极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解

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1、极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y 都是某个变数t 的函数，即x f (t)y f (t)并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点M（ x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、 y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（ x0， y0），倾角为的直线：xx0t cos（ t 为参数）yy0t sin其中参数 t 是以定点P（ x0，y0 ）为起点，对应于t 点 M（ x， y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P 与点 M 间的有

2、向距离根据 t 的几何意义，有以下结论设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和 tB，则 AB tBtA1(tBt A ) 24t A t B t At B 线段 AB 的中点所对应的参数值等于22002中心在（ x， y ），半径等于 r 的圆：xx0 r cos为参数）yy0（r sin3中心在原点，焦点在x 轴（或 y 轴）上的椭圆：xa cos（ 为参数）（或xbcosybsiny）a sin中 心 在 点 （ x0,y0 ） 焦 点 在 平 行 于 x轴的直线上的椭圆的参数方程xx0a cos ,( 为参数）yy0b sin .4中心在原点，焦点在x 轴（或 y

3、轴）上的双曲线：xa secybtg（为参数）（或xbtg）yasec5顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：x2 pt 2y2 pt直线的参数方程和参数的几何意义（ t 为参数， p0）过定点 P（ x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是xx0t cos（ t 为参数）yy0t sin（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向 （通常取逆时针方向） 。对于平面内的任意一点M，用表示线段 OM的长度，表示从 Ox 到 OM 的角，叫做点 M 的极径，叫做点M 的极角，有序数对 ( ,)就叫做点 M 的极坐标。这样建立的

4、坐标系叫做极坐标系。MOx图12、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点 P(，)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的， P( ， ) （极点除外）的全部坐标为(, 2k) 或（，( 2k 1) ），( k Z)极点的极径为 0，而极角任意取 若对、 的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了， 如限定0，0 2或0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标

5、是不惟一的3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：a0cosaasinsinacosacos()M（，）MM0OxOaa O图1图2图30aacoscosM（，）MaOaaOMO图4图5a图6asinN ( a,)pasincos()4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a 0)：a2a cos2a cos2asin2a sin2a cos()MMMaaOxOxOax图3图1图22acosa2 a cosMOxMaMa(a , )aOxOx图4图5图62asin2a sin2acos()5、极坐标与直角坐标互化公式：y( , )NxMyxcosOHx2 y22y

6、sintany(x 0)x（直极互化图） 基础训练 A 组一、选择题1若直线的参数方程为x12t(t为参数 ) ，则直线的斜率为（）y23tA 2B2C 3D 333222下列在曲线xsin2(为参数 ) 上的点是（）ycossinA (1,2)B (3,1)C (2, 3)D (1,3)2423将参数方程x2sin 2(为参数 ) 化为普通方程为（）ysin 2A y x2B yx2C yx 2(2 x3)D yx 2(0 y 1)4化极坐标方程2 cos0 为直角坐标方程为（）A x2y20或 y1B x 1C x2y20或 x 1D y 15M的直角坐标是 (1,3)，则点M的极坐标为（

7、）点A (2,)B (2,)C(2,2 )D (2,2 k),( kZ )33336极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为（）A 一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D 一个圆二、填空题1直线x34t为参数)(ty45t的斜率为 _ 。2参数方程xete t(t为参数 ) 的普通方程为 _ 。ytet2(e)3已知直线 l1 :x1 3t(t为参数 ) 与直线 l2: 2x4 y5 相交于点 B ，又点 A(1,2) ，y24t则 AB _ 。x1t24直线2(t为参数 ) 被圆 x2y24 截得的弦长为 _。y11t25直线 x cosy sin0 的极坐标方程为 _ 。三、解答题

8、1已知点 P(x, y) 是圆 x2y22 y 上的动点，（ 1）求 2x y 的取值范围；（ 2）若 xya0 恒成立，求实数a 的取值范围。x1t2求直线 l1 :(t为参数 ) 和直线 l 2 : xy2 30 的交点 P 的坐标， 及点 Py53t与 Q (1, 5) 的距离。3在椭圆x2y21上找一点，使这一点到直线x2 y120 的距离的最小值。1612一、选择题1直线 l 的参数方程为xat (t为参数 ) ，l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ，则点 P1 与 P(a,b)ybt之间的距离是（）A t1B 2 t1C 2 t1D 2 t1212参数方程为x tt (t为参数

