全国数学中考试卷分类汇编：直线和圆的位置关系

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1、+数学中考教学资料2019年编+中考全国100份试卷分类汇编直线和圆的位置关系1、（2013常州）已知O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与O的位置关系是（）A相离B相切C相交D无法判断考点：直线与圆的位置关系3718684分析：根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：dr；相切：d=r；相离：dr；即可选出答案解答：解：O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，65，即：dr，直线L与O的位置关系是相交故选；C点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键2、（13年山东青岛、7）直线与半径的圆O相交，且点O到直线的距离为6

2、，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、答案：C解析：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，所以选C。3、（2013黔东南州）RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A2cmB2.4cmC3cmD4cm考点：直线与圆的位置关系分析：R的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值解答：解：RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42=25，AB=5；又AB是C的切线，CDAB，CD=R；SABC=ACBC=ABr；r=

3、2.4cm，故选B点评：本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点4、（2013凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（3，1），C（3，1），D（2，2），E（0，3）（1）画出ABC的外接圆P，并指出点D与P的位置关系；（2）若直线l经过点D（2，2），E（0，3），判断直线l与P的位置关系考点：直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；作图复杂作图专题：探究型分析：（1）在直角坐标系内描出各点，画出ABC的外接圆，并指出点D与P的位置关系即可；（2）连接OD，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可解答：解：（1

4、）如图所示：ABC外接圆的圆心为（1，0），点D在P上；（2）连接OD，设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，P（1，0）、D（2，2），解得，此直线的解析式为y=2x+2；设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，D（2，2），E（0，3），解得，此直线的解析式为y=x3，2（）=1，PDPE，点D在P上，直线l与P相切点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键圆的切线1、（2013济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G若AF的长为2，则FG的长为（）A4BC

5、6D考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理专题：计算题分析：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由ABAF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长解答：解：连接O

6、D，DF为圆O的切线，ODDF，ABC为等边三角形，AB=BC=AC，A=B=C=60，OD=OC，OCD为等边三角形，ODAB，又O为BC的中点，D为AC的中点，即OD为ABC的中位线，ODAB，DFAB，在RtAFD中，ADF=30，AF=2，AD=4，即AC=8，FB=ABAF=82=6，在RtBFG中，BFG=30，BG=3，则根据勾股定理得：FG=3故选B点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键2、(2013年武汉)如图，A与B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若CED，ECD，B的半

7、径为R，则的长度是（ ）A B C D 答案：B解析：由切线长定理，知：PEPDPC，设PECz所以，PEDPDE（xz），PCEPECz，PDCPCD（yz），DPE（1802x2z），DPC（1802y2z），在PEC中，2z（1802x2z）（1802y2z）180，化简，得：z（90xy），在四边形PEBD中，EBD（180DPE）180（1802x2z）（2x2z）（2x1802x2y）（1802y），所以，弧DE的长为：选B。3、（2013雅安）如图，AB是O的直径，C、D是O上的点，CDB=30，过点C作O的切线交AB的延长线于E，则sinE的值为（）ABCD考点：切线的性质；圆

8、周角定理；特殊角的三角函数值分析：首先连接OC，由CE是O切线，可得OCCE，由圆周角定理，可得BOC=60，继而求得E的度数，则可求得sinE的值解答：解：连接OC，CE是O切线，OCCE，即OCE=90，CDB=30，COB=2CDB=60，E=90COB=30，sinE=故选A点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用4、（2013泰安）如图，已知AB是O的直径，AD切O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）AOCAEBEC=BCCDAE=ABEDACOE考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

9、专题：计算题分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；由C为弧BE中点，即弧BC=弧CE，利用等弧对等弦，得到BC=EC，选项B正确；由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到DAE=ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误解答：解：A点C是的中点，OCBE，AB为圆O的直径，AEBE，OCAE，本选项正确；B=，BC=CE，本选项正确；CAD为圆O的切线，ADOA，DAE+EAB=9

10、0，EBA+EAB=90，DAE=EBA，本选项正确；DAC不一定垂直于OE，本选项错误，故选D点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键5、（2013白银）如图，O的圆心在定角（0180）的角平分线上运动，且O与的两边相切，图中阴影部分的面积S关于O的半径r（r0）变化的函数图象大致是（）ABCD考点：动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义专题：计算题分析：连接OB、OC、OA，求出BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案解答：解：

