新编高考第一轮复习数学:13.3 函数的极限
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1、13.3 函数的极限知识梳理1.函数极限的概念:(1)如果f(x)=a且f(x)=a,那么就说当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x时,f(x)a.(2)一般地,当自变量x无限趋近于常数x0(但x不等于x0)时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时,函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当xx0时,f(x)a.(3)一般地,如果当x从点x=x0左侧(即xx0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作f (x)=a.如果从点x=x0右侧(即xx0)无限趋近于x0时,函数f (
2、x)无限趋近于常数a,就说a是函数 f (x)在点x0处的右极限,记作f(x)=a.2.极限的四则运算法则:如果f (x)=a, g(x)=b,那么f(x)g(x)=ab; f(x)g(x)=ab; =(b0).特别提示(1)上述法则对x的情况仍成立;(2)Cf(x)=Cf(x)(C为常数);(3)f(x)n=f(x)n(nN *).点击双基1.f(x)=f(x)=a是f(x)在x0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C2.f(x)=下列结论正确的是A.=f(x)B.=2,不存在C.f (x)=0, 不存在D.f (x)f (x)答案:D3
3、.函数f(x)在x0处连续是f(x)在点x0处有极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A4.(2005年西城区抽样测试) =_.解析: =3.答案:35.若=2,则a=_.解析: =2,=2.a=4.答案:4典例剖析【例1】求下列各极限:(1) (;(2)(x);(3) ;(4) 剖析:若f (x)在x0处连续,则应有f (x)=f (x0),故求f (x)在连续点x0处的极限时,只需求f (x0)即可;若f (x)在x0处不连续,可通过变形,消去xx0因式,转化成可直接求f(x0)的式子.解:(1)原式=.(2)原式=a+b.(3)因为=1,而=
4、1,,所以不存在(4)原式=(cos+sin).思考讨论 数列极限与函数极限的区别与联系是什么?【例2】 (1)设f(x)=;(2)f (x)为多项式,且=1,=5,求f(x)的表达式.解:(1) f (x)= (2x+b)=b,f(x)= (1+2x)=2,当且仅当b=2时, f (x)= f (x),故b=2时,原极限存在.(2)由于f(x)是多项式,且=1,可设f (x)=4x3+x2+ax+b(a、b为待定系数).又=5,即(4x2+x+a+)=5,a=5,b=0,即f (x)=4x3+x2+5x.评述:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.(2)初等函数在其定义域内每点
5、的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】 讨论函数f (x)= x (0x+)的连续性,并作出函数图象.部析:应先求出f (x)的解析式,再判断连续性.解:当0x1时,f (x)= x=x;当x1时,f (x)= x=x=x;当x=1时,f (x)=0.f (x)=f(x)=(x)=1,f(x)= x=1,f(x)不存在.f (x)在x=1处不连续,f (x)在定义域内的其余点都连续.图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而判断连续性.闯关训练夯实基础1.已知函数f (x)是偶函数,且f (x
6、)=a,则下列结论一定正确的是A. f (x)=a B. f (x)=aC. f (x)=|a| D. f(x)=|a|解析:f (x)是偶函数,f (x)=f(x).又f (x)=a,f(x)=a,f (x)=f (x),f(x)= f (x)=a.答案:B2.(2004年全国,理2)等于A. B.1 C. D.解析:=.答案:A3.已知函数y=f (x)在点x=x0处存在极限,且f (x)=a22,f (x)=2a+1,则函数y=f (x)在点x=x0处的极限是_.解析:y=f(x)在x=x0处存在极限,f(x)=f(x),即a22=2a+1.a=1或a=3.f (x)=2a+1=1或7.
7、答案:1或74.若f (x)=在点x=0处连续,则f (0)=_.解析:f(x)在点x=0处连续,f (0)=f (x),f (x)= = =.答案:5.已知函数f (x)=,试求:(1)f (x)的定义域,并画出图象;(2)求f (x)、f (x),并指出f (x)是否存在.解:(1)当|x|2时,=1;当|x|2时,=1;当x=2时,=0;当x=2时,不存在.f (x)=f (x)的定义域为x|x2或x=2或x2.如下图:(2)f (x)=1,f (x)=1.f (x)不存在.6.设函数f (x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且f (x)=0,f (x)=3,求出这一函数最大值.解:f
8、(x)=ax2+bx+c是一偶函数,f (x)=f (x),即ax2+bx+c=ax2bx+c.b=0.f (x)=ax2+c.又f (x)= ax2+c=a+c=0, f(x)=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1.f (x)=x2+1.f (x)max=f(0)=1.f (x)的最大值为1.培养能力7.在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求.解:设所在圆圆心为O,则C、D、O都在AB的中垂线上,AOD=BOD=.设OA=r.SABC=S四边形AOBCSAOB=r2sinr2sinx=r2sin(1cos),SABD=S四
9、边形AOBDSAOB=r2tanr2sinx=r2.=.8.当a0时,求.解:原式= =探究创新9.设f(x)是x的三次多项式,已知=1.试求的值(a为非零常数).解:由于=1,可知f(2a)=0. 同理f(4a)=0. 由,可知f(x)必含有(x2a)与(x4a)的因式,由于f(x)是x的三次多项式,故可设f(x)=A(x2a)(x4a)(xC).这里A、C均为待定的常数.由=1,即=A(x4a)(xC)=1,得A(2a4a)(2aC)=1,即4a2A2aCA=1. 同理,由于=1,得A(4a2a)(4aC)=1,即8a2A2aCA=1. 由得C=3a,A=,因而f(x)=(x2a)(x4a
10、)(x3a).=(x2a)(x4a)=a(a)=.思悟小结1. f(x)=Af(x)= f(x)=A,f(x)=Af(x)=f(x)=A.2.函数f(x)在x0处连续当且仅当满足三个条件:(1)函数f(x)在x=x0处及其附近有定义;(2)f(x)存在;(3) f(x)=f(x0).3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.教师下载中心教学点睛1.在讲解过程中,要讲清函数极限与数列极限的联系与区别,借助于函数图象讲清连续性的意义.2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限,并有趋近于无穷大和趋近于常数两类,需给予关注.3.在求函数极限时,需观察,对不能直接求的可以化简后求,但提醒学生要注意类似于与的区别.拓展题例【例1】 设f(x)=问k为何值时,有f(x)存在?解: f(x)=2k, f(x)=1,要使f(x)存在,应有2k=1.k=.【例2】 a为常数,若(ax)=0,求a的值.解:(ax)= =0,1a2=0.a=1.但a=1时,分母0,a=1.
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