9、) 表示的曲线是（）y2A 一条直线B两条直线C一条射线D两条射线x11 t3直线23(t为参数 ) 和圆 x2y216 交于 A, B 两点，则 AB 的中点坐标y33t2为（）A (3,3)B (3,3)C (3,3)D (3,3)4圆5cos53sin的圆心坐标是（）A (5,4)B (5,)C (5,)D (5,5 )33335与参数方程为xt(t为参数 ) 等价的普通方程为（）y21 tA x2y21B x2y21(0x1)44C x2y 21(0y2)D x2y21(0x1,0y 2)446直线x2t为参数)被圆( x 3)2( y1)225所截得的弦长为（）y1(ttA 98B4

10、01C 82D93434二、填空题x11曲线的参数方程是1(t为参数 ,t0) ，则它的普通方程为_ 。ty1 t 2x3at(t为参数 ) 过定点 _。2直线14ty点 P(x,y)是椭圆2x23y212上的一个动点，则 x 2y 的最大值为_。34曲线的极坐标方程为tan1，则曲线的直角坐标方程为_。cos5设 y tx(t为参数 ) 则圆 x2y24 y0 的参数方程为 _ 。三、解答题1参数方程xcos (sincos)ysin (sincos( 为参数 ) 表示什么曲线？)2点 P 在椭圆x2y21 上，求点 P到直线 3x4y24 的最大距离和最小距离。1693已知直线 l经过点

11、P(1,1), 倾斜角6，（1）写出直线 l 的参数方程。（2）设 l与圆 x2y 24 相交与两点 A, B ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积。一、选择题1把方程 xy1化为以 t 参数的参数方程是（）1xsin txcostxtan txt 2A 1B y1Cy1D 1yt2sin tcostytan t2曲线x125t(t为参数 ) 与坐标轴的交点是（）y2t2、1,0)B 1、1,0)C (0, 4)、(8,0)D (0,5 、A (0,)(0,) () (8,0)525293直线x 12t(t为参数 ) 被圆 x2y29 截得的弦长为（）y2tA 12B 125C9 5D9

12、1055554若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线x4t 2(t为参数 ) 上，则 PF等于（）y4tA 2B 3C 4D 55极坐标方程cos20表示的曲线为（）A 极点B极轴C一条直线D两条相交直线6在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（）A cos2B sin2C4sin()D4sin()33二、填空题1已知曲线x2 pt2为参数 , 为正常数上的两点M , N对应的参数分别为和，y2 pt(tp)t1t 2,且 t1t 20 ，那么 MN =_ 。2直线x22t(t为参数 ) 上与点 A(2,3) 的距离等于2 的点的坐标是 _。y32tx3sin4cos为参数

13、) ，则此圆的半径为_ 。3圆的参数方程为4sin(y3cos4极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_。5直线xt cosx4 2cos_ 。y与圆y2sin相切，则t sin三、解答题x1 (ete t) cos1分别在下列两种情况下，把参数方程2化为普通方程：1 (etye t)sin2（ 1） 为参数， t 为常数；（ 2） t 为参数，为常数；2过点 P(10,0) 作倾斜角为的直线与曲线 x212 y21交于点 M ,N ，2求 PMPN 的值及相应的的值。新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4坐标系与参数方程 基础训练 A 组一、选择题1 Dy23t3k12t2

14、x2 B转化为普通方程：y 21x ，当 x3 时， y1423 C转化为普通方程：yx2 ，但是 x2,3,y0,14 C( cos1)0,x2y20, 或 cosx15 C(2, 2k2 ),( k Z ) 都是极坐标36 Ccos4sincos,cos0,或4sin,即 24 sin则k, 或 x2y24 y2二、填空题5y45t51k34t44xx2y 21,( x2)xete216yete42ttxy2etyy2( x)( x) 4xy2e t22235x13t4 y 5 得 t1，则 B( 5 ,0) ，而 A(1,2) ，得 AB5将2代入 2x2y4t2224 14直 线 为

15、x y10 ，圆心 到直线 的距离12d， 弦长的一半为2222(2 )214，得弦长为142252coscossin sin0,cos()0 ，取2三、解答题xcos1解：（ 1）设圆的参数方程为，y1sin2xy2cossin15 sin()1512xy51（ 2） xyacossin1a0a(cossin)12 sin()14a 2 1x 1 t2解：将53t代入 xy2 30 得 t23，y得 P(123,1)，而 Q(1,5) ，得 PQ(23) 26243x4cos， d4cos43sin123解：设椭圆的参数方程为23 sin5y4 5 cos3sin345 2cos()3553

