2.3离散型随机变量的均值与方差

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1、2-323离散型随机变量 的均值和方差、复习回顾1v离散型随机变量的分布列X兀1x2 X； pPlPi Pi 2、离散型随机变量分布列的性质:(1) p0, i = l, 2,；(2) px+p2 + +Pi+=1=J对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.二、互动探索I、某人

2、射击10次，所得环数分别是：1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4；(1) 设他所得环数为X,求X的分布列求他所得的平均环数是多少？1、某人射击10次，所得环数分别是：1, 1, 1,1 2 2 2 3 3 4-(1) 5设龜朋得規城为乂求X的分布列(2) 求他所得的平均环数是多少？(1)环数为X的可能所取的值为什么，1, 2, 3, 4,其分布列X123P4321010104- -XX2)3加权平均1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4一、离散型随机变量取值的平均值数学期望 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：XxxX2 x. PPi

3、Pl Pi Pn则称EX =兀卫1 + x2p2 +兀皿+ + 几为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。匕1、随机变量E的分布列是g135P0.5().30.2则E=242、随机变量g的分布列是g47910p0.3ab0.2EK7.5.则 a= 01 b二 04若Y=aX+b,其中a, b为常数，X为随机变量;写出随机变量Y的分布列；(2)求Y的均值。解:由题意，知Y也为随机变量，贝!J P(Y)=P(aX+b)=P(X= X)二口 ,i=l,2,3,所以，Y的分布列为：Yaxx+bax2+baxn+bPPlp2Pn(2)E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b

4、)p2+. .+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+. .+xnpn)+b(p1+p2+. .+pn) =aE(X)+b 即 E(aX+b)= aE(X)+b例1篮球比赛中，罚球命中一次得I分，不中得0分, 如果某运动员罚球命中的概率为07,那么他罚球1次的得 分X的均值是多少？解： P(X = 1) = 07, P(X= 0) = 0.3. EX = lxP(X = l) + 0xP(X = 0)=lx 0.7 + 0x 0.3 = 0.7一般地，如果随机变量X服从二点分布，那么E(X)=1 Xp + OX (l-p)=p于是有若X服从二点分布，|E(X)=哄若X B(n, p)则由

5、9：=叱二得E(X) = kC：pyik=0k=ln-1FP为c：严k=0若X服从二项分布，则E(X)= nPo归纳求离散型随机变量的均值（期望）的步骤： 、确定离散型随机变量可能的取值。 、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、求出均值（期望）。2.2.1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X,X2分布列如下：X】8910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4从以数据你能否说明谁的射击水平高?解 EXt=9,EX2=9表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1,你赢 10元；出现2或3或4,你输3元；出现

6、5或6,不输不鼠这 场赌博对你是否有利？X10-30P111623Eg = x 10 + x (-3)+ % 0 = - 对你不利!劝耒莫歩餉赌博.3、某商场要将单价分别为18元他，24元/kg, 36元/kg的3种糖果按3： 2： 1的比例混合销售, 如何对混合糖果定价才合理？解：把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列:X182436P321666X=18x- + 24x- + 36x - = 23（元/焙）236攸IJ2. 次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其 中有且仅有一个选项正确，每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分学生甲选对任一题的概率为0. 9,学生

7、乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是 I和 T,则 B (20, 0. 9), T1 B (20, 0. 25), 所以=20X0.9 = 18, Ei =20X0. 25=5由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5和5.这样，他们在测验中的成绩 的期望分别是E(5E)=5E =5X18=90, E(5t)=5Eti =5X5=25 思考:学生甲左这次劝试中的成绩一定会是90分吗?他的 均值为90分的含义是什么？不一定，其含义是在多次类似的测试中,他的平均

8、成绩大约是90分例3 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为001该地区某工地上有一台大型 设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失 10 000元为保护设备，有以下3种方案：方案运走设备,搬运费3 800元；方案2:建保护围墙，建设费为2 000元但围墙只能防 才、方案3:不釆取措施.试比较哪一种方案好学解:用心X2和X3分别表示三种方案的损失 釆用第1种方案，无论有无洪水,都损失3 800元，即X=3 800 釆用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=6200076;没有大洪水时，损失2000元，即62000有大洪水2000无大

9、洪水方案3:不采取措施.采用第3种方案，有X36000Q有大洪水;= 10000有小洪水;0,无洪水于是，E(X1)=3800,E(X2)=62000 X P(X2=62000)+2000 X P(X2=2000)=62000 X 0.01+2000 X (1-0.01)=2600E(X3)=60000 X P(X3=60000)+10000 X P(X3=10000)+0 X P(X3=0)=60000 X 0.01+10000 X 0.25=3100显然採取方案2的损失最小，所以可以选择方案2值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失” 而得出的.一般地，我们可以这样来理解“平均损失”:假

