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1、最新数学高考复习资料第3讲导数的应用(二)导数的综合应用基础巩固1.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf(x)0,因此x0.xf(x)0的范围是(-,-1).当-1x1时,f(x)是减函数,f(x)0.由xf(x)0,0x1.故xf(x)0,恒有ln xpx-1(p0),则p的取值范围是()A.(0,1B.(1,+)C.(0,1)D.1,+)答案:D解析:原不等式可化为ln x-px+10,令f(x)=ln x-px+1,故只需f(x)max0.由f(x)=-p,知f(x)在上单调递增,在上单调递减.故f(x)max=f=-ln p,由-ln p0,得p1.来源:4.某
2、公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润P(x)最大时,每年生产的产品是()A.100B.150C.200D.300答案:D解析:由题意得,总成本函数为C=C(x)=20 000+100x,总利润P(x)=又P(x)=令P(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.5.若a3,则方程x3-ax2+1=0在区间(0,2)上恰有()A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根答案:B解析:令f(x)=x3-ax2+1,则f(x)=3x2-2ax=3x.由f(x)=0,得x=0或x=,故当
3、0x2时,f(x)0,即函数f(x)在区间(0,2)上单调递减.又f(0)f(2)=8-4a+1=9-4a0时,有0的解集是()A.(-2,0)(2,+)B.(-2,0)(0,2)C.(-,-2)(2,+)D.(-,-2)(0,2)答案:D解析:当x0时,有0,则0时单调递减,x2f(x)0,即为x300.画出y=在x0时的示意图如图,知0x2.同理,由f(x)是奇函数,则y=是偶函数,如图,在x0,即为x300.x-2.综上所述,不等式的解集是(-,-2)(0,2).7.在直径为d的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体横梁,则矩形面的长为(强度与bh2成正比,其中h为矩形的长,b为矩形的
4、宽).答案:d解析:截面如图所示,设抗弯强度系数为k,强度为,则=kbh2.又h2=d2-b2,=kb(d2-b2)=-kb3+kd2b,=-3kb2+kd2.令=0,得b2=,b=d或b=-d(舍去).h=d.8.已知函数f(x)=ax+ln x,g(x)=x2-2x+2.若对任意x1(0,+),存在x20,1,使得f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是.答案:解析:只需满足f(x1)max0).当a0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,值域为R,故不符合题意.当a0时,由f(x)=0,得x=-.来源:所以,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.故f(x)的极大值即为
5、最大值,f(x1)max=f=-1+ln=-1-ln(-a).-1-ln(-a)2.a-.9.某物流公司购买了一块长30米,宽20米的矩形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,顶点B,D分别在边AM,AN上,假设AB的长度为x米.(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米,求x的取值范围;(2)要规划建设的仓库是高度与AB的长度相同的长方体建筑,问AB的长度为多少时仓库的库容量最大.(墙地及楼板所占空间忽略不计)解:(1)依题意得NDC与NAM相似,所以,即,即AD=20-x,故矩形ABCD的面积为20x-x2(0x30).要
6、使仓库的占地面积不小于144平方米,则20x-x2144,化简得x2-30x+2160,解得12x18.(2)由(1)知仓库的体积V=20x2-x3(0x30),令V=40x-2x2=0,得x=0或x=20.来源:当0x0,当20x30时,V0,所以当x=20时V取最大值,且最大值为,即AB的长度为20米时仓库的库存容量最大.10.已知函数f(x)=x3-3x2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象与抛物线y=x2-15x+3恰有三个不同交点,求b的取值范围.解: (1)f(x)=3x2-6x+a,由f(-1)=0,解得a
7、=-9.则f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).故函数f(x)的单调递增区间为(-,-1),(3,+);函数f(x)的单调递减区间为(-1,3).(2)令g(x)=f(x)-=x3-x2+6x+b-3,则原题意等价于方程g(x)=0有三个不同的根.g(x)=3x2-9x+6=3(x-2)(x-1),函数g(x)在区间(-,1),(2,+)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减.于是g(x)的极小值为g(2)=b-10,解得b0,F(x)在上是增函数;当x时,F(x)0,所以当x0,1时,F(x)0,即sin xx.记H(x)=sin x-x,则当x(0,1)时,H(x)=cos
8、x-1-2时,不等式ax+x2+2(x+2)cos x4对x0,1不恒成立.因为当x0,1时,ax+x2+2(x+2)cos x-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2(a+2)x+x2+-4(x+2)=(a+2)x-x2-(a+2)x-x2来源:=-.所以存在x0(0,1)满足ax0+2(x0+2)cos x0-40,即当a-2时,不等式ax+x2+2(x+2)cos x-40对x0,1不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-,-2.解法二:记f(x)=ax+x2+2(x+2)cos x-4,则f(x)=a+2x+2cos x-2(x+2)sin x.记G(x)=f(x),则G(x)=
9、2+3x-4sin x-2(x+2)cos x.当x(0,1)时,cos x,因此G(x)2+3x-4x-(x+2)=(2-2)x0.于是f(x)在0,1上是减函数,因此,当x(0,1)时,f(x)f(0)=a+2,故当a-2时,f(x)-2时,不等式ax+x2+2(x+2)cos x4对x0,1不恒成立.由于f(x)在0,1上是减函数,且f(0)=a+20,f(1)=a+2cos 1-6sin 1.来源:当a6sin 1-2cos 1-时,f(1)0,所以当x(0,1)时,f(x)0,因此f(x)在0,1上是增函数,故f(1)f(0)=0;当-2a6sin 1-2cos 1-时,f(1)0,故存在x0(0,1)使f(x0)=0,则当0xf(x0)=0.所以f(x)在0,x0上是增函数,所以当x(0,x0)时,f(x)f(0)=0.所以,当a-2时,不等式ax+x2+2(x+2)cos x4对x0,1不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-,-2.
最新数学高考复习第3讲 导数的应用(二) 导数的综合应用
