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1、精品数学高考复习资料第2讲 双曲线 一、填空题1若双曲线1(a0)的离心率为2，则a_.解析b，c，2，a1.答案12若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为b，则由题意知b2a，又a2b2c2，5a2c2，离心率e.答案3已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于_解析 右焦点为(3,0)，c3，又c2a2b2a259，a24，a2，e.答案 4已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析 设|PF1|m，|PF2|n，则解得mn
2、2，(mn)2m2n22mn8412，mn2，即|PF1|PF2|2.答案 25设P为直线yx与双曲线1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e_.解析 PF1x轴，xPc，代入1，得yp，来源:P在yx上，yp，3bc，9b2c2，9(c2a2)c2，e.答案 6 已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_解析 由已知得解之得双曲线方程为1.答案 17 过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为_解析 如图所示，
3、不妨设F为右焦点，过F作FP垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作PMOF于M.由已知得M为OF的中点，由射影定理知|PF|2|FM|FO|，又F(c,0)，渐近线方程为bxay0，|PF|b，b2c，即2b2c2a2b2，a2b2，e.答案 8设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积是_解析由可解得又由F1F210可得PF1F2是直角三角形，则SPF1F2PF1PF224.答案249. 如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析设双曲线的标准方程为1(a0，
4、b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案x2110过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A、B.若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_解析 如图，由题知OAAF，OBBF且AOB120，AOF60，又OAa，OFc，cos 60，2.答案2二、解答题11已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若，求AOB的面积解 (1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由
5、(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为，将点P的坐标代入x21，整理得mn1，设AOB2，则tan ，从而sin 2，又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin 22mn2.12设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F22，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由已知，得c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则解得a7，m3.所以b6，n2.故椭圆方程
6、为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1PF214，PF1PF26，所以PF110，PF24.又F1F22，故cosF1PF2.13已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积(1)解e，设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4，)点，16106，双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，又点(3，m)在双曲线上，m23，kMF1kMF21
7、，MF1MF2，0.法二(32，m)，(23，m)(32)(32)m23m2.M在双曲线上，9m26，m23，0.(3)解在F1MF2中，F1F24，且|m|，SF1MF2F1F2|m|46.14已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)(1)求C的离心率；(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切(1)解由题意知，l的方程为yx2，代入C的方程并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由M(1,3)为BD的中点，知1，故1，即b23a2，c2a，C的离心率e2.(2)证明由知，C的方程为3x2y23a2.A(a,0)，F(2a,0)，x1x22，x1x20.故不妨设x1a，x2a，|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|FD|17，故5a24a817，解得a1或a(舍去)故|BD|x1x2| 6.连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，从而MAMBMD，DAB90，因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在A处与x轴相切过A、B、D三点的圆与x轴相切.精品备战高考复习题精品备战高考复习题
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