大数定理与中心极限定理(全面版)资料

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1、大数定理与中心极限定理（全面版）资料基本内容大数定理与中心极限定理一、大数定理概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列极限定理称为大数定理。定理1(bernoulli 定理)设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数总有lim Pn注：定理说明，当n很大时，事件A发生的频率与概率有较大的差别的 可能性很小，因而在实际中便可以用频率来代替概率。定理2设随机变量 Xi, X2, -r, Xn,相互独立且具有相同的数学期望和方差：E(XJ,D(XJ2, (i 1,2,)作n个随机变量的算术平均数Xi, n i 1对于任意正数，总有lim P

2、Xlim P|nXin i 1注：定理说明，当n充分大时，算术平均数 必然接近于数学期望。二、中心极限定理在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以 正态分布为极限这一类定理称为 中心极限定理。定理3 如果随机变Xk(i 1,2,)独立同分布，且E(Xk), D(Xk)2 0,1,2,，则limnnXkPi 1 席x X -tie 2 dt注：无论各个随机变量Xk(i 1,2, -)具有怎样的分布，只要满足定理基本内容备注n条件， 那么它们的和Xk当n很大时，近似服从正态分布。i 1例1 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱 平均重50kg，标准重为5k

3、g.右用最大载重量为 5吨的汽车承运，试用中心极 限定理说明每车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。解 设Xi(i 1,2,., n)为装运第i箱的重量，n是所求的箱数。由题意可把Xi,X2,.,Xn看作独立同分布的随机变量，令nYn Xi X2 XnXi,则Y,就是这n箱货物的总重量。i 1又、*E(XJ 50,D(Xi) 25,E(Yn)50n, D(Yn)25n.由中心极限定理，有5000 50nP(Y, 5000)=0.977(2),Wn从而，有严2,n 98.0199,Vn故最多可以装98箱。定理4设随机变量X服从参数为n, p的二项分布，则对于任意x,恒有t2.D

4、X npx 1T .Iim P -xdt.nJnpq- 2证 可将X看作是n个独立同服从(0-1 )分布的随机变量nXk(i 1,2,)之和，即 XXk，其中 PXk ipi(q)1 i, i 0,1.i 1由于E(Xk) p,D(Xk) pq (k 1,2,., n),t2所以由定理 3得lim P Xf np x/ e 2 dt.n7npq- v2基本内容备注注 当n充分大时，二项分布近似于正态分布。计算应先进行连续性校正。离散型变量取值为k的概率与连续型变量在以k为中心、长为一个单位的区间内的概率相对应，即1 1px k p(k 2)x (k -),i,i,i,ik _ np v “ k

5、 _ npk _ npk _ npP2X np222JnpqJnpqJn pqJn pq,1 , 11v 卄 k 一 npk _ npPX k PX k - P x np22JnpqJnpqJnpq当n充分大时，Poisson分布也近似于正态分布。其连续性校正公式为.k 1k 丄PX k22rrk 1PX k2厂例2某病的患病率为 0.005，现对10000人进行检查，试求查出患病人数在45,55内的概率.解 设患病人数为 X,则XB（10000,0.005）.由定理4得P45 X 55 PX 55 PX 441 155 0.005 1000044 0.005 100002 2(0.005 1

6、0000 0.995丿0.005 10000 0.995(0.78)( 0.78)2 (0.78) 12 0.78230.5646例3某公司生产的电子元件合格率为99.5% o装箱出售时，（1）若每箱中装1000只，冋不合格品在 2到6只之间的概率是多少？（ 2）若要以99%的概率保证每箱合格品数不少于1000只，问每箱至少应该多装几只这种电子元件？解：（1）这个公司生产的电子兀件不合格率为1-0.995=0.005，设X表示“ 1000基本内容备注只电子元件中不合格的只数”，贝U XB(1000,0.005)。P(2 X 6)( 6.5 1000 0.005)(1.5 1000 0.005)

7、(000 0.005 0.995)(丁1000 0.005 0.995)(0.45)( 1.34)0.6736 (1 0.9099)0.5835(2)设每箱中应多装k只元件，则不合格品数XB(1000+ k,0.005)，由题设，应有P(X k) 0.99，因而可得1 k (1000 k) 0.005P(X k)( ,2一)0.99(2.326)1000 k) 0.005 0.9951k (1000 k) 0.005于是k应满足22 3267(1000 k) 0.005 0.995解之，有k 11这就是说，每箱应多装11只电子元件，才能以99%以上的概率保证合格品数 不低于1000只。本次课小