11、连接OB、OC、OA，圆O切AM于B，切AN于C，OBA=OCA=90，OB=OC=r，AB=ACBOC=3609090=（180），AO平分MAN，BAO=CAO=，AB=AC=，阴影部分的面积是：S四边形BACOS扇形OBC=2r=（）r2，r0，S与r之间是二次函数关系故选C点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键6、（2013黔西南州）如图所示，线段AB是O上一点，CDB=20，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则E等于（）A50B40C60D70考点：切线的性质

12、；圆周角定理分析：连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角CDB的度数，求出圆心角COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出E的度数解答：解：连接OC，如图所示：圆心角BOC与圆周角CDB都对弧BC，BOC=2CDB，又CDB=20，BOC=40，又CE为圆O的切线，OCCE，即OCE=90，则E=9040=50故选A点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题

13、熟练掌握性质及定理是解本题的关键7、（2013毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作O交BC于点M、N，O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则O的半径和MND的度数分别为（）A2，22.5B3，30C3，22.5D2，30考点：切线的性质；等腰直角三角形分析：首先连接AO，由切线的性质，易得ODAB，即可得OD是ABC的中位线，继而求得OD的长；根据圆周角定理即可求出MND的度数解答：解：连接OA，AB与O相切，ODAB，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，AOBC，ODAC，O为BC的中点，OD=AC=2；DOB=45，MN

14、D=DOB=22.5，故选A点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、切线长定理以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用8、（2013台湾、17）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（）A5B6CD考点：切线的性质；正方形的性质分析：求出正方形ANOM，求出AM长和AD长，根据DE=DM求出即可解答：解：连接OM、ON，四边形ABCD是正方形，AD=AB=11，A=90，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，OMA=ONA=90=A，OM=ON，四边形ANOM是正方形，

15、AM=OM=5，DE与圆O相切于E点，圆O的半径为5，AM=5，DM=DE，DE=115=6，故选B点评：本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM长和得出DE=DM9、(2013年江西省)平面内有四个点A、O、B、C，其中AOB=120，ACB=60，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是 【答案】2，3，4.【考点解剖】 本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力【解题思路】 由AOB=120，AO=BO=

16、2画出一个顶角为120、腰长为2的等腰三角形，由与互补，是的一半，点C是动点想到构造圆来解决此题【解答过程】 【方法规律】 构造恰当的图形是解决此类问题的关键.【关键词】 圆 整数值10、（2013苏州）如图，AB切O于点B，OA=2，OAB=30，弦BCOA，劣弧的弧长为（结果保留）考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算专题：计算题分析：连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且AOB为60度，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到OBC为60度，又OB=OC，得到三角形B

17、OC为等边三角形，确定出BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长解答：解：连接OB，OC，AB为圆O的切线，ABO=90，在RtABO中，OA=2，OAB=30，OB=1，AOB=60，BCOA，OBC=AOB=60，又OB=OC，BOC为等边三角形，BOC=60，则劣弧长为=故答案为：点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键11、2013咸宁）如图，在RtAOB中，OA=OB=3，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为2考点：切线的性质；等腰直角三角形分析：首先连接O

18、P、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，可得当OPAB时，线段OP最短，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案解答：解：连接OP、OQPQ是O的切线，OQPQ；根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，当POAB时，线段PQ最短，在RtAOB中，OA=OB=3，AB=OA=6，OP=3，PQ=2故答案为：2点评：本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当POAB时，线段PQ最短是关键12、（2013恩施州）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60的扇形，则扇形的周长为6+考点：相切两圆的性质；含30度角的直角三角形；切线的性质

19、；弧长的计算分析：首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长解答：解：如图所示：设O与扇形相切于点A，B，则CAO=90，AOB=30，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60的扇形，AO=1，CO=2AO=2，BC=2=1=3，扇形的弧长为：=，则扇形的周长为：3+3+=6+故答案为：6+点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长公式等知识，根据已知得出扇形半径是解题关键13、（2013哈尔滨）如图，直线AB与O相切于点A，AC、CD是O的两条弦，且CDAB，若O 的半径为，CD=4，则弦AC的长为 考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。分析：本题考查的是垂径定理的

