高三数学复习真题模拟原创专题七直线与圆的方程教师版

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1、做好题，得高分，精选习题，真给力！（）3年高考2年模拟1年备战2012高考精品系列之数学专题七 直线与圆的方程【考点定位】2011考纲解读和近几年考点分布2011考纲解读（1）直线与方程 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系. 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（2）圆与方程 掌

2、握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.（3）空间直角坐标系 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. 会推导空间两点间的距离公式.近几年考点分布直线与圆的方程考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。直线与圆的方程所涉及到的知识都是平面解析几何中最

3、基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。【考点pk】名师考点透析考点一、直线的方程例1.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.解 （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-3，3k+4，由已知，得（3k

4、+4）（+3）=6，解得k1=-或k2=-.直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知，得|-6bb|=6，b=1.直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.【名师点睛】1直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为，它们的关系为：ktan；(2)若（x1,y1），（x,y），则。2.直线的方程a.点斜式：； b.斜截式：；c.两点式：； d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.考点二、两直线的位置关系例2.求过两直线l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0的

5、交点，且与直线3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.【名师点睛】1.直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若 若A1、A2、B1、B2都不为零。l1/l2；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1与l2相交；l1与l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.2.夹角与到角：l1到l2的角：直线l1绕交点依逆时针旋转到l2所转的角有tan=（k1k2-1）。l1与l2的夹角，有tan=|（k1k2-1）。2

6、 3.距离（1）两点间距离：若，则特别地：轴，则、轴，则。（2）平行线间距离：若， 则：。注意点：x，y对应项系数应相等.（3）点到直线的距离：，则P到l的距离为：考点三、曲线与方程例3、已知O的半径为3，直线l与O相切，一动圆与l相切，并与O相交的公共弦恰为O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M（x，y），O与M的公共弦为AB，M与l切于点C，则|MA|=|MC|.AB为O的直径，MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|.

7、化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.【名师点睛】轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法 待定系数法；（2）双动点的轨迹问题代入法；（3）多动点的轨迹问题参数法 交轨法。求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化（把图形放在最特殊的位置上），这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。考点四、圆的方程例4.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个,若存

8、在,请求出来;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.又动圆过点(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组可得或故所求圆C的方程为 (x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=.当r满足r+5d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.【名

9、师点睛】（1）圆方程的三种形式标准式：，其中点（a，b）为圆心，r0，r为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小一般式：，其中为圆心为半径，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D、E、F若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程参数式：以原点为圆心、r为半径的圆的参数方程是（其中为参数）以（a，b）为圆心、r为半径的圆的参数方程为（为参数），的几何意义是：以垂直于y轴的直线与圆的右交点A与圆心C的连线为始边、以C与动点P的连线为终边的旋转角，如图所示三种形式的方程可以相

10、互转化，其流程图为：2二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C0且B=0”是一个一般的二元二次方程表示圆的必要条件二元二次方程表示圆的充要条件为“A=C0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得3参数方程与普通方程我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，考点五、直线、圆的位置关系例5.从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被

11、x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=.反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1,=1,解得b1=-,b2=1.kAB=-或kAB=-.l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二 已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律

12、知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,即12k2+25k+12=0.k1=-，k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.消去b得=1.即12k2+25k+12=0,k1=-,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.【名师点睛】1.直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个

13、交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr0)上,n2=2pm,l2=2pk.为定值.2（河北省唐山一中2011届高三理）已知过点（1,1）且斜率为（）的直线与轴分别交于两点，分别过作直线的垂线，垂足分别为求四边形的面积的最小值.解：设直线l方程为,则P（），2分从而PR和QS的方程分别为，5分又，又四边形PRSQ为梯形9分四边形

14、PRSQ的面积的最小值为 12分3(福建省三明市2011年高三三校联考文科)（本小题满分12分）已知可行域的外接圆与轴交于点、，椭圆以线段为长轴，离心率 （1）求圆及椭圆的方程（2）设椭圆的右焦点为，点为圆上异于、的动点，过原点作直线的垂线交直线于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明。 解：（ 1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形1分因为 为直角三角形外接圆是以原点O为圆心，线段为直径的圆故其方程为3分设椭圆的方程为 又 ，可得故椭圆的方程为5分所以直线的方程为，因此点的坐标为（2, 9分10分当，当， 综上，当时，故直线始终与圆相切12分2010年模拟试题及答案一、选择题1（2010安