10、设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2 将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是 最好的冏壹齒练A1. 口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球，以表示取出球的最大号码，则F(值的是(6A. 4B. 4.5 C. 4.75 D. 52. 若随机变量X服从二项分布B 4, | ,则EX的值为 D丿(A )A 48138A.gB.gC.-D.g3若随机变量fB(n,0.6),且Eg=3,则P(=l)的值是()CA 2 X 0.44 B 2 X 0.45 C 3 X 0.44 D 3 X 0.644已知X的概率

11、分布如下，E(X) = 7.5,贝_7X4a910P0.30.1b0.25.若随机变量X的分布列是P(x=k)= 01仁094-心0,1, 234则().4离散型随机变量的均值的理解(1) 均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平 均.(2) E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它 描述X取值的平均状态.变量Y=aX+b的均值.EaX+ b)=aE(X) + b说明随机变量X的线性函数Y= aX+ b 的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线 性函数，此式可有以下几种特殊形式：课题：离散型随机变量的方差三维目标：1 通过实例理解离散型随机变量方差的概念，能计算

12、简单 离散型随机变量的方差.2理解离散型随机变量方差的性质并掌握两点分布、二项 分布的方差.3 会利用离散型随机变量的方差，反映离散型随机变量 取值水平，解决一些相关的实际问题.教学重难点:重点：离散型随机变量方差的概念与计算方法难点：离散型随机变量方差的性质及应用题教学时间：2012年5月7日第十四周星期一温故而知新1、离散型随机变量x的均值(数学期望) EX二*p,反映了离散型随机变量取值的平均水平.1=12、均值的性质E(aX+b) = aEX +b3、两种特殊分布的均值(1) 若随机变量X服从两点分布，则EX = p(2) 若 X B(n, p),则 EX = “发现两个均值Q探究要从

13、两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X的分布列为5678910P0.030.090.200.310.27OelOX256789P0.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛?第二名同学击中目标靶的环数AT?的分布列为碣=8 ,空=8 % Q因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.想。除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？(1)分别画出X ,X?的分布列图.P壬2(2)比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定? 第二名同学的成绩更稳定.曇？怎样刻画随机变量的稳定性？O新课对于一组数据的稳定

14、性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.一组数据的方差：_在一组数：X1fx2，心中，各数据的平均数为, 则冠组数据的方差为：S? = (Xj x )2 + (x2 x )2 + + (x/f x )2类似于这个概念，我们可以定义随机变量的方差.a定义离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地，若离散型随机变量$的概率分布列为:兀1兀2 X； PP1P1 Pi Pn则称= （Xx-E2Pl + +（ 一砖）2必+（兀厂磅）2p” 一砖为随机变量&的方差.初洛 为谥如i变量g的标准差.注意：它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量丿它们的值越小丿则随机变量偏离于 均值的平均程度越小，

15、即越集中于均值丿稳定性越大Q练习1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.X5678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.200.410.33109D(xJ = 2-8)2P(X=i) D(X2)=工(/-8)2P(X2 = 0=忙50,/=5= 0.82因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.里？如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 甞应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？X89p3626116X的分布列321EX =8x- +

16、9x- + 12x- = 9 6 6 63 2 1DX =(8-9)2x- + (9-9)2x- + (12-9)2x- = 26 6 6X可能取值的方差为199o10DX = - x (8 - 9)2 + (9 - 9)2 + (12 - 9)2 = y随机变量X的方差 与X可能取值的方7Q差何时相等一13XP133iii29EX =8x- + 9x- + 12x- = 333329 129 9 129 9 1DY =(8)2x- + (9)2x- + (12)2x-X可能取值的方差为DX = | X (8 - y )2 + (9 - y )2 + (12 - y )2 随机变量的方差与样本

17、的 方差有何区别和联系、一 亠课本P66厶一力 随机变量的方差是常数，样本的方差是随机变量；对于简单随机样本,随着样本容量的增加，样本平均 值越来越接近于总体方差，因此常用样本方差来估计总体 方差样本1 n3随着不同样本值的变化而变化公式方差区1 - n-或标准差随着不同样本值的变化而变化，反映数据偏离平均数的 平均程度，方差越 小，偏离程度越小.离散型随机变量丘（X）=工xpi=1是一个常数D(X) =(Xi-E(X)2 忖 i=l是一个常数，反映随 变量取值偏离均值的 平均程度，方差越小, 偏离程度越小.a练习1.已知随机变量X的分布列X01p0.30.7解：EX =0.7DX = (0-