8、结：介绍了大数定律和中心极限定理。要求理解伯努利定理；理解独立冋分布的中心极限定理和二项分布、Poisson分布的也正态近似的有关计算。基本内容备注基本内容备注第五章大数定理及中心极限定理2:题略。10 解：以 Xi(i 1,2,10)记第i个产品的长度。以L记10件产品的总长度：Li 1按题设E(Xi)2,D(Xi)0.0025.由定理四可知L 10 2,?0 0.05近似的服从N(0,1)分布，故产品合格的概率为p P(|L 201 0.1)P(_0.1_而 0.05_L_20_而 0.050.1 0.1(一10一0.05)(：10一0.05)(0.63)( 0.63)2 0.7357 1

9、 0.47144:题略。解：以Xi(i 1,2，,5000)记第i只零件的质量，以 W记5000只零件的总质量:5000W Xii 1按题设 E(Xi)0.5,D(Xi)0.01,由定理四，可知W 5000 0.5X 5000 0.1近似的服从N(0,1)分布，故所求概率为:P(W 2510) 1 P(W 2510)P(W 5000 0.5 ,5000 0.10 2)2510 5000 0.5),5000 0.11 0.9213 0.07877:题略。解 ( 1)将观察一个部件是否正常工作看成是一次实验，由于各部件是否正常工作是相互独立的，因而观察100个部件是否正常工作，是100重伯努利实验

10、，以X表示100个部件中正常工作的部件数，则X b(100,0.9)，按题意需求概率 P(X 85)，由棣莫佛拉普拉斯定理知 一X 100 0.9-，近似的服从N(0,1)分布，故所求概率为:J100 0.9 0.1P(X 85)X 100 0.9.10。0.90.1100 0.9.1000.90./P(85 X )85 100 0.9 P(,100 0.9 0.151( 3)0.9525(2)设正常工作的部件个数是m，则m0.8m时才可以正常工作，由题得P(m 0.8m)1P(m 0.8m)0.95P(m 0.8n)0.8n np )np(1 p)1(0.95所以24.5从而解得n所以，n至

11、少为25才可以使系统的可靠性不低于 9:题略。0.95。nXi 解军：由定理可知，当n充分大时，1Vn1 n-Xin i 1- N(0,1)，-X即-N(0,1)由题设D(X400(i1,2,n)，即有400,X是 20N(0,1)，20 nP(|X |P( 1 x1P(20nX20(1)0.9751故需要120n(1.96),1.96 ,20 n1536.64。所以n因为n为正整数，故n至少为第六章 大数定律和中心极限定理研究随机变量序列的各种极限 （ 或收敛性 ） 的理论 . 我们知道 , 概率 论是研究随机现象统计规律的学科 然而随机现象统计规律性只有在相 同条件下进行大量重复的试验或观

12、 察才能显现出来 , 这就要用到极限 去刻划 . 随机现象在大量重复试验 中呈现明显的规律性 , 这只是一个 信念 , 其确切含义和理论根据是什 么？现在就来解决这些问题 . 极限定理是概率论中最重要的理论 它在概率论与数理统计的理论研究 与应用中起着十分重要的作用 .第一节 契比雪夫不等式这里介绍一个重要的不等式 - 契比雪夫不等式 , 它是大数定律和 中心极限定理的理论基础 .定理 设随机变量X存在数学期望EX和方差DX ,则对任意正数, 成立P| XEX| DX ,此式称为契比雪夫不等式. 或等价地P| X EX |1P| X EX |1证明（1）当X为离散型随机变量分布律为PX X P

13、i , i 1,2,则有P| X EX| PX x|Xi EX|Xi EX|(XiEX)2PXXi(Xi EX)2PXXiDX(2)当X为连续型随机变量 概率密度为f(x), 则有P| X EX| |X EX|f (x)dx|X EX|(XEX)22f (x)dx2(x EX) f (x)dxDX2例P| X EX | a DX_dx_ 丄,(a 0)、 2 2(a DX ) a从上述证明方法中，还可以看 出(类似可证),成立P| X|(0,kP| X EX| E|X|kk,1)E(|X EX|k)(0,k 1)；等形式的不等式（车贝谢夫,车贝晓夫，切比雪夫） 例设随机序列Xn和随机变量X ,