16、当 cos() 1 时， dmin45(2, 3) 。，此时所求点为35新课程高中数学训练题组参考答案一、选择题1 C距离为 t12t122 t12 Dy2表示一条平行于x 轴的直线，而x2,或x2，所以表示两条射线3 D(11 t )2( 3 33 t )216 ，得 t 28t 80 ， t1t28, t1t24222x114x3中点为23 4y3y3324 A圆心为 (5,53)225 Dx2t, y21t 1x2 , x2y21,而 t0,01 t1,得0y244x2 tx22t2x2 t26 C，把直线代入y1ty1ty12t22( x3)2( y1)225得(5 t )2(2t )

17、225,t 27t2 0t1t2(t1t2 )24t1t241 ，弦长为2 tt2821二、填空题1 yx( x 2)2(x1)1 x1 ,t1 , 而 y 1t 2 ，(x1)t1x即 y 1 ( 1 )2x(x 2)2 (x 1)1x( x1)2 (3,1)y14 ， ( y1)a4 x120 对于任何 a 都成立，则 x3,且y1x3a3 22椭圆为x2y21，设 P(6 cos, 2sin ) ，64x2 y6 cos4sin22 sin()224 x2ytan1sin,cos2sin,2 cos2sin, 即 x2ycoscos2x4t1t 222x0x04t；x(tx )4tx0

18、，当时，y0；当时， x54t21 t 2y1t 2x4t而ytx，即 y4t 2，得1t 21t24t2y1t 2三、解答题1解：显然ytany211,cos21x，则 x2cos2y21x2xcos2sin cos1 sin 2cos212 tancos2221tan212y1y1y2y即 xxx1222, x(12 )21y1y1yxxx2x2x2得 xy2y1，即 x2y2xy0xx解：设 P(4cos,3sin) ，则d12cos12sin2425122 cos()24即 d4，5当 cos()1 时， dmax12 (22) ；45当 cos()1 时， dmin12 (22) 。

19、45x1t cos6x13 t3解：（ 1）直线的参数方程为，即21 ty1t sin6y12x13 t（ 2）把直线2代入 x2y241y1t2得 (13 t) 2(1 1 t )24, t 2( 3 1)t 2 022t1t22 ，则点 P 到 A, B 两点的距离之积为2坐标系与参数方程 提高训练 C组一、选择题1 D xy 1， x 取非零实数，而A ， B， C 中的 x 的范围有各自的限制2 B 当 x0 时， t2，而5当 y0时， t1，而2y12t ，即 y1，得与 y 轴的交点为(0,1) ；55x25t ，即 x1，得与 x 轴的交点为 ( 1 ,0)22x15t2x1

20、2t5 ，把直线x12t3 By2ty2代入y15t1t5x2y29得 (12t )2(2t )29,5 t28t 40t1 t2(t1t2 )24t1t28)21612，弦长为 5 t1125(55t2554C抛物线为 y24x ，准线为 x1 ， PF 为 P(3, m) 到准线 x1 的距离，即为 45 Dcos 20,cos 20,k，为两条相交直线46 A4sin的普通方程为 x2( y2) 24 ，cos2 的普通方程为 x2圆 x2( y2) 24 与直线 x2 显然相切二、填空题1 4 p t1显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴，MN 2 p t1 t 2 2p 2t

21、1(3,4) 或 (1,2)(2t )2(2t)2(2)2, t21,t22,2235由x3sin4cos得 x2y225y4sin3cos42圆心分别为1和 (0,12( ,0)2256，或 5直线为 yx tan，圆为 ( x4)2y24 ，作出图形，相切时，6易知倾斜角为，或566三、解答题1解：（ 1）当 t0时， y 0, xcos，即 x1, 且y0；当 t0时， cosx,siny1 ( et1 (ete t )e t )22而 x2y21，即x221y211tttet)24(e e)4(e（ 2）当k , k Z 时， y0， x1 (ete t ) ，即 x 1, 且y 0 ；21 (et当k, k Z 时， x0 ， ye t ) ，即 x 0 ；22kete当, k Z 时，得2etett2x2et2x2ycos，即cossin2 y2x2 y2e tsincossin得 2et2e t( 2x2 y )( 2x2 y )cossincossin即x2y21 。cos2sin2x10t cos(t为参数 ) ，代入曲线并整理得2解：设直线为2yt sin(1 sin2)t 2(10 cos )t3023则 PMPNt1t221 sin2所以当 sin 21时，即， PMPN 的最小值为3 ，此时。242