18、0.7)2 x0.3+(l-0.7)2 x0.7 = 03x0.7 = 0.21小结：若X服从两点分布，则 D(x) = p(lp)(2)若 X B(n, p),则 (X)= p)2.若随机变量X满足P (X=c) =1,其中c为常数,求EX和DX.解：EX=cXl=c DX (cc) 2X1=O。结论根据期望的定义可推出下面三个重要结论: 结论1：若rj = ag+b，则励=皿+ ； 结论2：若f服从两点分布，则 结论2：若p),贝!le= np.那么 根据方差的定义你能推出类似的什么结论: 可以证明，对于方差有下面三个重要性质:(1)(2)若X服从两点分布,则 D(X)= p(l-p)(3

19、)若 X B(n.p),则D(X)= npQ p)例如：已知某离散型随机变量d的分布列如下，贝k = ().4 ，数学均值(期望)，方差庆=().8012pa0.20.42 般地，如果随机变量X服从两点分布，那么DX =P(lP)3. 一般地：随机变量与随机变量满足关系“ =其中q, b为常数，贝Wri= 4. 若p),贝(1 .卩)例如：设B(n, p),且$=2.4, Z)d=L44,求，p.n = 6 p=0.4例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差.课本P66例4解：抛掷骰子所得点数X的分布列为X123456p111111666666从而 E(X)=

20、lx- + 2x- + 3x- + 4x- + 5x- + 6x- = 3.5v 7 6 6 6 6 6 6D(X)= (l-3.5)2x- + (2-3.5)2xi + (3-3.5)2xl + (4-3.5)2xi6 6 6 64 92+ (5 3.5)2 x + (6 35尸6yDX 1.71例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如 下信息蛊获得相应职位的概率P20.2 0.1甲单位不同职位月工资X/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X?/元1000 1400 1800 2200根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单

21、位?比什么？ 怎么比？1比均值 2比方差E(XJ= 1200 X 0.4+1400 X 0.3+1600 X 0.2+1800 X 0.1=1400 E(X2)=1000 X 0.4+1400 X 0.3+1800 X 0.2+2200 X 0.1=1400D(X0= (1200-1400)2 X0.4 + (1400-1400 )2 X 0.3+ (1600 -1400 尸 X 0.2+(1800-1400)2 X 0.1= 40 000 D(X2)= (1000-1400)2X0.4+(1400-1400)2X0.3+(1800-1400)2X0.2 + (2200-1400 )2 X 0

22、.1=160000 . 因为E(X1)=E(X2),所以两家单位的工资均值相等，D(X1)D(X2),但甲单位不同职位的工资相对集中， 乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些,就 选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就速鼻力单位.1.已知随机变量g的分布列为：P(g=k)=，+k= 1,2,3,则 D(3g+5) = () AA. 6B9C3D42.设$B（弘p）.且毋=12,贝肮与p的值分另u为()C12A. 18,3B 12, 321C. 18,3D 12, s3已知r| = 3g+丄且Dg=13,那么Dr|的值为（）oA. 39 B 117

23、C 39D 11718解析：Q=D(3g+ )j=9Z)f=9X 13=117.答案：B4设随机变量XB(e p),且EX=16 DX=1.28,贝U A )A. = 8, p=02C n = 5, p=0.32B n=4, p=OAD n=7, p=0A55.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若EXfDX=1,贝ia=, b=X-1012pabc112解析：由题知 a+b+c=巧，一a+c_l_=0,l2Xa+ 12X cd-22X J2 f 解得 a=巨，b=g.题型四期望与方差的综合应用【例4】（14分）（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检,其中有一等品126件，二等

24、品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为J（1）求E的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%, 等品 率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4. 73万元，则 三等品率最多是多少？分析 求g的分布列时，要先求g取各值时的概率.解 （1） 2的所有可能取值有6, 2, 1,-21P（ I =6）= 0.63 二0.63,2200P（E 二2）二竺二025 =0. 25,3200P（=l）= 31 = 01 二0 1,4/ x 200 4 *P g 二2）二= 0.02 5,200故E的分布列为g621-2P0.630. 250. 10.02(2)E(g)二6X0.63+2X0. 25+1X0.1+ (-2) X0.02=4. 349f（3）设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E( g )=6X0. 7+2X (1-0. 7-0.01-x)+lXx+(-2)X0.01=4. 76-x(0WxW029)12f依题意，E( g )三473,即476-x$473,解得xW00313r所以三等品率最多为3%14