新编【江苏版】高三数学三轮总动员：专题6直线与圆解析版

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1、 【方法引领】$.【举例说法】一、直线、圆的方程例1如图，在RtABC中，A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1，1)在直线AC上，斜边中点为M(2，0).(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(-2，0)，且与RtABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程.设C为(x0，-3x0-2)，因为M为BC中点，所以B(4-x0，3x0+2).将点B代入x-3y-6=0，解得x0=-，所以C.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2)因为RtABC斜边中点为M(2，0)，所以M为RtABC外接圆的圆心.又CM=2，从而RtABC外接圆的方

2、程为(x-2)2+y2=8.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r=，圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.因为公共弦长为4，r=2，所以M(2，0)到直线m的距离d=2，即=2，化简得b2=3a2-4a，所以r=.当a=0时，r取最小值为2，此时b=0，圆的方程为x2+y2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题，一般都采用待定系数法，即根据所给条件特征恰当地选择方程，将几何性质转化为代数的方程，解方程即可. 【练习】已知以点P为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，线

3、段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD=4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程.所以(a+1)2+b2=40.由解得或所以圆心P(-3，6)或P(5，-2)，所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.二、直线与圆、圆与圆的位置关系例2已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程.(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行?若存在，试

4、求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【点拨】存在性问题，先假设存在.【分析】(1)根据圆心C位于x轴正半轴上，可设出圆的标准方程，然后利用直线与圆的位置关系列出方程组求解；(2)假设存在这样的直线方程，则斜率必须满足相应的条件，根据平行四边形法则，可得出D点坐标与A，B两点坐标之间的关系，从而通过OD与MC平行建立起关于斜率k的方程，从而求出斜率k的值.又因为S=r20，解得k1+，且x1+x2=-，y1+y2=k(x1+x2)+6=，又=+=(x1+x2，y1+y2)，=(1，-3)，假设，则-3(x1+x2)=y1+y2，解得k=，因为，所以假设不成立，所以不存在这样的直线l.【点评】

5、判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.【练习】已知A(-2，0)，B(2，0)，C(m，n).(1)若m=1，n=，求ABC的外接圆的方程；(2)若以线段AB为直径的圆O过点C(异于点A，B)，直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论.【分析】第(1)问已知三点在圆上，可设一般式利用待定系数法来求外接圆的方程；第(2)问要判断直线与圆的位置关系，可通过圆心到直线的距离和半径的关系进行判断.解得D=E=0，F=-4，

6、所以ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0，即x2+y2=4.(2)由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，设点R的坐标为(2，t)，因为A，C，R三点共线，所以.而=(m+2，n)，=(4，t)，则4n=t(m+2)，所以t=，所以点R的坐标为，点D的坐标为，所以直线CD的斜率为k=.而m2+n2=4，所以m2-4=-n2，所以k=-，所以直线CD的方程为y-n=-(x-m)，化简得mx+ny-4=0，所以圆心O到直线CD的距离d=2=r，所以直线CD与圆O相切.三、与圆有关的定点问题例3已知圆M：x2+(y-4)2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线

7、PA，PB，切点为A，B.(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标.(2)若PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)求线段AB长度的最小值.【点拨】曲线过定点问题，往往转化为等式恒成立问题.解得b=0或b=，所以P(0，0)或P.(2)设P(2b，b)，因为MAP=90，所以经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为(x-b)2+=，即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0，它对于任意的实数b均成立，故解得或所以圆过定点(0，4)，.(3)因为圆N方程为(x-b)2+=，即x2+y2-2bx-(b+4)y+4

8、b=0，圆M：x2+(y-4)2=4，即x2+y2-8y+12=0，-得圆M与圆N的相交弦AB所在的直线方程为2bx+(b-4)y+12-4b=0，点M到直线AB的距离d=，相交弦长即AB=2=4=4，当b=时，AB有最小值.【点评】在解有关圆的问题时，要注意平面几何中有关定理的应用，比如切线长定理、垂径定理等.【练习】已知直线l1：y=x+1，圆O：x2+y2=，直线l1被圆截得的弦长与椭圆C：+=1(ab0)的短轴长相等，椭圆的离心率e=. (1)求椭圆C的方程.(2)过点M的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T