14、如果imEIXn Xf 0，则对任意 0,有 limP|Xn XI 0n证明因为对任意0，成立P| Xn X| EX Xf2 ，2利用条件|imE|Xn X| 0，即得成立nim P| XnX |0定理 设随机变量X的数学期望EX和方差DX均存在，且DX 0, 则有 PX EX 1 .证明由车比谢夫不等式P| X EX |DX2 ,得0 P|X1EX| -nDX（丄）2n 1,2,P| X EX| 1 o, n 1,2,n1又| X EX| 0| X EX| -,n 1n 0P| X EX | 0 P( | X EX | 1)n 1nP| X EX| -0,n 1n于是 P| X EX| 01

15、,即 PX EX 1.(P(A1 A.) P(A) P(A2)P(AA2)P(A1)P(A2),P(AA A3)P(A) P(A2)P(A3),P( A)P(Ai)i 1i 1八第二节大数定律在第一章中我们指出，随机事件的频率fn(A)仏，当n 时,nfn(A)具有某种稳定性和统计概n率的定义 5.它们的真正含义，在当 时无法说清楚，现在就来说清楚这 个问题对于这一点，大数定理将 给于理论上的依据.下面只介绍大 数定理的最基本情形定理一(契比雪夫大数定律)设Xi,X2, ,Xn,是相互独立的 随机变量序列，每一个Xi都有有限 的方差，且有公共的上界，即D(Xi) C，i 1,2，n，则对任意0

16、，成立nnlimP| Xi - EXi|1，n i 1 n i 1nninm P| - Xi - EXi |0 .n i 1 n i 11 n证明令 Yn Xin i 1由数学期望的性质，有nnEY E( Xi) EXi，n 1n因 X1,X2, ,Xn, 由方差的性质，得到1 nDYn D( Xi)n i 11 n2i 1相互独立,12nc g ,n |1 n利用契比雪夫不等式，可得11 P| XinDXi,i 11nEX,|P| Yn EYn |DYn在上式中,令n1 Ijm P|-n,即得XiEXi|n i 1定义依次序列出的随机变量：X1,X2, ,Xn,简记为Xn,简称 随机（变量）

17、序列Xn.定义对于随机（变量）序列X” 和随机变量X（或常数a）,若对任 意 0,有l”mP|Xn X| 1（或lim P| Xn a| 1）则称随机（变量）序列Xn依概率收敛于X（或常数a）.（等价于 lim P| Xn X| 0）简记为X” P X,（n ）（或 XnP a,（n ）推论（辛钦大数定律）若随机 变量序列Xi,X2, ,Xn,独立同分 布,且存在有限的数学期望和方差EXi ,DXi 2, （i 1,2,） 则对任意 0,有lim P| X |1 ,1 n其中X - Xi .证明由数学期望和方差的性质及 条件，有1 nEXE(Xi)n i 1nnEXi ,n i1n i 11

18、nDXD( Xi)1 n 22n i1n i11 n -DXi n i1对任意 o,有P| X EX| DX 1 2n1 P|X |于是成立inm P| X| 1 ,即X依概率收敛于常数.这个结论将在第八章中用到 ， 是用样本均值作为总体均值 的点 估计的理论依据.定理二(贝努里大数定律)设 九是n次独立重复试验中事件 A发 生的次数，p是事件A在每次试验中 发生的概率，则对任意0,成立lim P| -Ap| 1 .n证明引人随机变量1,第i次试验中A发生Xi0,第i次试验中A不发生则n次试验中事件 A发生的次数XiX2X-,，-由于是独立试验,所以Xi,X2, ,X- 相互独立，且都服从相同

19、的(0 1) 分布,即PXi 1 p,PXi 01 p,i 1,2,于是EXi p,2 11 2 1 DXi p（i p） p p - e p）-424利用契比雪夫大数定律的推论，得lnm P| 丄 p| nlim P|Xp| 1贝努里大数定律表明：事件A发生的频率n依概率收敛于事件An第三节中心极限定理在对大量随机现象的研究中发 现,如果一个量是由大量相互独立 的随机因素所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用较小，那么这种量通常都服从或近似服从正 态分布.例如测量误差、炮弹的弹着 点、人体体重等都服从正态分布，这 种现象就是中心极限定理的客观背设随机变量Xi,X2, ,Xn,独立 同分

