理论力学：虚位移与虚功

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1、理论力学理论力学2022-3-141习题：习题：4-14-1、4-44-4、4-54-5 虚位移原理是静力学的普遍原理，它虚位移原理是静力学的普遍原理，它给出了质点系平衡的充分和必要条件。给出了质点系平衡的充分和必要条件。 什么是虚位移什么是虚位移 什么是虚功什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件什么是虚位移原理的适用条件由由 伯伯 努努 利利（Bornoulli，1717)提出的提出的由由 拉格朗日拉格朗日（Lagrange，1764)完善的完善的虚位移原理理论力学理论力学2022-3-1424-4 4-4 虚位移与虚功虚位移与虚功ABOAB090 O一、虚位移一、虚位移1 1、不同瞬时或位

2、置，虚位移不同、不同瞬时或位置，虚位移不同2 2、必须满足约束条件、必须满足约束条件虚位移虚位移（virtual displacement)：在在给定瞬时给定瞬时质点质点(系系)为为 约束容许约束容许 的的 任何任何 微小微小位移。位移。r虚虚位位移移特特点点 ,BArr,BArrABBABArr 3 3、是无限小的，不是有限位移是无限小的，不是有限位移4 4、虚位移不只有一个或一组、虚位移不只有一个或一组ArBrArBrArBrBrAr理论力学理论力学2022-3-143AB090 OF4-4 4-4 虚位移与虚功虚位移与虚功二、虚功二、虚功 虚功虚功（virtual work)： 作用于质

3、点作用于质点( (系系) )上的力在虚位移上所作的功。上的力在虚位移上所作的功。rF WkjirkjiFzyxFFFzyx zFyFxFWzyx Br例：例：若若OA杆的虚位移为杆的虚位移为 ，OAR ，求力，求力F 的虚功。的虚功。BWrF ArF FR ABrr Ar理论力学理论力学2022-3-1444-5 4-5 理想约束理想约束 理想约束理想约束(ideal constraint)： 质点系中质点系中所有约束力所有约束力 在在任何虚位移任何虚位移上所作上所作虚功之和虚功之和为零的约束。为零的约束。01NniiirF5、刚体在固定面上纯滚动、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻力偶不计滚阻力

4、偶)讨论：讨论： 哪些约束是理想约束哪些约束是理想约束?1、光滑固定面和可动铰链支座、光滑固定面和可动铰链支座2、光滑固定铰链和轴承、光滑固定铰链和轴承3、连接物体的光滑铰链、连接物体的光滑铰链4、二力杆和不可伸长的柔索、二力杆和不可伸长的柔索ABOArBrNFoxFoyFAFAF理论力学理论力学2022-3-1454-5 4-5 理想约束理想约束例题：例题：若斜块若斜块A A和滑块和滑块B B之间之间 （1 1）：）：有摩擦；有摩擦； （2 2）：无摩擦。）：无摩擦。 则则该系统是否是理想约束该系统是否是理想约束AB地面光滑地面光滑?01NniiirF（1）：有摩擦：有摩擦是非理想约束是非理

5、想约束01 rFSB（2）：无摩擦：无摩擦是理想约束是理想约束01NniiirF)()(21rrFF SBNB21)()(rFFrFFSBNBSBNB1)(rFF SBNB212)(rFrFF NSANA212)(rFrFF NSANANBFSBFNAFSAF1NF2r1r理论力学理论力学2022-3-1464-6 4-6 虚位移原理虚位移原理一、虚位移原理一、虚位移原理(virtual work principle)虚位移原理：虚位移原理：具有双面、具有双面、理想约束理想约束的静止的质点系，的静止的质点系， 在给在给定位置保持定位置保持平衡平衡的充要条件是：的充要条件是：该质点系所有主动力在

6、系该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。01 niiirF证明必要性：证明必要性： 平衡平衡 01niiirF ), 1(0NniiiFF0)(NiiirFF ni 101N1niiiniiirFrF|0iFiNFiir 01niiirF 充分性的证明自学教材充分性的证明自学教材理论力学理论力学2022-3-1474-6 4-6 虚位移原理虚位移原理例：例：已知已知 OA=L，求，求系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡时，力偶矩时，力偶矩M与力与力F的关系（不计摩擦）的关系（不计摩擦）g1mABg2mFMO1C2C090 g3m基本步骤

7、：基本步骤：1. 确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2. 分析主动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移3. 求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 01niiirF 理论力学理论力学2022-3-148g1mBg2mFMOg3m4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理BArr LFM Br2Cr 0W0 MrFB MFL0)( MFL0 ABBABArr LrrBA 0 MLFAAr1Cr理论力学理论力学2022-3-1494-6 4-6 虚位移原理虚位移原理g1mAMO1COxFOyFxFAAyF研究研究OA杆杆0 OM) 1 (0 MLFAx研究研究AB 杆和滑块杆

8、和滑块B0 xF)2(0 FFAx) 1 ()()2( L0 MFLg1mABg2mFMO1C2C090 g3mxFAAyFNBFABg2mF2Cg3m平衡方程的求解方法平衡方程的求解方法理论力学理论力学2022-3-14104-6 4-6 虚位移原理虚位移原理aaa1F2F ABCMD D例：例：结构及其受结构及其受力如图所示，求力如图所示，求A端的约束力偶。端的约束力偶。01niiirF 问题：问题：A端约束力偶与作用端约束力偶与作用在在BC 杆上的主动力偶杆上的主动力偶 M是是否有关？否有关？理论力学理论力学2022-3-14114-6 4-6 虚位移原理虚位移原理aaa1F2F ABC