20、应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。解答：连接OA,作OECD于E,易得OAAB,CE=DE=2，由于CDAB得EOA三点共线，连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=14、（2013杭州）射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒）考点：切线的性质；等边三角形的性质专题：分类讨

21、论分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；解答：解：ABC是等边三角形，AB=AC=BC=AM+MB=4cm，A=C=B=60，QNAC，AM=BMN为BC中点，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60，分为三种情况：如图1，当P切AB于M时，连接PM，则PM=cm，PMM=90，PMM=BMN=60，MM=1cm，PM=2MM=2cm，QP=4cm2cm=2cm，即t=2；如图2，当P于AC切于A点时，连接PA，则CAP=APM=90，PMA=BMN=60，AP=cm，PM=1cm，QP=4cm1

22、cm=3cm，即t=3，当当P于AC切于C点时，连接PC，则CPN=ACP=90，PNC=BNM=60，CP=cm，PN=1cm，QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3t7时，P和AC边相切；如图1，当P切BC于N时，连接PN3则PN=cm，PMNN=90，PNN=BNM=60，NN=1cm，PN=2NN=2cm，QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3t7或t=8点评：本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊15、（2013天津）如图，PA、

23、PB分别切O于点A、B，若P=70，则C的大小为55（度）考点：切线的性质3718684分析：首先连接OA，OB，由PA、PB分别切O于点A、B，根据切线的性质可得：OAPA，OBPB，然后由四边形的内角和等于360，求得AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案解答：解：连接OA，OB，PA、PB分别切O于点A、B，OAPA，OBPB，即PAO=PBO=90，AOB=360PAOPPBO=360907090=110，C=AOB=55故答案为：55点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用16、（2013白银）如图，在O中，半径OC垂

24、直于弦AB，垂足为点E（1）若OC=5，AB=8，求tanBAC；（2）若DAC=BAC，且点D在O的外部，判断直线AD与O的位置关系，并加以证明考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理专题：计算题分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在RtAEC中根据正切的定义可得到tanBAC的值；（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到AOC=2BAC，由于DAC=BAC，所以AOC=BAD，利用AOC+OAE=90即可得到BAD+OAE=90，然后根据切线的判定方法得AD为O的切线解答：解：（1）半径OC垂直于弦A

25、B，AE=BE=AB=4，在RtOAE中，OA=5，AE=4，OE=3，EC=OCOE=53=2，在RtAEC中，AE=4，EC=2，tanBAC=；（2）AD与O相切理由如下：半径OC垂直于弦AB，AC弧=BC弧，AOC=2BAC，DAC=BAC，AOC=BAD，AOC+OAE=90，BAD+OAE=90，OAAD，AD为O的切线点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理17、（2013四川宜宾）如图，AB是O的直径，B=CAD（1）求证：AC是O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时

26、，求AF的值考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质分析：（1）证明ADCBAC，可得BAC=ADC=90，继而可判断AC是O的切线（2）根据（1）所得ADCBAC，可得出CA的长度，继而判断CFA=CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在RtAFD中利用勾股定理可得出AF的长解答：解：（1）AB是O的直径，ADB=ADC=90，B=CAD，C=C，ADCBAC，BAC=ADC=90，BAAC，AC是O的切线（2）ADCBAC（已证），=，即AC2=BCCD=36，解得：AC=6，在RtACD中，AD=2，CAF=CAD+DAE=ABF+BAE=AFD，CA=CF=6，

27、DF=CACD=2，在RtAFD中，AF=2点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式18、（13年北京5分20）如图，AB是O的直径，PA，PC分别与O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E。（1）求证：EPD=EDO（2）若PC=6，tanPDA=，求OE的长。解析：考点：圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）19、（13年北京8分25）对于平面直角坐标系O中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得APB=60，则称P为C 的关联点。已知点D（，

