整式的乘除竞赛题

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1、初二上加深提高部分整式的乘除复习题1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题例：若x=123456789123456786，y=123456788123456787，试比较x、y的大小解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a.x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-20xy看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！问题：计算1.3450.3452.69-1.3453-1.3450.3452解：设1.345=x，那么：原式=x（x-1）2x-x3-x（x-1

2、）2，=（2x3-2x2）-x3-x（x2-2x+1），=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x，=-1.3454、我们把符号“n!”读作“n的阶乘”，规定“其中n为自然数，当n0时，n!=n（n-1）（n-2）21，当n=0时，0!=1”例如：6!=654321=720又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”按照以上的定义和运算顺序，计算：（1）4!= ；（2）（3+2）!-4!= ；（3）用具体数试验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？12. 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的运算这一章时，发现有些整式乘法结果

3、很有特点，例如：（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算

4、（-x-2y）（x2-2xy+4y2）吗？2、一个单项式加上多项式9（x-1）2-2x-5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式3、化简：（1）；（2）多项式x2-xy与另一个整式的和是2x2+xy+3y2，求这一个整式解：（1）原式=2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab；（2）（2x2+xy+3y2）-（x2-xy）=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2这个整式是x2+2xy+3y2点评：（1）关键是去括号按5、设，求整式的值6、已知整式2x2+ax-y+6与整式2bx2-3x+5y-1的差与字母x的值无关，试求代数式7（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2

5、a2b-3ab2-3a2）的值解：（2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y-1）=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+7，因为它们的差与字母x的取值无关，所以2-2b=0，a+3=0，解得a=-3，b=12（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6（-3）2-4（-3）21+5（-3）1+41=78。在盒子里放有四张分别写有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母（1）求能组成分式的概率；（2）在抽取的能

6、组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式解：（1）四张分别写有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母共有43=12种结果，其中以“2” 作分母的3个，不能组成分式，故可以组成9个分式，能组成分式的概率为=；（2）答案不唯一如，=，9. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2x2-9x+10请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果解：设第二个多项中

7、的x的系数为Z，（2x+a）（Zx+b）=2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10，Z=1，第二个多项中的x的系数是1，（2x+a）（x+b）=2x2-9x+10，2b+a=-9，ab=10，b=-2，a=-5，（2x+a）（3x+b）=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10；13. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4a2+2b2+3c2误以为是加上-4a2+2b2+3c2，结果得出的答案是a2-4b2-2c2，求原题的正确答案 解：设原来的整式为A则A+（-4a2+2b2+3c2）=a2-4b2-2c2A=5a2-6b2-5c2A-（-4a2+2b2+3c2）=5

8、a2-6b2-5c2-（-4a2+2b2+3c2）=9a2-8b2-8c2原题的正确答案为9a2-8b2-8c210. 根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式（1）友谊商店实行货物七五折优惠销售，则定价为x元的物品，售价是多少元？（2）一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/小时，A，B两站间的距离是120千米，则火车从A站开往B站需要多长时间？（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%的工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？解：（1）根据题意得，售价为：75%x，是整式，是单项式；（2）根据题意，t=，不是整式；（3）根据题意得

9、，现在人数为：（1-25%）m+3，是整式，是多项式11. 某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍（1）玉米种植面积与水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示m；（2）当a=102亩时，求m的值 解：（1）m=3a-（a+5），=3a-a-5，=2a-5；（2）当a=102时，m=2102-5，=199（亩）14. 红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30元，同时每月要消耗其他人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元（1）若每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获

10、得的利润（注：利润=销售总额-成本-其他费用）（2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预计11月份可销售300块，采取哪一种销售方式获得的利润多？（3）若你是红星中学校办工厂的厂长，请你进行决策：当预计销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？解：（1）厂家直销的利润为（30-20）x-1200；委托商场销售的利润为（24-20）x；（2）当x=300时，厂家直销的利润为10300-1200=1800（元）；委托商场销售的利润为（24-20）300=1200（元）；采取厂家直销的利润大；（3）当x=200时，厂家直销的利润为10200-1200=800（元）；委托商场销售的利润为42

11、00=800（元）；两种销售方式一样16、探究应用：（1）计算（a-2）（a2+2a+4）= （2x-y）（4x2+2xy+y2）=（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：（请用含ab的字母表示）（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是A（a-3）（a2-3a+9）B（2m-n）（2m2+2mn+n2）C（4-x）（16+4x+x2）D（m-n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x-2y）（9x2+6xy+4y2）=（2m-3）（4m2+6m+9）=17. 阅读下面学习材料：已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1，求m的值解法一：设2x3-x2+m

