《高中数学苏教版选修21学案：第3章 空间向量与立体几何 1.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版选修21学案：第3章 空间向量与立体几何 1.2（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、 精品资料31.2共面向量定理学习目标1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件知识链接1空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？答：一定共面，反之不成立2空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？答：空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量基本定理预习导引1共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量2共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示3空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、z使得xyz，且
2、x、y、z满足xyz1，则A、B、C、D共面要点一应用共面向量定理证明点共面例1已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足.(1)判断、三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)3，()().又与不共线向量、共面(2)向量、共面且具有公共起点M，M、A、B、C共面即点M在平面ABC内规律方法利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面跟踪演练1已知两个非零向量e1、e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A、B、C、D共面证明5e15e25，()，又与不共线、共面，又它们有
3、一个公共起点A.A、B、C、D四点共面要点二应用共面向量定理证明线面平行例2如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1平面C1BD.证明记a，b，c，则ac，ab，bc，所以ac，又与1不共线，所以，共面又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1平面C1BD.规律方法在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化要熟悉其证明过程和证明步骤跟踪演练2如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，设a，b，c，在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M、N，使k，k (0k1)求证：MN平面ABB1A1.证明kk()kbkc，又akak(ba)(1k)akb，
4、(1k)akbkbkc(1k)akc.又a与c不共线与向量a，c是共面向量又MN不在平面ABB1A1内，MN平面ABB1A1.要点三向量共线、共面的综合应用例3如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心试用向量方法证明E，F，G，H四点共面解分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM.E，F，G，H分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R是所在边的中点，且，.由题意知四边形MNQR是平面四边形，()()()()()又.，由共面向量
5、定理知，E，F，G，H四点共面规律方法选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素之间的关系，这是解决立体几何常用的方法跟踪演练3已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图所示)，并且k，k，k，m，m.求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；(2)；(3)k.证明(1)由m，m知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面(2)mm()k()km()kkmk(m)k，.(3)由(2)知kkk()k，k.1给出下列几个命题：向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若ab，则存在惟一的实数，使ab.其中真命题的个数为_
6、答案1解析假命题三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题这是关于零向量的方向的规定；假命题当b0，则有无数多个使之成立2已知两非零向量e1，e2不共线，设ae1e2(，R且，0)，则a与e1，e2的关系为_答案a与e1，e2共面解析若ae1，则存在实数t使得ate1，te1e1e2，(t)e1e2，则e1与e2共线，不符合题意同理，a与e2也不平行由向量共面的充要条件知a与e1，e2共面3已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x的值为_答案解析x，且M，A，B，C四点共面，x1，x.4空间的任意三个向量a，b,3a2b，它们一定是_答案共面向量解析如果a
7、，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a2b共面；若a，b共线，则a，b,3a2b共线，当然也共面共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面(2)空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得xy，此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，实质就是面MAB内平面向量的一组基底另外有xy，或xyz (xyz1)、均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用一、基础达标1已知ABCD为矩形，P点为平面ABCD外一点，且PA面ABCD，G为PCD的重心，若xyz，则x_，y_，z_.答案解析()()
8、().x，y，z.2在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是_2；0；0.答案解析若有xy，则M与点A、B、C共面，或者xyz且xyz1，则M与点A、B、C共面，、不满足xyz1，满足xy，故正确3已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有2，则_.答案2解析P与不共线三点A，B，C共面，且xyz(x，y，zR)，则有xyz1.从而2.4设a，b，c是不共面向量，m2ab，nbc，p4a5b3c，则向量m，n，p的关系是_(填“共面”或“不共面”)答案共面解析因为p2(2ab)3(bc)2m3n，所以m，n，p必共面5下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，
9、b共面，则pxayb；若xy，则P、M、A、B四点共面；若P、M、A、B四点共面，则xy，其中正确的是_答案解析与中取x0或y0，则结论不一定成立反之，正确6已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC上一点，若AB1平面DBC1，则D在AC上的位置是_答案D是AC的中点解析取BC1的中点为O，由AB1平面DBC1知，存在实数x，y满足xy，又，所以，即D是AC的中点7设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点求证：M、N、P、Q四点共面证明因为，所以2，2，又因为()，(*)A、B、C及A1、B1、C1分别共线
10、，所以2，2.代入(*)式得(22)，又与不共线所以、共面，所以M、N、P、Q四点共面二、能力提升8平面内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足xy，2xy，则x3y_.答案解析由点A，B，C，D共面得xy，又由点B，C，D，E共面得2xy，联立方程组解得x，y，所以x3y.9.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AE3EA1，AFFD，AGGB，过E、F、G三点的平面与对角线AC1交于点P，则APPC1的值为_答案解析设m，因为32，所以3mm2m，又因为E、F、G、P四点共面，所以3mm2m1，所以m，所以APPC1316.10已知非零向量e1，e2不共线，如
11、果e1e2，2e18e2，3e13e2.则A、B、C、D四点的位置关系为_答案共面解析令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0.则(23v)e1(83v)e20.e1、e2不共线，易知是其中一组解，则50，A、B、C、D共面11已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中点O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值(1)xy；(2)xy.解(1)如图所示()，xy.(2)2，2.又2，2.2(2)22.x2，y2.12对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点试判断：与、的关系解如图所示空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得：，又E、F分别是AB、CD的中点故有，将代入得，得：2，所以，即与、共面三、探究与创新13.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，是共面向量证明设a，b，c，四边形B1BCC1为平行四边形，ca，又O是B1D1的中点，(ab)，(ab)，b(ab)(ba)D1D綊C1C，c，(ba)c.若存在实数x、y，使xy (x，yR)成立，则caxy(xy)a(xy)bxc.a、b、c不共线，得，又与1不共线、是共面向量
高中数学苏教版选修21学案：第3章 空间向量与立体几何 1.2