28、），E（0，-2），F（，0）（1）当O的半径为1时，在点D，E，F中，O的关联点是_；过点F作直线交轴正半轴于点G，使GFO=30，若直线上的点P（，）是O的关联点，求的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。解析：【解析】(1) ； 由题意可知，若点要刚好是圆的关联点； 需要点到圆的两条切线和之间所夹的角度为；由图可知，则，连接，则；若点为圆的关联点；则需点到圆心的距离满足；由上述证明可知，考虑临界位置的点，如图2；点到原点的距离；过作轴的垂线，垂足为；易得点与点重合，过作轴于点；易得；从而若点为圆的关联点，则点必在线段上；(2) 若线段上的所有点

29、都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段的中点；考虑临界情况，如图3；即恰好点为圆的关联时，则；此时；故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为. 【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于倍半径的点.了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.考点：代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）20、（2013福省福州20）如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点M，弦MNBC交A

30、B于点E，且ME=1，AM=2，AE=（1）求证：BC是O的切线；（2）求的长考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形分析：（1）欲证明BC是O的切线，只需证明OBBC即可；（2）首先，在RtAEM中，根据特殊角的三角函数值求得A=30；其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得BON=2A=60，由三角形函数的定义求得ON=；最后，由弧长公式l=计算的长解答：（1）证明：如图，ME=1，AM=2，AE=，ME2+AE2=AM2=4，AME是直角三角形，且AEM=90又MNBC，ABC=AEM=90，即OBBC又OB是O的半径，BC是O的切线；（2）解：如图，连接ON

31、在RtAEM中，sinA=，A=30ABMN，=，EN=EM=1，BON=2A=60在RtOEN中，sinEON=，ON=，的长度是：=点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可21、（2013甘肃兰州10分、27）已知，如图，直线MN交O于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1

32、）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得ODE=DEM=90，且D在O上，故DE是O的切线（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有ACDADE根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径解答：（1）证明：连接ODOA=OD，OAD=ODA（1分）OAD=DAE，ODA=DAE（2分）DOMN（3分）DEMN，ODE=DEM=90即ODDE（4分）D在O上，DE是O的切线（5分）（2）解：AED=90，DE=6，AE=3，（6分）连接CDAC是O的直径，ADC=AED=90（7分）CAD=DAE，ACDADE（8分）则AC=15（cm）（9分）O的半径是7.5cm（10分）

33、点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题22、(2013年广东省9分、24)如题24图,O是RtABC的外接圆,ABC=90,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BEDC交DC的延长线于点E.(1)求证：BCA=BAD;(2)求DE的长;(3)求证:BE是O的切线.解析：(1)AB=DB,BDA=BAD,又BDA=BCA,BCA=BAD.(2)在RtABC中，AC=,易证ACBDBE,得,DE=(3)连结OB,则OB=OC,OBC=OCB,四边形ABCD内接于O,BAC+BCD=180,又BCE

34、+BCD=180,BCE=BAC,由(1)知BCA=BAD,BCE=OBC,OBDEBEDE,OBBE,BE是O的切线.23、(2013年广东湛江)如图，已知是O的直径，为O外一点，且， .（）求证：为O 的切线；（）若，求的长解：（） 是O的直径，又， ，为O 的切线。（），由（）知，在中，的长为8。24、（2013湖州）如图，已知P是O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦ABOC，劣弧AB的度数为120，连接PB（1）求BC的长；（2）求证：PB是O的切线考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理分析：（1）首先连接OB，由弦ABOC，劣弧AB的度数为120，易证得OBC是

35、等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=2，OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得P=CBP，又由等边三角形的性质，OBC=60，CBP=30，则可证得OBBP，继而证得PB是O的切线解答：（1）解：连接OB，弦ABOC，劣弧AB的度数为120，弧BC与弧AC的度数为：60，BOC=60，OB=OC，OBC是等边三角形，BC=OC=2；（2）证明：OC=CP，BC=OC，BC=CP，CBP=CPB，OBC是等边三角形，OBC=OCB=60，CBP=30，OBP=CBP+OBC=90，OBBP，点B在O上，PB是O的切线点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三