20、布,且Xi N( , 2),(i 1,2,)n记YnXi , (EYn n ,DYn n 2),i 1Yn* Yn D：Yn Yn nn称为Yn的标准化，则有 Yn*N(0,1)Fy；(X)PYn X (x)对任意实数x,有Yn n 、 limPY x*lim PYnx lim Fx)tedt(x).一般地，有下述结果。定理三(同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2, ,Xn,独立同 分布,且存在有限的数学期望和方EXi ,DXi(i 1,2,)n记YnXi , (EYnYni 1Yn EYn.DYnYnn , DYn n2),称为Yn的标F/X) PYn、一准化,则对任意实数X,有Yn

21、nIjm p=*lim PYnredt2XX变量Xlim FYn*(x)nn(x).定理表明,当n充分大时,随机Xinni 1近似地服从标准正n态分布N(0,1).因此,Xi近似地服i 1从正态分布N(n ,n 2).由此可见,正 态分布在概率论中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace 定 理) 设n是n次独立重复试验中事件 a 发生的次数，p是事件A在每次试验 中发生的概率，则对任意区间a,b, 成立inmpa 爲(爲b1 edt (b)(a)证明引人随机变量1,第i次试验中A发生0,第i次试验中A不发生则n次试验中事件 A发生的次数X1x2Xn ,由于是独立试验,所以X

22、1,X2, ,X相互独立，且都服从相同的(0 1) 分布,即PXi 1 p,PXi 01 p,i 1,2, ,n于是EXi P，DXi p(1 P)由定理三，即得计XnXi npJ|mP&r7)*(x)，x 1专2 e dt于是对任意区间a,b,有l|m Panp叩(1p)bt2e 2dt(b)(a).近似计算公式N npnp M np ,p)PNP Nnp(1 p) np(1 p) np(1MnpnpM npn p(1 p)n p(1 p)(M np )n p(1 p)例1某计算机系统有120个终端, n p(1 p)g .每个终端有5%1 勺时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的，试求有

23、10个以上的终端在使用的概率. 解以X表示使用终端的个数， 引人随机变量1,第i个终端在使用0,第i个终端不使用1,2, ,120 ,Xi X2X120由于使用与否是独立的，所以 X1,X2, X。相互独立,且都服从相同的(0 1)分布,即PXi 1 p 0.05,PXi 0 1 p,i 1,2, ,120 于是,所求概率为PX 101 PX 101 P X npVnp(1 p)由中心极限定理得PX 10110 np n p(1 p),PX 10X np10 np n p(1 p)1例2现有一大批种子,其中良种占1 P Jn p(1 p)(10 np )n p(1 p)(10 120 0.05

24、 )(120 0.05 0.95)(1.68)1 0.9535 0.0465 .1.现从中任选6000粒，试问在这些6种子中,良种所占的比例与1之误差6小于1%|勺概率是多少？ 解设X表示良种个数， 则1X B(n, p), n 6000, p -,6 所求概率为X iP| 0.01P| X np I n 0.01n 0.01np(1 p)6000 0.01I1 56000I6 6n 6pp丿归|np(1 p)P| X nP I np(1 p)(2.078)( 2.078)2 (2.078) 12 0.98 10.96 .例3设有30个电子器件Di, D2, D30,它们的使用情况如下：Di损

25、坏，D2接着使用；D2损坏，D3接 着使用等等设器件Di的使用寿命服 从参数 0.1（单位：h1）的指数分布 令T为30个器件使用的总时数，问T超 过350h的概率是多少？解设Xi为器件D i的使用寿命，Xi服从参数 0.1（单位:h1）的指数分布，立，X1，X2，X30 相互独XnTX1X2n30，EXi1 110，0.12DXi丄110020.1由中心极限定理得PT 3501 PT 3501 Pd35丄nn1C3500)V30 1011(0.91)1 0.81680.1814 .例4某单位设置一 总机，共 有200架 分机.设每个 分机 有5%的时间要使用外线通话，假定 每个分机是否使用外

26、线通话是相互独立的，问总机需要安装多少 条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用解依题意设X为同时使用的 分机个数， 则 X B(n, p),n 200, p 0.05,设安装了 N条外线， 引人随机变量1,第i个分机在使用0,第i个分机不使用i 1,2, ,200 ,XiX2由于使用与否是独立的,所以 Xi, X2, X200相互独立,且都服从相同的(0 1)分布,即PXi 1 p 0.05,PXi 01 p,i 1,2,200,X N保证每个分机都能即时 使用,PX N 0.9 ,0.9 PX NP X npn p(1p)N np np(1 p)N np np(1 p)(N 200

