2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义：第七章 第二节 二元一次不等式组及简单的线性规划问题 Word版含答案

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1、第二节第二节二元一次不等式二元一次不等式(组组)及简单的线性规划问题及简单的线性规划问题画二元一次不等式画二元一次不等式(组组)表示的平面区域时表示的平面区域时，一般步骤为一般步骤为：直线定界直线定界，虚实分明虚实分明；特殊点特殊点定域，优选原点；阴影表示定域，优选原点；阴影表示注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线特殊点一般注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线特殊点一般选一个，当直线不过原点时，优先选原点选一个，当直线不过原点时，优先选原点如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函如果目标函数存在一个最优解

2、，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得.1二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域不等式不等式表示区域表示区域AxByC0直直线线 AxByC0 某一侧某一侧的所有点组成的平面区域的所有点组成的平面区域不包括边界直线不包括边界直线AxByC0包括边界直线包括边界直线不等式组不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分各个不等式所表示平面区域的公共部分2简单的线性规划中的基本概念简单的线性规划中的基本概念名称名称意义意义约束条件约束条件由变量由变量 x，y 组成

3、的不等式组成的不等式(组组)线性约束条件线性约束条件由变量由变量 x，y 组成的一次不等式组成的一次不等式(组组)目标函数目标函数关于关于 x，y 的函数解析式，如的函数解析式，如 z2x3y 等等线性目标函数线性目标函数关于关于 x，y 的一次函数解析式的一次函数解析式可行解可行解满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x，y)可行域可行域所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合最优解最优解使目标函数取得最大值或最小值使目标函数取得最大值或最小值的可行解的可行解线性规划问题线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题熟记常

4、用结论熟记常用结论(1)把直线把直线 axby0 向上平移时，直线向上平移时，直线 axbyz 在在 y 轴上的截距轴上的截距zb逐渐增大，且逐渐增大，且 b0时时 z 的值逐渐增大，的值逐渐增大，b0 时时 z 的值逐渐减小的值逐渐减小(2)把直线把直线 axby0 向下平移时，直线向下平移时，直线 axbyz 在在 y 轴上的截距轴上的截距zb逐渐减小，且逐渐减小，且 b0时时 z 的值逐渐减小，的值逐渐减小，b0 时时 z 的值逐渐增大的值逐渐增大以上规律可简记为以上规律可简记为：当当 b0 时时，直线向上平移直线向上平移 z 变大变大，向下平移向下平移 z 变小变小；当当 b0 时时，

5、直直线向上平移线向上平移 z 变小，向下平移变小，向下平移 z 变大变大小题查验基础小题查验基础一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”)(1)不等式不等式 AxByC0 表示的平面区域一定在直线表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)在目标函数在目标函数 zaxby(b0)中，中，z 的几何意义是直线的几何意义是直线 axbyz0 在在 y 轴上的截轴上的截距距()答案答案：(1)(2)(3)二、选填题二、选填题1不等式组不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是表示的

6、平面区域是()解析解析：选选 Cx3y60 表示直线表示直线 x3y60 左上方部分左上方部分，xy20 表示直线表示直线 xy20 及其右下方部分故不等式组表示的平面区域为选项及其右下方部分故不等式组表示的平面区域为选项 C 所示阴影部分所示阴影部分2不等式组不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域的面积等于所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34解析：解析：选选 C不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示解解x3y4，3xy4可得可得 A(1,1)，易得易得 B(0,4)，C0，43 ，|BC|44383.SABC128

7、3143.3(2018天津高考天津高考)设变量设变量 x，y 满足约束条件满足约束条件xy5，2xy4，xy1，y0，则目标函数则目标函数 z3x5y的最大值为的最大值为()A6B19C21D45解析解析：选选 C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由由 z3x5y 得得 y35xz5.设直线设直线 l0为为 y35x，平移直线，平移直线 l0，当直线，当直线 y35xz5过点过点 P 时，时，z 取得最大值取得最大值联立联立xy1，xy5，解得解得x2，y3，即即 P(2,3)，所以，所以 zmax325321.4 若点若点(m,1)在不