36、角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用25、（2013泰州）如图，AB为O的直径，AC、DC为弦，ACD=60，P为AB延长线上的点，APD=30（1）求证：DP是O的切线；（2）若O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积考点：切线的判定；扇形面积的计算分析：（1）连接OD，求出AOD，求出DOB，求出ODP，根据切线判定推出即可；（2）求出OP、DP长，分别求出DOB和三角形ODP面积，即可求出答案解答：（1）证明：连接OD，ACD=60，由圆周角定理得：AOD=2ACD=120，DOP=180120=60，APD=30，ODP=1803060=90，ODDP，O

37、D为半径，DP是O切线；（2）解：P=30，ODP=90，OD=3cm，OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm，图中阴影部分的面积S=SODPS扇形DOB=33=（）cm2点评：本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力26、（2013南宁）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于点D，DEAC于点E，BE交O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P（1）求证：DE是O的切线；（2）求tanABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形3718684专题：证明题分析

38、：（1）连结AD、OD，根据圆周角定理得ADB=90，由AB=AC，根据等腰三角形的直线得DC=DB，所以OD为BAC的中位线，则ODAC，然后利用DEAC得到ODDE，这样根据切线的判定定理即可得到结论；（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tanABE的值；（3）由AB是O的直径得AFB=90，再根据等角的余角相等得EAP=ABF，则tanEAP=tanABE=，在RtEAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股定理可计算出AP解答：（1）证明：连结AD、OD，如图，AB是O的直径，ADB=90，AB=AC，AD垂直平分BC，即DC=DB，OD为BAC的中位线，OD

39、AC，而DEAC，ODDE，DE是O的切线；（2）解：ODDE，DEAC，四边形OAED为矩形，而OD=OA，四边形OAED为正方形，AE=AO，tanABE=；（3）解：AB是O的直径，AFB=90，ABF+FAB=90，而EAP+FAB=90，EAP=ABF，tanEAP=tanABE=，在RtEAP中，AE=2，tanEAP=，EP=1，AP=点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线也考查了圆周角定理和解直角三角形27、（2013钦州）如图，在RtABC中，A=90，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，

40、连接OD，已知BD=2，AE=3，tanBOD=（1）求O的半径OD；（2）求证：AE是O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算3718684专题：计算题分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tanBOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积扇形

41、DOF的面积扇形EOG的面积，求出即可解答：解：（1）AB与圆O相切，ODAB，在RtBDO中，BD=2，tanBOD=，OD=3；（2）连接OE，AE=OD=3，AEOD，四边形AEOD为平行四边形，ADEO，DAAE，OEAC，又OE为圆的半径，AC为圆O的切线；（3）ODAC，=，即=，AC=7.5，EC=ACAE=7.53=4.5，S阴影=SBDO+SOECS扇形BODS扇形EOG=23+34.5=3+=点评：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键28、（2013玉林）如图，以ABC的B

42、C边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC（1）求证：AC是O的切线：（2）若BF=8，DF=，求O的半径r考点：切线的判定分析：（1）连接OA、OD，求出D+OFD=90，推出CAF=CFA，OAD=D，求出OAD+CAF=90，根据切线的判定推出即可；（2）OD=r，OF=8r，在RtDOF中根据勾股定理得出方程r2+（8r）2=（）2，求出即可解答：（1）证明：连接OA、OD，D为弧BE的中点，ODBC，DOF=90，D+OFD=90，AC=AF，OA=OD，CAF=CFA，OAD=D，CFA=OFD，OAD+C

43、AF=90，OAAC，OA为半径，AC是O切线；（2）解：O半径是r，当F在半径OE上时，OD=r，OF=8r，在RtDOF中，r2+（8r）2=（）2，r=，r=（舍去）；当F在半径OB上时，OD=r，OF=r8，在RtDOF中，r2+（r8）2=（）2，r=，r=（舍去）；即O的半径r为点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算的能力29、（2013安顺）如图，AB是O直径，D为O上一点，AT平分BAD交O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C（1）求证：CT为O的切线；（2）若O半径为2，CT=，求AD的长考点：切线的判定与

44、性质；勾股定理；圆周角定理分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CTOT，CT为O的切线；（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角OAE中，利用勾股定理即可求解解答：（1）证明：连接OT，OA=OT，OAT=OTA，又AT平分BAD，DAT=OAT，DAT=OTA，OTAC，（3分）又CTAC，CTOT，CT为O的切线；（5分）（2）解：过O作OEAD于E，则E为AD中点，又CTAC，OECT，四边形OTCE为矩形，（7分）CT=，OE=，又OA=2，在RtOAE中，AD=2AE=2（10分）点评：本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可