12、=（2x+1）（x2+ax+b），则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得：，解得，所以m=0.5解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为了方便计算，取x=-0.5，得2（-0.5）3-0.52+m=0，解得m=0.5根据上面学习材料，解答下面问题：已知多项式x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2，试用两种方法求m、n的值解：解法1：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），（1分）则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b（2分）比较系数得：

13、，解得，所以m=-5，n=20 （4分）18. （1）化简：3x2y-2xy-（xy-x2y+2xy）（2）已知A=2x2+xy+3y2，B=x2-xy+2y2，C是一个整式，且A+B+C=0，求C解：（1）原式=3x2y-2xy-3xy+x2y，（2分）=3x2y-x2y+xy，=x2y+xy；解：（2）A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2=3x2+5y2（2分），A+B+C=0，C=-（A+B），=-3x2-5y2（4分）19、问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法和多项式的因式分解带来的方便，快捷相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦例：用

14、简便方法计算195205解：195205=（200-5）（200+5）=2002-52=39975（1）例题求解过程中，第步变形是利用（填乘法公式的名称）；（2）用简便方法计算：91110110001问题2：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a

15、）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”（1）利用“配方法”分解因式：a2-4a-12问题3：若x-y=5，xy=3，求：x2+y2；x4+y4的值15.阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决例：若x=123456789123456786，y=123456788123456787，试比较x、y的大小解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a，x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-20，xy看完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准

16、行！问题：计算3.4562.4565.456-3.4563-1.4562解：设3.456为a，则2.456=a-1，5.456=a+2，1.456=a-2，可得：3.4562.4565.456-3.4563-1.4562=a（a-1）（a+2）-a3-（a-2）2=a3+a2-2a-a3-a2+4a-4=2a-4，a=3.456，原式=2a-4=23.456-4=2.91220.计算：（1）（-8a4b5c）（4ab5）（3a3b2）（2）2（a2x）3-9ax5（3ax3）（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2（4）运用整式乘法公式计算1232-124122（5）（xy+2）

17、（xy-2）-2x2y2+4（xy），其中x=10，y=-解：（1）（-8a4b5c）（4ab5）（3a3b2），=-2a3c（3a3b2），=-6a6b2c；（2）2（a2x）3-9ax5（3ax3），=2a6x3-9ax5（3ax3），（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2，=（9m2n2-1）-（9m2n2-12mn+4），=9m2n2-1-9m2n2+12mn-4，=12mn-5；（4）1232-124122，=1232-（123+1）（123-1），=1232-（1232-1），=1232-1232+1，=1；（5）（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4（xy），=

18、x2y2-4-2x2y2+4（xy），=（-x2y2）（xy），=-xy；当x=10，y=-时，原式=-10（-）=21、一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？ (这个角是45) 22、如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对面上的数字相等，求x、y的值23、已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数(60)先化简后求值：（x-y）2+（x+y）（x-y）2x，其中x=3，y=1.5（1.5）（2001宁夏）设a-b=-2，求的值（2）计算：解：由题意可设字母n=12346，那么12345

19、=n-1，12347=n+1，于是分母变为n2-（n-1）（n+1）应用平方差公式化简得n2-（n2-12）=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690（2007淄博）根据以下10个乘积，回答问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 2020（1）试将以上各乘积分别写成一个“2-2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明分析：（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可（2）减去的数

20、越大，乘积就越小，据此规律填写即可（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小解答：解：（1）1129=202-92；1228=202-82；1327=202-72；1426=202-62；1525=202-52；1624=202-42；1723=202-32；1822=202-22；1921=202-12；2020=202-02 （4分）例如，1129；假设1129=2-2，因为2-2=（+）（-）；所以，可以令-=11，+=29解得，=20，=9故1129=202-92（或1129=（20-9）（20+9）=202-92（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：112912281327

21、1426152516241723182219212020整式的乘除复习题一学新知识应用 1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题例：若x=123456789123456786，y=123456788123456787，比较x、y的大小解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=，y=a（a-1）=.x-y=-（）=-20xy看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！问题：计算1.3450.3452.69-1.345计算3.4562.4565.456-2、我们把符号“n!”读作“n的阶乘”，规定“其中

22、n为自然数，当n0时，n!=n（n-1）（n-2）21，当n=0时，0!=1”例如：6!=654321=720又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”按照以上的定义和运算顺序，计算：（1）4!= ；（2）（3+2）!-4!= ；（3）用具体数试验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？3. 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的运算这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：（x-1）=，（2a+b）（）=，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是

23、某两项的立方的和（或差）”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算（-x-2y）吗？（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是A（a-3）（）B（2m-n）（2）C（4-x）（16+4x+）D（m-n）（）（4）直接用公式计算：（3x-2y）（）=（2m-3）（+9）=4、问题1：同学

