精修版高中数学选修45人教A版练习：第四讲4.1数学归纳法 Word版含解析

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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理第四讲第四讲数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法数学归纳法A 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1设设 f(n)1121313n1(nN)，则则 f(n1)f(n)等于等于()A.13n2B.13n13n1C.13n113n2D.13n13n113n2解析：解析：因为因为 f(n)1121313n1，所以所以 f(n1)1121313n113n13n113n2.所以所以 f(n1)f(n)13n13n1

2、13n2.答案：答案：D2在应用数学归纳法证明凸在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为边形的对角线为12n(n3)条时条时，第一步检验第一个值第一步检验第一个值 n0等于等于()A1B2C3D0解析：解析：边数最少的凸边数最少的凸 n 边形是三角形边形是三角形答案：答案：C3在数列在数列an中中，已知已知 a11，当当 n2 时时，anan12n1.依依次计算次计算 a2，a3，a4后后，猜想猜想 an的表达式是的表达式是()A3n2Bn2C3n1D4n3解析：解析：由条件知：由条件知：a2a122122，a3a223132，a4a324142，猜想猜想 ann2.答案：答案：B4一个与自

3、然数一个与自然数 n 有关的命题有关的命题，当当 n2 时命题成立时命题成立，且由，且由 nk 时命题成立推得当时命题成立推得当 nk2 时命题也成立时命题也成立，则则()A该命题对于该命题对于 n2 的自然数的自然数 n 都成立都成立B该命题对于所有的正偶数都成立该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与该命题何时成立与 k 取什么值无关取什么值无关D以上答案都不对以上答案都不对解析解析：由题意当由题意当 n2 时成立可推得时成立可推得 n4，6，8，都成立都成立，因因此该命题对所有正偶数都成立此该命题对所有正偶数都成立答案：答案：B5对于数对于数 25，规定第规定第 1 次操作为次操作

4、为 2353133，第第 2 次操次操作作为为13333355，如此反复操作如此反复操作，则第则第 2 011 次操作后得到的数是次操作后得到的数是()A25B250C55D133解析解析：根据第根据第 1 次次，第第 2 次操作规律次操作规律，可知第可知第 3 次操作为次操作为 5353250，第第 4 次操作为次操作为 235303133，操作后得到的数呈周期操作后得到的数呈周期性变化性变化，周期为周期为 3 次次，2 01167031，故第故第 2 011 次操作后得到次操作后得到的数是的数是 133.答案：答案：D二、填空题二、填空题6用数学归纳法证明用数学归纳法证明“12222n12

5、n1(nN*)”的的过程中过程中，第二步假设第二步假设 nk 时等式成立时等式成立，则当则当 nk1 时应得到时应得到_解析：解析：因为因为 nk 时时，命题为命题为“12222k12k1”，所以所以 nk1 时为使用归纳假设时为使用归纳假设，应写成应写成 12222k12k2k12k，又考虑到目的又考虑到目的，最终应为最终应为 2k11.答案：答案：12222k12k2k117观察下列等式：观察下列等式：132332，13233362，13233343102，根据上述规律根据上述规律，猜想猜想 132333435363_解析：解析：已知等式可写为：已知等式可写为：132332(12)2，13

6、233362(123)2，13233343102(1234)2，根据上述规律根据上述规律，猜想猜想 132333435363(126)2212.答案：答案：2128用数学归纳法证明用数学归纳法证明“nN*时时，12222325n1是是31 的倍数的倍数”时时， n1 时的原式是时的原式是_， 从从 k 到到 k1 时需添加的时需添加的项是项是_答案：答案：12222324，25k25k125k225k325k4三、解答题三、解答题9用数学归纳法用数学归纳法证明：证明：1141191116 11n2n12n(n2，nN)证明：证明：(1)当当 n2 时时，左边左边11434，右边右边212234

7、.所以等式成立所以等式成立(2)假设当假设当 nk(k2，kN)时时，等式成立等式成立，即即1141191116 11k2k12k(k2，kN)当当 nk1 时时，1141191116 11k211（k1）2k12k（k1）21（k1）2（k1）k（k2）2k（k1）2k22（k1）（k1）12（k1），所以当所以当 nk1 时时，等式成立等式成立根据根据(1)和和(2)知知，对对 n2，nN时时，等式成立等式成立10用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n35n 能被能被 6 整除整除证明证明：(1)当当 n1 时时，左边左边13516，能被能被 6 整除整除，结论正结论正确确(2)假设当假设当

8、 nk 时时，结论正确结论正确，即即 k35k 能被能被 6 整除整除则则(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3(k2k2)k35k3(k1)(k2)，因为因为 k35k 能被能被 6 整除整除，(k1)(k2)必为偶数必为偶数，3(k1)(k2)能被能被 6 整除整除，因此因此，k35k3(k1)(k2)能被能被 6 整除整除即当即当 nk1 时结论正确时结论正确根据根据(1)(2)可知可知，n35n 对于任何对于任何 nN都能被都能被 6 整除整除B 级级能力提升能力提升1用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时时， 从从“

9、nk 到到 nk1”左端需乘以的代数式为左端需乘以的代数式为()A2k1B2(2k1)C.2k1k1D.2k3k1解析：解析：当当 nk 时时，等式为等式为(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)当当 nk1 时时，左边左边(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比较比较 nk 和和 nk1 时等式的左边时等式的左边，可知左端需乘以可知左端需乘以（2k1） （2k2）k12(2k1)答案：答案：B2 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 34n152n1(nN)能被能被 14 整除整除， 当当 nk1 时时，对于对于 34(k1)152(k1)1

10、应变形为应变形为_解析：解析：34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1答案：答案：81(34k152k1)5652k13已知正数数列已知正数数列an中中，前前 n 项和项和 Sn12an1an.(1)求求 a1，a2，a3，a4；(2)推测推测an的通项公式的通项公式，并用数学归纳法加以证明并用数学归纳法加以证明解：解：(1)a11，a2 21，a3 3 2，a4 4 3.(2)an n n1a11，a2 21，a3 3 2，a4 4 3.猜想猜想 an n n1(nN)()当当 n1 时时，a1 1 01，结论成立；结论成立；()假设当假设当 nk(k1，kN)成立成立，即即 ak k k1.则则 ak1Sk1Sk12ak11ak112ak1ak12ak11ak112k k11k k1 ，整理得整理得(ak1 k)2k1，所以所以 ak1 k1 k.综合综合()()知知，an n n1对所有正整数对所有正整数 n 都成立都成立最新精品资料