27、 0.05 )(200 0.05 0.95)N 10*N 103.08),查标准正态分布表乙.9N 10N 1.28 3.08 10 13.94, 取 N 14,答：需要安装14条外线.例5设随机变量Xmxef (x) m!0,x其中m为正整数， 证明P0 X 2(m 1)证明的概率密度为,x 0EXxf (x)dxmxx _x e dxm!m!m!m 2 1 x .0 x e dx(m 2)(mm!1)! m 1,EX2x2f(x)dx 0 x2xxe dx m!1m 3 1x .x e dxm! 01 (m 3)1(m 2)! (m 2)(m1),m!m!DXEX2 (EX)2(m 2)(

28、m 1) (m 1)2m 1 ,利用车贝谢不等式，得P0 X2( m 1)P (m 1) X (m 1) (m 1) P| X (m 1)| (m 1)P| X EX | (m 1), DX , m 11 ； 1 2(m 1) (m 1)第四章 大数定理与中心极限定理典型题解1 计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差 相互独立且在(0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对 值超过15的概率是多少？解 设第k个加数的舍入误差为 Xk(k 1,2,1500),已知Xk在(0.5,0.5)上服从均匀分布，故知E(Xk)0,D(Xk)1500Xk，由

29、中心极限定理,当n充分时有近似公式P X 1500 0 1500 112x(x)，于是P x 15 1 P xP上0151 PX 015 X15150 15是由中心极限定理得PX 30P30 Xp_30_100_0.2100 0.2 0.830 20()( )V161 0.99380.0062.3.将一枚硬币投掷49次，(I )求至多出现28次正面的概率；(II )求出现20-25次正面的概率.X 100 0.2100 0.2 0.8100 0.2 100 0.2 0.8；1(2.5)解 以X表示49次投掷中出现正面的次数，则有 X b(49, 12). (I )由中心极限定理得2849 (2

30、)(1)0.8413 ;1114922P X 28(II )由中心极限定理得20fl2549O2490.5557 0.0985 0.4572.4. 某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概 率为0.8 .求正常工作的机器超过85台的概率.解 设 为100台中正常工作的机器数，则B(100,0.8)，且 np E 80, npq D 16 .80485 804由中心极限定理可得所求概率为0 80 P 851P0851 P-41 (1.25)( 20)0.1056.5. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50kg，标准差5kg .若用最大载重量

31、5t的汽车承运最多可以装多少箱才能保障 不超载的概率大于0.977 .解 设n为每辆车所装的箱数,i (i 1,2, n)是装运的第i箱的重量，且E i 50, D i 25 . n箱的总重量n有 E 50n,D 25n，由中心极限定理近似服从正态分布N(50n,25n).现求使下面不等式成立的P5000P50n5 n500050n5n1000 10n0.977查正态分布表得100010n从而n 98.0199，即最大可以装98箱.6. 设一大批产品中一级品率为10%，现从中任取500件，这500件中一件 级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的概率.E 50, D 45由中心极限定理得p|莎

32、 01 002 P 50 10 p牆 总52 (1.49) 1 0.8638.7设一袋味精的重量是随机变量，平均值 100g,标准差2g求100袋味精 的重量超过10.05kg的概率.解 设i(i 1,2,100)第i袋味精的重量，100袋的总重量12100 ,而E i100, D i4，所以所求概率为P100501P01005010 100P.而100100 10010050 100 10022一 100 21 (2.5)(500)1 0.993790.00621.8.本200页的书，每页上的错误数服从参数为 0.1的泊松分布，求该书 的错误数大于15个的概率.解 设 为该书的总错误数，则E

33、 20，D 20,于是所求概率为P151P0150 201 P-V2020”2015 2020 1 (1.12)(4.47)0.8686.9.某射手打靶,得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.现射击100次，求总分多于880分的概率.解 设为100次射击的总分数，依题意，E915, D122.75 .根据中心极限定理得0 915915P 8801P09151 PV122.75.122.75880 915122.75 1( 3.16)0.9992.10. 一生产过程的次品率为12%，随机地自这一生产过程生产的产品中取出 120只，求次品不多余15

34、只的概率.解 以X记120只产品中的次品数，贝U X B(120,0.12).所需求的概率为X 120 0.12PX 15 -120Oh0.8815 120 0.12一120一0.12一0.88(0.17)0.5675.11 某种难度很大的心脏手术成功率为 0.9，对100个病人进行这种手术,以X记手术成功的人数.求P84 X 95.解依题意有95 100 0.984 100 0.9P84 X95(.100 0.9 0.1 )()、100 0.9 0.1(1.67)(2)0.9525 0.9772 10.9297.12. 在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变

35、量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余 2 小时的概率.解 以Xi(i 1,2,100)记对第i位顾客的服务时间.按题设需求概率为100P Xi 120i 1(120 150)(10)120 100 1.5100厂100i 1 Xi 100 1.5L1iL500 1(3) 0.0013.13. 某种电子元件的寿命服从数学期望为 2的指数分布，各元件的寿命相互 独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率.解 设X为100只元件的寿命之和，则E(X) 200, D(X) 400，则所求概率为PX 180)1P0 X 1801 ( 1)( 10)0.