15、徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文）下列说法正确的是（ D ）A是直线与直线互相垂直的充要条件B直线是函数的图象的一条对称轴C已知直线：与圆：，则圆心到直线的距离是D若命题P：“存在，”，则命题P的否定：“任意，2(福建省2010届5月模拟理)已知圆C:及直线，当直线截得弦长为时，则( C )A B C D3（福建省莆田市2010年质检理）经过圆2的圆心，且与直线垂直的直线的方程式（ B ）A B C D4. （福建省龙岩市2010年一次质检文） 已知直线，若直线，则直线的倾斜角为CA. B. C. D. 5（2010届安徽省安庆一中高三三模（理）8直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是

16、 A B C D6（福建省福州市2010年3月质检文）过点（1，2）且与圆相切的直线方程为（ C ）A或 B或 C D7（2010届江西省吉安市高三二模（理）12圆C1的方程为圆C2的方程过C2上任意一点作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，设PM与PN夹角的最大值为，则（ B ）ABCD的取值有关8(福建省2010届5月模拟文)圆与圆关于直线对称，则与的值分别等于 （ B ） A， B， C， D， 9（福建省宁德三县市二联文）若直线 被圆截得的弦长为4，则的最大值是（A ）A B C2 D4 10（福建省宁德三县市2010二联理）已知圆关于直线对称，则 的取值范围是（ A ）。A

17、 B. C. D. 11（2010届北京市丰台区高三二模（理）2直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（ ） A相切 B 直线过圆心 C直线不过圆心但与圆相交 D相离答案：B12(福建省厦门市2010年3月质检查）若直线被圆截得的弦AB最短，则直线AB的方程是（ ） ABCD13（2010届杭州五中高三下5月模拟（理）4若圆上有且仅有两点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（ A ）A B C D14（福建省福州市2010年3月质检理）若直线没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数是（C ）A0B1C2D1或2二、填空题1（2010安徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文

18、）13圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差是_2（泉州市2010年3月质检理）已知圆的半径是，则 。33（福建省泉州市2010年3月质检文）经过圆的圆心C，且与直线垂直直线的方程是 。4（2010届广东湛江市高三一模（文）14、（坐标系和参数方程选做题）已知圆O的方程是，则圆O上的点到直线 (t是参数) 的距离的最大值是 3 5（2010届北京市朝阳区高三二模（理）（10）已知圆（为参数），直线，则圆心到直线的距离为 . 6（2010届北京市朝阳区高三一模（理）（10）圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为 .答案：三、解答题1（2010安徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文）18（12分）求

19、经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程解：由题意知：过A（2，1）且与直线：x+y=1垂直的直线方程为:y=x3,圆心在直线：y=2x上，由 ,即且半径，所求圆的方程为：2 （福建省宁德三县市2010年4月高三第二次联考理）（本小题满分14分）已知圆O：，点O为坐标原点,一条直线：与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B。 （1）设,求的表达式（2）若，求直线的方程； （3）若，求三角形OAB面积的取值范围解 （1）与圆相切,则,即,所以.3分（2）设则由，消去得:又，所以 5分则由, 所以所 7分所以.8分（3）由（2）知： 所以10分由弦长公式得所以解得14分【一年原创】 1、直线yx.

20、与圆x2y24x10的位置关系是 ()A直线与圆相切 B直线与圆相交但不过圆心C直线与圆相离 D直线过圆心解析：圆的标准方程为(x2)2y23.又圆心(2,0)到直线yx的距离dr，直线与圆相切答案：A2、直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是 ()A(0，1) B(1，1)C(1，1) D(0，1)解析：圆心(0，a)，半径ra.a，0a1.答案：A3、若P(2，1)为圆(x1)2y225的弦AB中点，则直线AB的方程是 ()Axy30 B2xy30 Cxy10 D2xy50 答案：A4、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为的点共有 ()A1个 B2个

