yy的最小值为()A4 B6 C8 D10答案C解析当直线的斜率不存在时，其方程为x1，y4，y4，yy8.当直线的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k0)，由，得ky24y4k0，y1y2，y1y24，yy(y1y2)22y1y28，k20，yy8，综上可知，yy8，故yy的最小值为8.2已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.BCD答案D解析由题意知，准线方程为x2，
7、p4，抛物线方程：y28x，焦点坐标(2,0)设过A点的直线为yk(x2)3联立化简得y2y1604(16)0，k，k2(舍去)将k代入方程，y8，x8.B点坐标为(8,8)kBF.3(2016四川理，8)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM斜率的最大值为()A.BC.D1答案C解析设P(，t)，易知F(，0)，则由|PM|2|MF|，得M(，)，当t0时，直线OM的斜率k0，当t0时，直线OM的斜率k，所以|k|，当且仅当时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C.4已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C
8、：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A.BC D答案D解析设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由消去y得，k2x24x(k22)4k20，x1x2，x1x24.由抛物线定义得|AF|x12，|BF|x22，又|AF|2|BF|，x122x24，x12x22代入x1x24，得xx220，x21或2(舍去)，x14，5，k2，k0，k.二、填空题5已知F是抛物线y24x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|MF|的最小值是_.答案4解析过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|MF|MP|MN|PN
9、|4为所求最小值6在已知抛物线yx2上存在两个不同的点M、N关于直线ykx对称，则k的取值范围为_.答案k或k()2k2，k或k0)过点A(1，2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt由消去x得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t1.综上知：t1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.
人教版 高中数学【选修 21】习题第2章圆锥曲线与方程2.4.2第2课时