36、8413.1 。兰。V400X 200,400180 20040014. 某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时 间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率.解 设随机变量丫表示任一时刻正在工作的机器的台数，则丫服从二项分布B(200,0.75).所以所求概率为P144 丫 160(_160_200_0.75_.200 0.75 0.25(_144_200_0.75-200 0.75 0.25(1.63)( 0.98)0.7849.15. 在次品率为丄的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定6理计算抽取的产品中次

37、品书在 4060之间的概率.解 设X为300件产品中次品的件数，依题意知2501X B(300, ), E(X) 50, D(X)6利用中心极限定理得第五章 大数定律与中心极限定理 5.1大数定律的概念大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性，并论证了它成立的条件，即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性。 由于大数定律的作用， 大量的随机因素的总体作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果。 5.2切比雪夫不等式 5.2切比雪夫定理1、切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X) ，方差D(X)2，对于任意正数 有2P X 成立，这一不等式称为切比雪夫不

38、等式。它也可以写成P X切比雪夫不等式的意义在于：当知道随机变量X的数学期望和方差时，我们可以估计X落在以 为中心的某一区间内的概率；而且由不等式可以看出，方差2越小，X发生的概率也越小。 切比雪夫不等式在理论研究中很有价值，作为一种出略的估计概率的方法在实际中应用也很广泛。2、依概率收敛设X1,X2/ -,Xn是一个随机变量序列，a是一个常数。若对任意的正数 ，有plim P Xn a 1，则称序列X1,X2Xn,依概率收敛于a，记为Xn a。3、切比雪夫大数定律设X1,X2,Xn,是相互独立的随机变量序列，且 E(Xi) ,D(Xi) i2,i 1,2,存在有限的常数C ，使得则对任何的正

39、数lim P-nnXi - 0 E(Xi)n i 14、贝努利大数定律设nA是n次重复独立试验中事件 A发生的次数,p是事件A在一次试验中发生的频率，则对任何的正数 ，皆有lim p虫 p 1 。n nE(Xi) ,i 1,2，。5、辛钦大数定律设X1, X2，,Xn,是相互独立且服从同一分布的随机变量序列,1若对任意的正数，有lim PXini大数定律揭示了随机事件的概率与频率之间的关系，从大量的测量值的平均值出发，描述了算术平均值及频率的稳定性，用算术平均值代替均值，用频率代替概率。 5.4中心极限定理6、独立同分布的中心极限定理(列维一林德博格定理)设XX?,-,Xn,，是相互独立同分布

40、的随机变量序列，且有有限的期望和方差E(Xi),D(Xi)2i ,i1,2,，则对任何的实数 x，随机变量nnXi E(Y i 1i 1nrT;D(i1Xi)Xi)n(Xi)i 1n的分布函数Fn(x)满足皆有 lim Fn(x)nlimnPn(Xii 1xxL e2t。27、李雅普诺夫定理设 XX2, -,Xn是变量序列，且数学期望和方差E(Xi)i,D(Xi)0,i21,2，,记Si2，则随机变量1皆有Xi E(i 1Xi)nXii 1D(Xi)XiSn的分布函数Fn(x)满足lim Fn(x)nlim P nxt2e 2 dt。8、利莫佛一拉普拉斯定理设随机变量n,n 1,2,-，服从参

41、数为n,P(O p1)的二项分布，则对任意的x恒有lim Pn 叮 x 1- p(1 p)2上述中心定理阐述了在一定条件下，机变量的总和其分布趋于正态分布。e dt当个数逐渐增多时，这些定理为极限分布的计算提供了方便,原来不属于正态分布的大量独立随尤其对于二项分布B(n, p)，当n很大时近似服从于正态分布N(np, np(1 p),使得求解过程大大简化。152 ( 1 2 (1.342) 21 0.9099.1500120.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802 .2.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱 中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率.解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X b(100,0.2) 于