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1、2019学年人教版高中数学选修精品资料课时训练5函数的最大(小)值与导数1.函数f(x)=x(1-x2)在0,1上的最大值为()A.B.C.D.解析:f(x)=x-x3,f(x)=1-3x2,令f(x)=0得x=,或x=-(舍).f(0)=0,f,f(1)=0,f(x)的最大值为.答案:A2.函数f(x)=x3-x2在-1,3上()A.有最大值,无最小值B.有最大值,最小值-C.有最小值-,无最大值D.既无最大值也无最小值解析:f(x)=x2-x.令f(x)=0得x=0或x=1.又f(-1)=-,f(0)=0,f(1)=-,f(3)=,故该函数在区间-1,3上的最大值为,最小值是-.答案:B3
2、.函数f(x)=x+2sin x在区间-,0上的最小值是()A.-B.2C.D.-解析:f(x)=1+2cos x.令f(x)=0得x=-,又f(-)=-,f=-,f(0)=0,故最小值为-.答案:D4.函数y=()A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.最大值为2,最小值为-2D.无最值解析:y=,令y=0得x=1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f(-1)=-2,当x=1时函数取极大值f(1)=2,此即为函数的最小值和最大值.答案:C5.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()A.0a1B.0a1C.-1a1D.0a解析:f(x)=3(x2
3、-a),f(x)在(0,1)内有最小值,即f(x)在(0,1)上至少有一根,f(0)f(1)0,即a(a-1)0.0a1.答案:B6.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A.1B.C.D.解析:当x=t时,|MN|=|f(t)-g(t)|=|t2-ln t|,令(t)=t2-ln t,(t)=2t-,可知t时,(t)单调递减;t时,(t)单调递增,t=时|MN|取最小值.答案:D7.如果函数f(x)=x3-x2+a在-1,1上的最大值是2,那么f(x)在-1,1上的最小值是.解析:f(x)=3x2-3x=3x(x-1).
4、令f(x)=0,得x=0,或x=1,当-1x0,则f(x)为增函数,当0x1时,f(x)0,则f(x)为减函数,当x-1,1,x=0时,f(x)取得最大值为a,a=2,f(-1)=-1-+2=-,f(1)=1-+2=,f(x)在-1,1上的最小值为-.答案:-8.若关于x的不等式x2+m对任意x恒成立,则m的取值范围是.解析:设y=x2+,则y=2x-.x-,y0,即y=x2+上单调递减.当x=-时,y取得最小值为-.x2+m恒成立,m-.答案:m-9.设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0a0,得a-,所以,当a-时,f(x)在上存
5、在单调递增区间.(2)令f(x)=0,得两根x1=,x2=,所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).又f(4)-f(1)=-+6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8a-=-,得a=1,x2=2,从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)=.10.已知两个函数f(x)=8x2+16x-k+2 007,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为常数.(1)对任意x-3,3,都有f(x)g(x)成立,求实数k的取值范围;(2)对任意x1-3,3,x2-3,3,
6、都有f(x1)g(x2)成立,求实数k的取值范围.解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k-2 007,则“对任意x-3,3,都有f(x)g(x)成立”“当-3x3时,h(x)的最小值大于或等于0”.h(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2).由h(x)=0可得x=-1,或x=2.当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h(x)60+0-0+24h(x)-2 052+k单调递增k-2 000单调递减k-2 027单调递增-2 016+k当x=-3时,h(x)取得最小值-2 052+k.-2 052+
7、k0.k2 052.(2)“对任意x1-3,3,x2-3,3,都有f(x1)g(x2)成立”“f(x)在区间-3,3上的最大值小于或等于g(x)在区间-3,3上的最小值”.下面求g(x)在区间-3,3上的最小值.g(x)=6x2+10x+4=2(3x+2)(x+1),由g(x)=0可得x=-1,或x=-.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-1)-1-3g(x)28+0-0+88g(x)-21单调递增-1单调递减-单调递增111g(x)在区间-3,3上的最小值为-21.同理,f(x)=8x2+16x-k+2 007=8(x+1)2+1 999-k在区间-3,3上的最大值为f(3)=2 127-k,2 127-k-21.k2 148.
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