8、等式在不等式 2x3y50 所表示的平面区域内所表示的平面区域内， 则则 m 的取值范围是的取值范围是_解析解析：点点(m,1)在不等式在不等式 2x3y50 所表示的平面区域内所表示的平面区域内，2m350，即即 m1.答案答案：(1，)5 已知点已知点(3， 1)和点和点(4， 6)在直在直线线3x2ya0的两侧的两侧， 则则a的取值范围为的取值范围为_解析：解析：根据题意知根据题意知(92a)(1212a)0，即，即(a7)(a24)0，解得解得7a24.答案：答案：(7,24)考点一考点一二元一次不等式二元一次不等式 组组 表示的平面区域表示的平面区域师生共研过关师生共研过关典例精析典

9、例精析(1)不等式组不等式组2xy60，xy30，y2表示的平面区域的面积为表示的平面区域的面积为()A4B1C5D无穷大无穷大(2)若不等式组若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形，则实数表示的平面区域是一个三角形，则实数 a 的取值范围是的取值范围是()A.43，B(0,1C.1，43D(0,143，解析解析(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示， ABC 的面积即所求求出点的面积即所求求出点 A，B，C 的坐标分别为的坐标分别为 A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，则，则ABC 的面积为的面积为 S

10、12(21)21.(2)不等式组不等式组xy0，2xy2，y0表示的平面区域如图中阴影部分所示表示的平面区域如图中阴影部分所示由由yx，2xy2，得得 A23，23 ，由由y0，2xy2，得得 B(1,0)若原不等式组若原不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形表示的平面区域是一个三角形， 则直线则直线 xya 中中 a 的取的取值范围是值范围是 0a1 或或 a43.答案答案(1)B(2)D解题技法解题技法1求平面区域面积的方法求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接

11、画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高若为三角形应确定底与高若为规则的四边形若为规则的四边形(如平行四边形或如平行四边形或梯形梯形)，可利用面积公式直接求解若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求可利用面积公式直接求解若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可和即可2平面区域的形状问题两种题型及解法平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面

12、区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论对参数进行必要的讨论过关训练过关训练1(2019漳州调研漳州调研)若不等式组若不等式组xy0，xy20，2xy20所表示的平面区域被直线所表示的平面区域被直线 l：mxym10 分为面积相等的两部分，则分为面积相等的两部分，则 m()A.12B2C12D2解析：解析：选选 A由题意可画出可行域为由题意可画出可行域为ABC 及其内部所表示的平面区域，如图所示及其内部所表示的平面区域，如图所示联立可行域边

13、界所在直线方程联立可行域边界所在直线方程，可得可得 A(1,1)，B23，23 ，C(4,6)因为直线因为直线 l：ym(x1)1 过定点过定点 A(1,1)，直线，直线 l 将将ABC 分为面积相等的两部分，所以直线分为面积相等的两部分，所以直线 l 过边过边 BC 的中的中点点 D，易得，易得 D73，83 ，代入，代入 mxym10，得，得 m12，故选，故选 A.2若不等式组若不等式组xy20，x2y20，xy2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则，则 m 的的值为值为_解析：解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则如图，要使不

14、等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，即，即 m1，所围成，所围成的区域为的区域为ABC，SABCSADCSBDC.点点 A 的纵坐标为的纵坐标为 1m，点点 B 的纵坐标为的纵坐标为23(1m)，C，D 两点的横坐标分别为两点的横坐标分别为 2，2m，所以所以 SABC12(22m)(1m)12(22m)23(1m)13(1m)243，解得解得 m3(舍去舍去)或或 m1.答案：答案：1考点二考点二目标函数的最值问题目标函数的最值问题全析考法过关全析考法过关考法全析考法全析考法考法(一一)求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例例 1(2018郑州第一次质量预测郑州第一次质量预测)设变量

15、设变量 x， y 满足约束条件满足约束条件x1，xy40，x3y40，则目标则目标函数函数 z2xy 的最小值为的最小值为_解析解析作出不等式组表示的平面区域作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示如图中阴影部分所示，作出直线作出直线 y2x，平移该平移该直线，易知当直线经过直线，易知当直线经过 A(1,3)时，时，z 最小，最小，zmin2131.答案答案1考法考法(二二)求非线性目标函数的最值求非线性目标函数的最值例例 2若实数若实数 x，y 满足满足xy10，x0，y2.则则yx的取值范围为的取值范围为_解析解析作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示作出不等式组所表示的可行

