勾股定理及其应用

《勾股定理及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理及其应用（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第五次课 勾股定理及其应用本章知识要点A. 勾股定理及其逆定理。B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法） 。C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。D. 勾股定理及其逆定理的应用。E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、 “化归与转化”思想等数学思想内容/ 概念表示方法 / 举例勾股定理直角三角形 两直角边的平方和 等于斜边的平方如果用 a ，b表示直角三角形 的两直角边， c 表示斜边， 那么 a2 b2 c2勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边满足： 两 短边的平方和等于最长边的平 方，那么这个三角形是直角三角 形用 a,b,c （ c 为最长边）表示 三角形的三边，如果 a2

2、 b2 c2，那么这个三角形 是直角三角形勾股数满足 a2 b2 c2的三个 正整数， 称为一组勾股数常见的勾股数有： 3,4,5 ；5,12,13 ；6,8,10 ；7,24,25 ；8,15,17 等基本勾股数组满足 a2 b2 c2且a,b,c 互质的 三个正整数，称为一组基本勾股 数组常见的基本勾股数组有：3,4,5 ；5,12,13 ；7,24,25 ；8,15,17 等重点知识 勾股定理的验证验证方法验证过程（美）伽菲尔德总统拼图如右图， 直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和 ，所1 1 1 2 以 a b a b 2 ab c2222a b c赵爽弦图如右图，用四个全等的直

3、角三角形可得到一个以 b a 为边长 的小正方形和一个边长为 c 的大正方形，因为大正方形的边长 为 c ，所以面积为 c2 ，又因为大正方形被分割成了四个全等的 直角边长分别为 a,b 的直角三角形和一个 边长为 b a 的正方形， 所以其面积为 4 1ab b a 2 所以 c2 4 1ab b a 2 ，22从而 c2 a2 b2 .刘徽：青朱出入图如右图，通过拼图，以 c 为边 长的正方形面积等于分别以 a,b为边长的两个正方形的面 积之和名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列

4、出等式，推导勾股定重点知识 确定几何体上的最短路线描述示意图FC展开DEAB将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方圆柱的侧面展开图是一个长方形B2展开2 B A2 B BBAB名师提示设 AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCCD 的面积验证勾股定理 a1 2 3 b2 c2.勾股数组有例 2 (1) 在下列数组 3， 4，40，41；8，15，17；10，图 1-1-6图 1-1-5（2） 已知 ABC中， B 90o， A, B, C 的对应边分别是 a,b,c，且 a 5,b 12 ，则 c2（3） 已知一直角三角形中有两边长分别为 3和 4，第三边的平方为例 3 已知，如图

5、 1-1-2 ，四边形 ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm， A=90，求四边形 ABCD的面积例4 如图的长.例5 （1）已知RtABC的两直角边 AC=5，BC=12，D是BC上 的平分线时，求 CD的长？（ 2）如 图 1-1-5 ，一 张长 为 8cm, 宽 为 4cm 的矩点 C恰好 落在 点 A 上，求 AE的长。（ 3）如图 1-1-6, 将 矩形 ABCD沿直 线 AE折叠 , 顶点 D 恰 好图落1在-1-4B C边上 F点处,已知AB=3,BC=4, 求图中阴影部分的面积.1-1-4 ，已知在 ABC中， AB=10，BC=21，AC=1

6、7，求 BC边上的高 ADAAEF折叠 ，当形纸B片 ABCD沿D，请问它飞行的原长 16 m ，你能求出旗杆在离底部多少例 6. （ 1）如图 1-2-9 （1）， 最短路程是多少米？2）如图 1-1-9米的位置断裂吗？图 1-2-9 （1）部落在离旗杆底部风过 后，一，旗杆顶离分别为 AC10 千例 7 如图 1-2-6 ，A、B 两个小镇在河流 CD同侧，到米，BD30千米，且 CD30 千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水 . 铺设水管的费用为每千米 3 万元，请你在河岸上选择自来水厂的 图 1-1-9 （ 2）位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用 .例

7、 8 如图 1-2-7 ，一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离 墙底 0.7 m ，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m ，求梯家庭作业底端将向左滑动多少米？图 1-2-6图 1-2-71. 下列结论错误的是（ ）A.三个角度之比为 123 的三角形是直角三角形；B. 三条边长之比为 345 的三角形是直角三角形；C. 三条边长比为 81617 的三角形是直角三角形；D. 三个角度之比为 112 的三角形是直角三角形。2.在Rt ABC 中，斜边 AB=1，则式子 AB2 BC2 AC 2的值为（） cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短

8、距离 是多少？A 、 2；B、4；C、 6；D 、83. 直角三角形的两直角边分别为A 13 B 8.5 C5、12，则它斜边上的高为（）D 301360134. 图1-1-1 中两个正方形阴影部分面积分别为A=16cm2 ,B=25 cm2 , 则直角三角形的面积为（ ）2 2 2A. 6 cm2 B. 12cm2 C. 24 cm22D. 3 cm5. ABC中，AB 25，BC20，CA15，CM和 CH分别是中线和高。那么 SABC，MH6.已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为CH图 1-1-17.ABC中，AB=AC=1c7m，BC=16cm，ADBC于 D，则

9、AD=.8. 如图 1-1-2 ，D为ABC的边 BC上的一点，已知 AB=13，AD=12， AC=15,BD=5，则 BC 的长为9.如图 1-1-5 ，A、B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为 AC=10千米， BD=30千米，且 CD=30千米，现在要在河边建 供水，铺设水管的费用为每千米 3 万元，请你在河流 CD上选图择1-水1-2厂 的位置 M，自来水厂，向 A、B 两镇使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？10.如图 1-1-6 ，一架梯子的长度为 25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端 A为 7 米。离墙底端这个梯子顶端离地面有多高？C 图 1-1-5 D 如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？11.如图 1-2-11 ，长方体的长为15cm，(1) 对于长方体相邻两个面的展开图， 一定要注意打开的是哪一个 侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径 .(2) 勾股定理是直角三角形的一个重要性质， 它把三角形有一个直 角的“形”的特征， 转化为三边“数”的关系，是数形结合的一 个典范(3) 直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中， 也就是把一些 实际问题转化为数学问题来解决。例1 两个全等的长方形如图 1-1-1 放置，可验证勾股定理 .连接AC,AC ，CC ，