45、以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题30、（2013六盘水）在RtACB中，C=90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且CBD=A（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长考点：切线的判定分析：（1）连接OD，DE，求出ADE=90=C推出DEBCEDB=CBD=A，根据A+OED=90求出EDB+ODE=90，根据切线的判定推出即可； （2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出ADEACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可解答：（1）直线BD与O的位置

46、关系是相切，证明：连接OD，DE，C=90，CBD+CDB=90，A=CBD，A+CDB=90，OD=OA，A=ADO，ADO+CDB=90，ODB=18090=90，ODBD，OD为半径，BD是O切线；（2）解：AD：AO=6：5，=，由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10，AE是直径，ADE=C=90，CBD=A，ADEACB，DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，BC=3，BD=点评：本题考查了切线的判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力31、（2013黔东南州）如图，在直角三角形ABC中，ABC=90（1）先

47、作ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）证明：AC是所作O的切线；（3）若BC=，sinA=，求AOC的面积考点：作图复杂作图；切线的判定分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出O；（2）根据切线的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案解答：（1）解：如图所示：（2）证明：过点O作OEAC于点E，FC平分ACB，OB=OE，AC是所作O的切线；（3）解：sinA=，ABC=90，A=30，ACB=OCB=ACB=30，BC=，AC=2，BO=tan

48、30BC=1，AOC的面积为：ACOE=21=点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键32、（2013年河北）如图16，OAB中，OA = OB = 10，AOB = 80，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. （1）点P在右半弧上（BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80得OP. 求证：AP = BP； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离； （3）设点Q在优弧上，当AOQ的面积最大时，直接写出BOQ的度数. 解析：（1）证明：如图2，AOP=AOB+BOP=80+BOP.BOP=POP+

49、BOP=80+BOPAOP=BOP2分又OA=OB，OP=OPAOPBOP4分AP=BP5分（2）解：连接OT，过T作THOA于点HAT与相切，ATO=906分=87分=,即=TH=，即为所求的距离9分（3）10，17011分【注：当OQOA时，AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】33、（2013牡丹江）如图，点C是O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC（1）求证：CD是O的切线；（2）若半径OB=2，求AD的长考点：切线的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理3718684专题：证明题分析：（1）由于BO=BD=BC，即DB为ODC的边OC的中线，且有DB=OC，则ODC=

50、90，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由AB为O的直径得BDA=90，而BO=BD=2，则AB=2BD=4，然后根据勾股定理可计算出AD解答：（1）证明：连结OD，如图，BO=BD=BC，BD为ODC的中线，且DB=OC，ODC=90，ODCD，而OD为O的半径，CD是O的切线；（2）解：AB为O的直径，BDA=90，BO=BD=2，AB=2BD=4，AD=2点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了直角三角形的判定方法、勾股定理34、（2013鄂州）已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点

51、F（1）求证：DE为O的切线（2）求证：AB：AC=BF：DF考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质3718684专题：证明题分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=BDA=90，求出1=4，2=3，推出4+3=1+2=90，根据切线的判定推出即可；（2）证ABDCAD，推出=，证FADFDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF解答：证明：（1）连结DO、DA，AB为O直径，CDA=BDA=90，CE=EA，DE=EA，1=4，OD=OA，2=3，4+3=90，1+2=90，即：EDO=90，OD是半径，DE为O的切线；（2）3+DBA=90，3+4=90，4=DBA，CDA=BDA=9

52、0，ABDCAD，=，FDB+BDO=90，DBO+3=90，又OD=OB，BDO=DBO，3=FDB，F=F，FADFDB，=，=，即AB：AC=BF：DF点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目35、（2013恩施州）如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30，CF=2，求GA的长考点：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质3718684专题：证明题分析：（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OCAE，而CGAE，所以CGOC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得ACB=90，B=1，而CDAB，则CDB=90，根据等角的余角相等得到B=2，所以1=2，于是得到AF=CF；（3）在RtADF中，由于DAF=30，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AFCG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，