24、们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法和多项式的因式分解带来的方便，快捷相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦例：用简便方法计算195205解：195205=（200-5）（200+5）=2002-52=39975（1）例题求解过程中，第步变形是利用（填乘法公式的名称）；（2）用简便方法计算：91110110001问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式但对于二次三项式，就不能直接运用公式了此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完 全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个

25、项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”（1）利用“配方法”分解因式：二乘法公式应用 5、一个单项式加上多项式后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式6、设，求整式的值若x-y=5，xy=3，求：；的值三整式的计算 7、化简：（1）；（2）多项式与另一个整式的和是，求这一个整式解：8、已知整式与整式的差与字母x的值无关，试求代数式7（）+-（）的值9. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2-9x+10请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结

26、果解：10. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4+2+3误以为是加上-4+2+3，结果得出的答案是-4-2，求原题的正确答案11. 根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式（1）友谊商店实行货物七五折优惠销售，则定价为x元的物品，售价是多少元？（2）一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/小时，A，B两站间的距离是120千米，则火车从A站开往B站需要多长时间？（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%的工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？12. 某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦

27、种植面积的3倍（1）玉米种植面积与水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示m；（2）当a=102亩时，求m的值13. 红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30元，同时每月要消耗其他人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元（1）若每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润（注：利润=销售总额-成本-其他费用）（2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预计11月份可销售300块，采取哪一种销售方式获得的利润多？（3）若你是红星中学校办工厂的厂长，请你进行决策：当预计销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好

28、？14. （1）化简：3y-2xy-（xy-y+2xy）（2）已知A=2+xy+3，B=-xy+2，C是一个整式，且A+B+C=0，求C15、如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对面上的数字相等，求x、y的值16计算：（1）（-8c）（4a）（3） （2）-9a（3a）（3）（3mn+1）（-1+3mn）- （4）运用整式乘法公式计算-124122三写多项式方法 17. 阅读下面学习材料：已知多项式2-+m有一个因式是2x+1，求m的值根据上面学习材料，解答下面问题：已知多项式+m+nx-16有因式x-1和x-2，试用

29、两种方法求m、n的值四余角和补角 18、一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？ 19、已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数小测验 姓名 1.在盒子里放有四张分别写有整式3-3，-x，+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母（1）求能组成分式的概率；（2）在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式2. 先化简后求值 +（x+y）（x-y）2x，其中x=3，y=1.53. 设a-b=-2，求的值4. 计算5根据以下10个乘积，回答问题：1129； 1228； 1327； 1426； 152

30、5；1624； 1723； 1822； 1921； 2020（1）试将以上各乘积分别写成一个“2-2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用

31、公式法、分组分解法和十字相乘法本讲和下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1

32、+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n为奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2xn-1yn(

33、x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a

34、5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c

35、)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0时，则a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，则有等号成立的充要条件是x=y=z这也是一个常用的结论例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x1

36、5开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解解 因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例4 分解因式：

37、x3-9x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1 将常数项8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2 将一次项-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解

38、法4 添加两项-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)将-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(

39、x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)将4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)

40、2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到

41、拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了解 设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x

42、2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础例8 分解因式：(x2+4x

43、+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2

44、-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体解法2原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字

45、母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2练习一1分解因式： (2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x52分解因式：(1)x3+3x2-4； (2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+3233分解因式：(1)(2x2-3

46、x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)1双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法

47、，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1) =(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+

48、bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)说明 (4)中

49、有三个字母，解法仍与前面的类似2求根法我们把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根对于任意多

50、项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2解法1 用分组分解法，使每组都有因式(

51、x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析 因为9的约数有1，3，9；-2的约数有1，为：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3

52、x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了3待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系

53、数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和xyn的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决解 设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n

54、)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是1，7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解 设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=

55、(x2-7x+1)(x2+5x+7)说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地练习二1用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z22用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(

56、3)4x4+4x3-9x2-x+23用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9初中数学竞赛专题培训第十一讲 勾股定理与应用勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的下面的证法1是欧几里得证法证法1 如图2-16所示在RtABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACF

57、G，它们的面积分别是c2，a2，b2下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和过C引CMBD，交AB于L，连接BG，CE因为AB=AE，AC=AG，CAE=BAG，所以ACEAGB(SAS)而所以 SAEML=b2 同理可证 SBLMD=a2 +得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2证法2 如图2-17所示将RtABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB由作图易知ADGGEHHFBABC，所以AG=GH=HB=AB=c，BAG=AGH=GHB=HBA=90，因此，AGHB为边长是c的正方形显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(ABC，ADG，GEH，HFB)的面积和，即化简得 a2+b2=c2证法3 如图2-18在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EGCB延长线于G，自D作DKCB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H由作图不难证明，下述各直角三角形均与RtABC全等：AFEEHDBKDA