16、域，如图中阴影部分所示zyx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此因此yx的范围为直线的范围为直线 OB 的斜率到直线的斜率到直线 OA 的斜率的斜率(直线直线 OA 的斜率不存在的斜率不存在， 即即 zmax不存在不存在)由由xy10，y2，得得 B(1,2)，所以所以 kOB212，即，即 zmin2，所以所以 z 的取值范围是的取值范围是2，)答案答案2，)变式发散变式发散1(变设问变设问)本例条件不变，则目标函数本例条件不变，则目标函数 zx2y2的取值范围为的取值范围为_解析：解析：zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方

17、表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此因此 x2y2的最小值为的最小值为 OA2，最大值为，最大值为 OB2.易知易知 A(0,1)，所以，所以 OA21，OB212225，所以，所以 z 的取值范围是的取值范围是1,5答案：答案：1,52(变设问变设问)本例条件不变，则目标函数本例条件不变，则目标函数 zy1x1的取值范围为的取值范围为_解析解析： zy1x1可以看作点可以看作点 P(1,1)与平面内任一点与平面内任一点(x， y)连线的斜率连线的斜率 易知点易知点 P(1,1)与与 A(0,1)连线的斜率最大，为连线的斜率最大，为 0.无最小值无最小值所以所以 z 的取值范围是

18、的取值范围是(，0答案：答案：(，0考法考法(三三)求参数值或取值范围求参数值或取值范围例例 3(2019黄冈模拟黄冈模拟)已知已知 x， y 满足约束条件满足约束条件xy40，x2，xyk0，且且 zx3y 的最小值的最小值为为 2，则常数，则常数 k_.解析解析作出不等式组作出不等式组xy40，x2，xyk0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由由 zx3y 得得 y13xz3，结合图形可知当直线结合图形可知当直线 y13xz3过点过点 A 时时，z 最小最小，联立方联立方程程x2，xyk0，得得 A(2，2k)，此时，此时 zmin23(2k)2，

19、解得，解得 k2.答案答案2规律探求规律探求看个性看个性考法考法(一一)是求线性目标函数的最值是求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值考法考法(二二)是求非线性目标函数的最值是求非线性目标函数的最值目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主

20、要有：何意义主要有：(1) x2y2表示点表示点(x，y)与原点与原点(0,0)间的距离间的距离， xa 2 yb 2表示点表示点(x，y)与点与点(a，b)间的距离；间的距离；(2)yx表示点表示点(x， y)与原点与原点(0,0)连线的斜率连线的斜率，ybxa表示点表示点(x， y)与点与点(a， b)连线的斜率连线的斜率考法考法(三三)是由目标函数的最值求参数是由目标函数的最值求参数解决这类问题时解决这类问题时， 首先要注意对参数取值的讨论首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参

21、数以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值的值口诀记忆口诀记忆线性规划三类题，截距斜率和距离；线性规划三类题，截距斜率和距离；目标函数看特征，数形结合来解题目标函数看特征，数形结合来解题找共性找共性利用线性规划求目标函数最值问题的步骤利用线性规划求目标函数最值问题的步骤(1)作图作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线的任意一条直线 l；(2)平移平移将将 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要进行目标平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要进行目标

22、函数函数 l 和可行域边界的斜率的大小比较；和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值求值解有关方程组求出最优解的坐标解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数再代入目标函数，求出目标函数的求出目标函数的最值或根据最值求参数最值或根据最值求参数.过关训练过关训练1(2018全国卷全国卷)若若 x，y 满足约束条件满足约束条件x2y20，xy10，y0，则则 z3x2y 的最大值为的最大值为_解析：解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由由 z3x2y，得，得 y32xz2.作直线作直线 l0：y32x.平移直线平移直线 l0，当直线，当直线

23、y32xz2过点过点(2,0)时，时，z 取最大值，取最大值，zmax32206.答案：答案：62(2019陕西教学质量检测陕西教学质量检测)已知已知 x，y 满足约束条件满足约束条件x2，xy4，2xym0.若目标函数若目标函数 z3xy 的最大值为的最大值为 10，则，则 z 的最小值为的最小值为_解析：解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线 l：3xy0，平移，平移 l，从而可知经过从而可知经过 C 点时点时 z 取到最大值，取到最大值，由由3xy10，xy4，解得解得x3，y1，231m0，m5.由图知，平移由图知，平

