新版高考数学一轮复习热点难点精讲精析：8.2直线与圆

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1、 1 1高考一轮复习热点难点精讲精析：8.2直线与圆一、圆的方程（一）圆的方程的求法相关链接1确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.2如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。3以为直径的两端点的圆的方程为4.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的

2、垂直平分线上；来源:(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任一弦的中垂直上；（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。例题解析例2(1)过点A(-2,4)、B(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程_；(2)求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.【方法诠释】(1)可设圆的方程的一般形式，利用A(-2,4)、B(3,-1)两点在圆上及该圆在x轴上截得的弦长等于6，得出三个方程，解方程组即可确定圆的方程；来源:(2)可先设圆心坐标为C

3、(a,b)，由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程.解析：(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B两点的坐标代入得，再令y=0，得x2+Dx+F=0，设x1、x2是方程的两根，由|x1-x2|=6得，D2-4F=36，来源:由,解得或因此，所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案：x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0(2)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：解得：半径因此，所

4、求圆的方程为：方法二：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为：x+y-4=0；又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方程为：3x-y-18=0，解方程组得：，以下同方法一.例2求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程。思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐。解答：（方法一） 设所求的圆的方程是，则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为，,即由于所求的圆与x轴相切，来源:又因为所求圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0联立，解得a=1,b=3,=9或a=-1,b=-3, =9.故所求的圆的方

5、程是：（方法二）设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心为，半径为令y=0，得x2+ Dx+ F =0，由圆与x轴相切，得=0，即D2-4F又圆心到直线x-y=0的距离为,由已知，得,即=又圆心在直线3x-y=0上，3D-E=0联立，解得D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。故所求圆的方程是=0或（二）与圆有关的最值问题相关链接1求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如的最值问题，可转化为点(a,b)和点(x,y)的直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=

6、(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。2特别要记住下面两个代数式的几何意义：表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，表示点（x,y）与原点的距离。例题解析例已知实数、满足方程。（1）求的最大值和最小值；（2）求-的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值。来源:学科网思路解析：化，满足的关系为理解，-，的几何意义根据几何意义分别求之。解答：（1）原方程可化为，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=，即。当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时，解得=。所以的最大值为，最小值为（2）-可看作是直线y=x+

7、b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得。所以-的最大值为，最小值为。（3）方法一：表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是。方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-10,即：x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1,（三）与圆有关的轨迹问题相关链接1解决轨迹问题，应注意以下几点：（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。（2）一般地，设点时

8、，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为等。（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。2求轨迹方程的一般步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)；第二步：写出适合已知条件的点M的集合P=M|P(M)；第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0；第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式.3.求与圆有关的轨迹方程的方法例题解析例设定点M（-3，4），动点N在圆上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分

9、，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。解答：如图所示，设P（x,y），N，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为。因为平行四边形的对角线互相平分，故。N（x+3,y-4）在圆上，故。因此所求轨迹为圆：，担应除去两点：（点P在OM所在的直线上时的情况）。（四）有关圆的实际应用例有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、

10、曲线外的居民应如何选择购物地点？思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决相关问题。解答：如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，|AB=10，A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，3a=a.化简整理，得（1）当P点在以（-，0）为圆心、为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等。来源:（2）当P点在上述圆内时，当P点在上述圆外时，注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化

11、为数学问题解决。二、直线、圆的位置关系（一）直线和圆的位置关系相关链接直线和圆的位置关系的判定有两种方法（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式来讨论位置关系，即0直线与圆相交;=0直线与圆相切;0直线与圆相离.来源:（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即dr直线与圆相切；d=r直线与圆相离。例题解析例已知圆（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；（2）与平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。思路解析：用配方法将圆的一般方程配成

12、标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。解答：（1）配方得：设圆心为(x,y)，则，消去m得则圆心恒在直线。（2）设与平行的直线是：，（3）对于任一条平行于且与圆相交的直线：，由于圆心到直线的距离（与m无关）。弦长=任何一条平行于且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。（二）圆与圆的位置关系相关链接1判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；2若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消

13、去项即可得到；3两圆公切线的条数（如下图）（1）两圆内含时，公切线条数为0；（2）两圆内切时，公切线条数为1；（3）两圆相交时，公切线条数为2；（4）两圆外切时，公切线条数为3；（5）两圆相离时，公切线条数为4。因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。例题解析例求经过两圆和的交点，且圆心在直线xy4=0上的圆的方程思路解析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程解答：因为所求的圆经过两圆（x

14、+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为展开、配方、整理，得+=+圆心为，代入方程xy4=0，得=7故所求圆的方程为注：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆 （三）圆的切线及弦长问题相关链接1求圆的切线的方法（1）求圆的切线方程一般有两种方法：代数法：设切线方程为与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判

15、别式=0进而求得k。几何法：设切线方程为利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。（2）若点在圆上，则M点的圆的切线方程为。2圆的弦长的求法（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则。来源:数理化网（2）代数法：设直线与圆相交于两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得则弦长为。例题解析【例】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1、C2的方程分别为(x+3)2+(y-1)2=4和(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直

16、线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为 ，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【方法诠释】(1)本题求直线方程，因为直线过点A(4,0)，所以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；(2)因为两直线都过同一点P(a,b)，设其中一条直线的斜率为k，由垂直及弦长相等，即可求出点P.解析：(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线

17、l被圆C1截得的弦长为所以，由点到直线的距离公式得：，从而k(24k+7)=0，即k=0或，故直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P(a,b)满足条件，由题不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a)(k0)，则直线l2的方程为y-b=- (x-a)，因为圆C1和圆C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk，即(a+b-2)k=b-a+

18、3或(a-b+8)k=a+b-5，因为k的取值有无穷多个，所以或解得：或这样的点P只可能是点P1()或P2()，当k=0时，对于P1点，P2点经验证符合题意.综上可得:P点的坐标为()或().（四）直线、圆位置关系的综合应用例如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为, 点在边所在直线上（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的方程解析：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，来源:所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为-3分（II）由解得点的坐标为， -4分来源:因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心 -6分又从而矩形外接圆的方程为-9分（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即-11分故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为 -14分