21、C3个 D4个解析：圆的圆心(1，2)，半径R2，而圆心到直线xy10的距离为.答案：C5、若直线2xyC0按向量a(1，1)平移后与圆x2y25相切，则C的值为 ()A8或2 B6或4 C4或6 D2或8答案：A6、若直线与曲线，（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为解析：选D如图所示，直线与圆相切之间的情形符合题意，计算圆心（2，0）到直线的距离等于圆半径1，即，解得，所以.7、过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)则圆C的方程为 .解析：圆心既在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，又在点的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线垂直的直线为，的中垂线为，联立方程，解得，即

22、圆心，半径，所以，圆的方程为.【答案】8、过点（2,3）作圆x2y24的切线，则切线方程为_ _9、若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 。1610、一直线经过点P(3，)被圆x2y225截得的弦长为8，求此弦所在直线方程解答：(1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x3，代入x2y225，得y14，y24.弦长为|y1y2|8，符合题意(2)当斜率k存在时，设所求直线方程为yk(x3)，即kxy3k0.由已知，弦心距|OM| 3，3，解得k.所以此直线方程为y(x3)，即3x4y150.所以所求直线方程为x30或3x4y150.11、已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y2

23、8x4y160.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为yx，直线l的斜率k，因为|m|(m21)，所以|k|，当且仅当|m|1时等号成立所以斜率k的取值范围是，(2)不能由(1)知l的方程为yk(x4)，其中|k|.圆C的圆心为C(4，2)，半径r2.圆心C到直线l的距离d.由|k|，得d1，即d.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧12、已知圆C经过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方

24、程；(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A、B，AOB90，求直线l的方程解：(1)直线PQ的方程为y3(x1)即xy20，C在PQ的中垂线y1(x)即yx1上，设C(n，n1)，则r2|CQ|2(n1)2(n4)2，由题意，有r2(2)2|n|2，n2122n26n17，n1或5，r213或37(舍去)，圆C为(x1)2y213.(2)设直线l的方程为xym0，由，得2x2(2m2)xm2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21m，x1x2，AOB90，x1x2y1y20，x1x2(x1m)(x2m)0，m2m120，m3或4(均满足0)，l为xy30或xy40.【考点预测

25、】 2012高考预测（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；复习建议抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m0）”等时，采用

26、截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论；（4）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终.【母题特供】母题一： 金题引路：已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，（1）求k、b

27、的值；（2）若这时两圆的交点为A、B，求AOB的度数.解：（1）圆x2+y2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，y=kx+b为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.k=-1，k=2.点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），1=2(-2)+b，b=5.k=2，b=5.（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=而圆的半径为2AOB=120母题二： 金题引路：已知圆C经过P（4， 2），Q（ 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5（1）求直线PQ与圆C的方程（2）若直线lPQ，且

28、l与圆C交于点A、B，求直线l的方程解：(1) PQ为，C在PQ的中垂线即y = x 1上设C（n，n 1），则由题意，有 n = 1或5，r 2 = 13或37（舍）圆C为解法二：设所求圆的方程为由已知得解得当时，；当时，（舍） 所求圆的方程为 (2) 设l为由，得设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， m = 3或 4（均满足） l为母题三： 金题引路： 已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，的面积为（1）试将表示成的函数，并求出其定义域；（2）求的最大值，并求取得最大时的值解：（1）设圆心到直线的距离为，则，所以，（2）当且仅当时取等号，此时母题四： 金题引路：已知圆O：，点O为坐标

29、原点,一条直线：与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B （1）设,求的表达式； （2）若，求直线的方程； （3）若，求三角形OAB面积的取值范围.则由, 所以所 8分所以. 9分（3）由（2）知： 所以 12分由弦长公式得所以解得 14分母题五： 金题引路：已知圆及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足，（1）求的轨迹的方程；（2） 过点作直线，与曲线交于两点，为坐标原点，设，是否存在这样的直线，使四边形的对角线相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：（1），所以椭圆方程为（2）四边形为平行四边形，又其对角线相等，则当直线的斜率不存在时，四边形的对角线不相等；当直线的斜率存在时，设直线，联立整理得（*）代入得所以存在直线