9、MD DAM2rCr 1r解：解：固定端固定端A变成固定铰链变成固定铰链约束力偶视为主动力偶约束力偶视为主动力偶a22 r2rr CCrr311 02211 AMrFrF0)232(21 AMaFaF0 )31(221FFaMA BC杆的虚位移为平移杆的虚位移为平移理论力学理论力学2022-3-14124-6 4-6 虚位移原理虚位移原理011 niiiniiWrFjirjiFiiiiyixiyxFF0)(1niiiyiixyFxFjiriiiyx W2W2W2W2Fxy12345问题问题: : 已知各长为已知各长为L，重为，重为W，平衡位置如图，杆与铅垂线的平衡位置如图，杆与铅垂线的夹角为夹

10、角为。如何求维持平衡时所需水平力如何求维持平衡时所需水平力F F 的大小。的大小。困难：困难：用矢量法不易求解用矢量法不易求解q系统的广义坐标：系统的广义坐标：0Q qQ？0 Q0q（平衡的充分必要条件）（平衡的充分必要条件）理论力学理论力学2022-3-14134-6 4-6 虚位移原理虚位移原理)4 , 3 , 2 , 1(,cos2 iLyi0)cos4sin4( FLWL0qQ0)( iiyiixyFxF解解：W2W2W2W2Fxy123450 Qsin2Lyi WFFiyix2, 0 sin45Lx cos45Lx 0qtanWF 0,55yxFFF主动力的作用点：主动力的作用点：1

11、-41-4主动力的作用点：主动力的作用点：5 50)(1niiiyiixyFxF0cos4sin4FLWLQ理论力学理论力学2022-3-14144-6 4-6 虚位移原理虚位移原理011 niiiniiWrFkjirkjiFiiiiiziyixizyxFFF ,11()0nniixiiyiiziiiWFxFyFz ),(),(),(111kiikiikiiqqzzqqyyqqxxiiizyx若质点系有若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示为：个自由度，力的作用点的坐标可以表示为：如何求如何求kjiriiiizyx 理论力学理论力学2022-3-14154-6 4-6 虚位移原理虚位移

12、原理 ),(),(),(111kiikiikiiqqzzqqyyqqxx kjjjiiqqxx1 kjjjiiqqyy1 kjjjiiqqzz1yx1l2lg1mg2mFO例如：例如：sinsinsin21211llxlxcoscoscos21211llxlxcoscoscos21211llylysinsinsin21211llyly是是独独立立的的、 12qq11()nniixiiyiiziiiWFxFyFz理论力学理论力学2022-3-14164-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 kjjjqQW1 nijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ1)(jQ其中：其中： 称为对应于称为对应

13、于 的广义力的广义力jqAyBAxylo例题：例题：套筒套筒A和小球和小球B的重力分别为的重力分别为W1和和W2 ， 求系统对应于坐标求系统对应于坐标yA的广义力。的广义力。211QyQqQWAkjjjAyQW10, 0AyAAyWyWW21211WWQAyWW)(211W2WAy问题：问题：广义力的物理含义是什么？广义力的物理含义是什么？理论力学理论力学2022-3-14174-6 4-6 虚位移原理虚位移原理广义坐标形式的虚位移原理：广义坐标形式的虚位移原理：具有双面、理想约束的静止具有双面、理想约束的静止质点系，质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：在给定位置保持平衡的充要条件是：该质

14、点系所该质点系所有的广义力均为零。有的广义力均为零。01 kjjjqQW), 2 , 1(kiqj是相互独立的是相互独立的), 1( , 0kjQj 01 kjjjqQW二、虚位移原理的广义坐标形式二、虚位移原理的广义坐标形式011 niiiniiWrF理论力学理论力学2022-3-14184-6 4-6 虚位移原理虚位移原理例：例：求系统的平衡位置。求系统的平衡位置。若已知：若已知：mgFmmmlll ,2121yx1l2lg1mg2mFOcoscoscos21211llxlxsinsinsin21211llylymgFmgFmgFFyxyx 2211002121jjjiiyiixiqQyF

15、xF0)cossin()cossin2( mglmglmglmgl0cossin0cossin2 mglmglmglmgl1tan21tan 解：方法一解：方法一 、根据 独立性理论力学理论力学2022-3-14194-6 4-6 虚位移原理虚位移原理yx1l2lg1mg2mFO0, 01r022211rFrgrgmm0)cossin2(mglmgl21tan, 0解：方法二解：方法二)2 , 1( , 0jQj021jjjqQW21rr2ryx1l2lg1mg2mFO2r0, 00222rFrgm0)cossin(mglmgl1tan理论力学理论力学2022-3-1420思考题思考题AB地面光滑地面光滑 质点系由圆盘质点系由圆盘B和斜块和斜块A组成，圆组成，圆盘与斜块间有足够大的摩擦力使圆盘在盘与斜块间有足够大的摩擦力使圆盘在斜块上斜块上纯滚动纯滚动，不计滚动摩阻。试分析，不计滚动摩阻。试分析该系统具有的约束是否为理想约束。该系统具有的约束是否为理想约束。