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1、最新资料中考数学专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算【经典母题】已知等边三角形 ABC(如图 Z151)(1)以点 A 为旋转中心， 将ABC 按逆时针方向旋转 30， 作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与ABC 之间有没有互相垂直的边？证明你的判断图 Z151经典母题答图解：(1)如答图所示；(2)ADBC，DEAC，ABAE.证明略【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口【中考变形】1如图 Z152，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点 B，C
2、，E 在同一条直线上，AE 与 BD 交于点 O，AE 与 CD 交于点 G，AC 与 BD 交于点 F，连结 OC，FG，则下列结论：AEBD；AGBF；FGBE；BOCEOC，其中正确结论的个数是(D)图 Z152A1 个B2 个C3 个D4 个2如图 Z153，P 是等腰直角三角形 ABC 外一点，把 BP 绕点 B 顺时针旋转90到 BP，已知APB135，PAPC13，则 PAPB(B)A1 2B12C. 32D1 3图 Z153中考变形 2 答图【解析】 如答图，连结 AP，PP，BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BP，BPBP， ABPABP90.ABC 是等腰直角三角形， A
3、BBC，CBPABP90，ABPCBP.在ABP 和CBP中，BPBP，ABPCBP，ABCB，ABPCBP(SAS)，APPC.PAPC13，AP3PA.PBP是等腰直角三角形，BPP45，PP 2PB.APB135，APP1354590，APP是直角三角形设 PAx， 则 AP3x， 根据勾股定理， 得 PP AP2PA2 （3x）2x22 2x，PBPB2x，PAPBx2x12.32017徐州如图 Z154，已知 ACBC，垂足为 C，AC4，BC3 3，将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，得到线段 AD，连结 DC，DB.(1)线段 DC_4_；(2)求线段 DB 的长度图
4、 Z154中考变形 3 答图解：(1)ACAD，CAD60，ACD 是等边三角形，DCAC4；(2)如答图，作 DEBC 于点 E.ACD 是等边三角形，ACD60，又ACBC，DCEACBACD906030，在 RtCDE 中，DE12DC2，CEDCcos304322 3，BEBCCE3 32 3 3.在 RtBDE 中，BD DE2BE2 22（ 3）2 7.4如图 Z155，在ABC 中，AEBC 于点 E，AEBE，D 是 AE 上的一点，且 DECE，连结 BD，CD.(1)判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图，若将DCE 绕点 E 旋转一定的角度后，
5、BD 与 AC 的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD 与 AC 夹角的度数图 Z155解：(1)BD 与 AC 的位置关系是 BDAC，数量关系是BDAC.证明：如答图，延长 BD 交 AC 于点 F.AEBC 于点 E，BEDAEC90.AEBE，DECE，DBECAE(SAS)，中考变形 4 答图BDAC，DBECAE，BDEACE.BDEADF，ADFACE.ACECAE90，ADFCAE90，BDAC；(2)否证明：如答图，AC 与 BD 交于点 F，AEBDEC90，AEBAEDDECAED，即BEDA
6、EC.AEBE，DECE，BEDAEC(SAS)，BDAC，BDEACE，DBECAE.BFCACDCDEBDEACDCDEACE90，BDAC；(3)如答图，AC 与 BD 交于点 F.ABE 和DEC 是等边三角形，AEBE，DEEC，EDCDCE60，BEADEC60，BEAAEDDECAED，BEDAEC，在BED 和AEC 中，BEAE，BEDAEC，DECE，BEDAEC(SAS)，BDEACE，DFC180(BDEEDCDCF)60，BD 与 AC 的夹角度数为 60或 120.5阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图 Z156，在正三角形 ABC 内有一点 P，且PA3，P
7、B4，PC5，求APB 的度数小伟是这样思考的：如图，利用旋转和全等的知识构造APC，连结 PP，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决(1)请你回答：图中APB_150_；中考变形 4 答图中考变形 4 答图参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA2 2，PB1，PD 17，求APB 的度数和正方形的边长图 Z156解：(1)如答图，把APB 绕点 A 逆时针旋转 60得APC，由旋转的性质，得 PAPA3，PCPB4，PAP60，APP是等边三角形，PPPA3，APP60，PP2PC2324225，PC25225，PP2PC2PC2，P
8、PC90，APCAPPPPC6090150，APBAPC150；(2)如答图，把APB 绕点 A 逆时针旋转 90得到APD，由旋转的性质，得 PAPA2 2，PDPB1，PAP90，APP是等腰直角三角形，PP 2PA 22 24，APP45，PP2PD2421217，PD2( 17)217，PP2PD2PD2，PPD90，APDAPPPPD4590135，APBAPD135.APBAPP13545180，中考变形5答图中考变形 5 答图P，P，B 三点共线过点 A 作 AEPP于点 E，则 AEPE12PP2，BEPEPB213，在 RtABE 中，AB AE2BE2 2232 13.【中
9、考预测】(1)如图 Z157，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD边上，高线 AG 与正方形的边长相等，求EAF 的度数；(2)如图，在 RtABD 中，BAD90，ABAD，M，N 是 BD 边上的任意两点，且MAN45，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADH 位置，连结 NH，试判断 MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由；(3)在图中，若 EG4，GF6，求正方形 ABCD 的边长图 Z157解：(1)在正方形 ABCD 中，BD90，AGEF，ABE 和AGE 是直角三角形在 RtABE 和 RtAGE 中，ABAG，AEAE，ABEAGE
10、(HL)，BAEGAE.同理，GAFDAF.EAFEAGFAG12BAD45；(2)MN2ND2DH2.由旋转可知，BAMDAH，BAMDAN45，HANDAHDAN45.HANMAN.在AMN 与AHN 中，AMAH，MANHAN，ANAN，AMNAHN(SAS)，MNHN.BAD90，ABAD，BADB45，HDNHDAADB90，NH2ND2DH2，MN2ND2DH2；(3)由(1)知，BEEG4，DFFG6.设正方形 ABCD 的边长为 x，则 CEx4，CFx6.CE2CF2EF2，(x4)2(x6)2102，解得 x112，x22(不合题意，舍去)正方形 ABCD 的边长为 12.
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