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1、常考问题17计数原理、随机变量及其分布列来源:中#国教#育出#版网真题感悟(20xx江苏卷)设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其数学期望E()解(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(0).(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P()，于是P(1)1P(0)P()1，所以随机变量的分布列是01P()因此E()1.考题分析来源:zzs高考对本内容的考查主要有：
2、(1)分类加法计算原理、分步乘法计数原理，B级要求(2)排列与组合，B级要求(3)离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率及相互独立事件，A级要求(4)n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级要求.1两种计数原理分类计数原理和分步计数原理2排列(1)排列的定义；(2)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(mn，m，nN*)3组合(1)组合的定义；(2)组合数公式：C(mn，m，nN*)(3)组合数性质：CC；CCC.4概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；离散型随机变
3、量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性质：1pi0(i1,2,3，n)；2p1p2p3pn1；(2)特殊的概率分布列：01分布(两点分布)符号表示：X01分布；来源:超几何分布：1符号表示：XH(n，M，N)；2概率分布列：XH(r；n，M，N)P(Xr)；二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1符号表示：XB(n，p)；2概率分布列：P(Xk)Cpk(1p)nk.注意：P(X0)P(X1)P(X2)P(Xr)P(Xn)1.热点一与计数原理有关的问题【例1】 (20xx江苏卷)设整数n4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b1,2,3，n，ab.(1)记An为满足a
4、b3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足(ab)是整数的点P的个数，求Bn.解(1)点P的坐标满足条件1ba3n3，所以Ann3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及ab3k的点P的个数，只要讨论fn(k)1的情形由1ba3kn3k知fn(k)n3k，且k，设n13mr，其中mN*，r0,1,2，则km，所以Bnfn(k)(n3k)mn，将m代入上式，化简得Bn，所以Bn规律方法 此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算【训练1】 (20xx江苏卷)设集合Pn1,2，n，nN*.记f(n)为同时满足下列条件的
5、集合A的个数：APn；若xA，则2xA；若xPnA，则2xPnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)解(1)当n4时，符合条件的集合A为：2，1,4，2,3，1,3,4，故f(4)4.(2)任取偶数xPn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是xm2k，其中m为奇数，kN*.由条件知，若mA，则xAk为偶数；来源:中|国教|育出|版网若mA，则xAk为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，所以f(n)热点二概率、相互独立事件和独立
6、重复实验【例2】 (20xx南通模拟)某品牌设计了编号依次为1,2，3，n(n4，且nN*)的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j(0i，jn，且i，jN)种款式用来拍摄广告(1)若ij2，且甲在1到m(m为给定的正整数，且2mn2)号中选择，乙在(m1)到n号中选择记Pst(1sm，m1tn)为款式(编号)s和t同时被选中的概率，求所有的Pst的和；(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率解(1)甲从1到m(m为给定的正整数，且2mn2)号中任选两款，乙从(m1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为CC，记“款式s和t(1sm，m1tn)同时被选中”为
7、事件A，则事件A包含的基本事件的种数为CCCC，所以P(A)Pst，则所有的Pst的和为：CC4；(2)甲从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：CCCC2n，同理得，乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n，据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：2n2n4n，记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件B，则事件B的对应事件为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，而事件包含的基本事件种数为：C(CCCC)C(CCCC)C(CC)C(C)C2nC2n1C2C20(12)n3n，来源:所以P(B)1P()1n.规律方法 对于求较复杂事件的概率问题，可以将所求事件转化
8、成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率来源:【训练2】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击求乙恰好射击5次后被中止射击的概率解(1)甲至少一次未击中目标的概率P1是P1P4(1)P4(2)P4(3)P4(4)1P4(0)140.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P2C
9、22，乙射击4次恰击中3次的概率为P3C3，由乘法公式得，所求概率为PP2P3.(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P32C23. 热点三离散型随机变量分布列及其数学期望【例3】 (20xx陕西卷)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2
10、)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A )P(A)P()P(A)1P(B)，(或P(A )(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C).来源:X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为来源:数理化网P(X0)P( )，来源:中教网P(X1)P(A )P( B )P( C)，P(X2)P(AB )P(A C)P( BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123PX的数学
11、期望E(X)0123.来源:中国教育出版网规律方法 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算【训练3】 (20xx辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望解(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C02；P(X1)C11C02；P(X2)C20C11；P(X3)C20.所以X的分布列为：X0123P来源:z&zs&所以E(X)01232.备课札记： 来源:数理化网
新编高考数学理科专题教学案：计数原理、随机变量及其分布列含答案