24、移 l 经过经过 B 点时，点时，z 最小，最小，当当 x2，y2251 时，时，z 最小，最小，zmin3215.答案：答案：5考点三考点三线性规划的实际应用线性规划的实际应用师生共研过关师生共研过关典例精析典例精析(2018福州模拟福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序已知生产一某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序已知生产一把椅子需要木工把椅子需要木工 4 个工作时，漆工个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工个工作时，漆工 1个工作时个工作时生产一把椅子的利润为生产一把椅子的利润为 1 500

25、 元元，生产一张桌子的利润为生产一张桌子的利润为 2 000 元元该厂每个月木该厂每个月木工最多完成工最多完成 8 000 个工作时个工作时、漆工最多完成漆工最多完成 1 300 个工作时个工作时根据以上条件根据以上条件，该厂安排生产每该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是个月所能获得的最大利润是_元元解析解析设该厂每个月生产设该厂每个月生产 x 把椅子，把椅子，y 张桌子，利润为张桌子，利润为 z 元，则得约束条元，则得约束条件件4x8y8 000，2xy1 300，xN，yN，z1 500 x2 000y.画出不等式组画出不等式组x2y2 000，2xy1 300，x0，xN，y0，yN表

26、示的可行域如图中阴影部分所示表示的可行域如图中阴影部分所示， 画出直线画出直线 3x4y0，平移该直线，可知当该直线经过点，平移该直线，可知当该直线经过点 P 时，时，z 取得最大值由取得最大值由x2y2 000，2xy1 300，得得x200，y900，即即 P(200，900)，所以所以 zmax1 5002002 0009002 100 000.故每个月所获得故每个月所获得的最大利润为的最大利润为 2 100 000 元元答案答案2 100 000解题技法解题技法解线性规划应用题的一般步骤：解线性规划应用题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；分析题意，设出未知量；(2)列出约束条件和

27、目标函数；列出约束条件和目标函数；(3)作出平面区域；作出平面区域；(4)判断最优解；判断最优解；(5)根据实际问题作答根据实际问题作答过关训练过关训练1(2018河北河北“五个一名校联盟五个一名校联盟”模拟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需要某企业生产甲、乙两种产品均需要 A，B 两种原两种原料，已知生产料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示如果生产吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示如果生产 1 吨甲、乙产品吨甲、乙产品可获利润分别为可获利润分别为 3 万元、万元、4 万元，则该企业每天可获得的最大利润为万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲甲乙乙原料限量原

28、料限量A/吨吨3212B/吨吨128A16 万元万元B17 万元万元C18 万元万元D19 万元万元解析：解析：选选 C设该企业每天生产设该企业每天生产 x 吨甲产品，吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为吨乙产品，可获得利润为 z 万元，则万元，则 z3x4y，且，且 x，y 满足不等式组满足不等式组3x2y12，x2y8，x0，y0，作出不等式组表作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线作出直线 3x4y0 并平移并平移，可知当直线经过点可知当直线经过点 B(2,3)时，时，z 取得最大值，取得最大值，zmax324318(万元万元)故选故选 C.2某

29、高新技术公司要生产一批新研发的某高新技术公司要生产一批新研发的 A 款产品和款产品和 B 款产品，生产一台款产品，生产一台 A 款产品需要款产品需要甲材料甲材料 3 kg，乙材料，乙材料 1 kg，并且需要花费，并且需要花费 1 天时间，生产一台天时间，生产一台 B 款产品需要甲材料款产品需要甲材料 1 kg，乙，乙材料材料 3 kg，也需要，也需要 1 天时间，已知生产一台天时间，已知生产一台 A 款产品的利润是款产品的利润是 1 000 元，生产一台元，生产一台 B 款产品款产品的利润是的利润是 2 000 元元，公司目前有甲公司目前有甲、乙材料各乙材料各 300 kg，则在不超过则在不超

30、过 120 天的情况下天的情况下，公司生产公司生产两款产品的最大利润是两款产品的最大利润是_元元解析：解析：设分别生产设分别生产 A 款产品和款产品和 B 款产品款产品 x，y 台，利润之和为台，利润之和为 z 元，则根据题意可得元，则根据题意可得3xy300，x3y300，xy120，xN，yN目标函数为目标函数为 z1 000 x2 000 y画出可行域如图所示，画出可行域如图所示，由图可知，当直线由图可知，当直线 yx2z2 000经过点经过点 M 时，时，z 取得最大值联立取得最大值联立x3y300，xy120，得得M(30,90)所以当所以当 x30，y90 时时，目标函数取得最大值目标函数取得最大值，zmax301 000902 000210000.答案：答案：210 000