9、?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.(2)方法一：假设存在点T(u，v)，若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-，将它代入椭圆方程，并整理，得(18k2+9)x2-12kx-16=0.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，2=，x1+x2=，x1x2=.因为=(x1-u，y1-v)，=(x2-u，y2-v)及y1=kx1-，y2=kx2-，所以=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)=(k2+1)x1x2-(x1+x2)+u2+v2+=当且仅当=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，所以解得u=0，v=1.此时以AB为直径的圆恒过定点T(

10、0，1).当直线l的斜率不存在时，l与y轴重合，以AB为直径的圆为x2+y2=1，也过点T(0，1).综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0，1)，满足条件.方法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1.若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是x2+=.由解得由此可知所求点T如果存在，只能是(0，1).事实上点T(0，1)就是所求点，证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T(0，1)，当直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx-，代入椭圆方程，并整理得(18k2+9)x2-12kx-16=0.设点A，B的坐标分别为A(x1

11、，y1)，B(x2，y2)，则因为=(x1，y1-1)，=(x2，y2-1)及y1=kx1-，y2=kx2-，所以=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(k2+1)x1x2-k(x1+x2)+=-k+=0，所以以AB为直径的圆恒过定点T(0，1).即证明了点T(0，1)就是所求以AB为直径的圆恒过的定点.四、与圆有关的定值问题例4在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=25，圆O1的圆心为(m，0)，且与圆O交于点P(3，4).过点P且斜率为k(k0)的直线l分别交圆O，圆O1于点A，B.(1)若k=1，且BP=7，求圆O1的方程.(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O，圆O1

12、于点C，D.当m为常数时，试问：AB2+CD2是否是定值?若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由.【分析】 弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，可利用勾股定理列出等式；第二问中直线与圆相交，可利用求根公式、韦达定理等求出交点坐标，进而代数论证.所以圆O1的方程为(x-14)2+y2=137.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).直线l：y-4=k(x-3)，即y=kx-(3k-4)，由消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0，由韦达定理得3x1=，得x1=.由消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2-2m)x+

13、9k2-24k-9+6m=0，由韦达定理得3x2=，得x2=.所以x1-x2=-=，AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)=.同理可得CD2=，所以AB2+CD2=+=4m2为定值.【点评】本题第二问运算过程中字母比较多，在求有关点的坐标时，用到了韦达定理，本题求点的坐标也可直接解方程；在计算AB2+CD2时，要注意化简的合理性和整体思想的运用. ￥%【练习】如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程.(2)

14、当MN=2时，求直线l的方程.(3)是否为定值?如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.连接AQ，则AQMN.因为MN=2，所以AQ=1.由AQ=1，得k=.所以直线l的方程为3x-4y+6=0.所以所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.(3)因为AQBP，所以=0，所以=(+)=+=.当直线l与x轴垂直时，得P-2，-.则=，又=(1，2)，所以=-5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+

15、2).由解得P.所以=.所以=-=-5.综上所述，是定值，且=-5.【实战演练】1. 已知直线y=kx(k0)与圆C：(x-2)2+y2=1相交于A，B两点，若AB=，则k=.【答案】2. 若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点.【答案】(0，2)【解析】直线l1：y=k(x-4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2).3. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(-2，0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆(x-a)2+(y-)2=3相交于点R

16、，S，且PT=RS，则正数a的值为.【答案】4【解析】因为PT与圆x2+y2=1相切于点T，所以在RtOPT中，OT=1，OP=2，OTP=，从而OPT=，PT=，故直线PT的方程为xy+2=0.因为直线PT截圆(x-a)2+(y-)2=3得弦长RS=，设圆心到直线的距离为d，则d=，又=2，即d=，即|a3+2|=3，解得a=-8，-2，4.因为a0，所以a=4. 4. 在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x-a)2+(y+a-3)2=1(a0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为.【答案】35. 已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x-a)

17、2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB=60，则实数a的取值范围为.【解析】由题意得圆心M(a，a-4)在直线x-y-4=0上运动，所以动圆M是圆心在直线x-y-4=0上，半径为1的圆.又因为圆M上存在点P，使经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使APB=60，所以OP=2，即点P也在x2+y2=4上，于是2-12+1，即13，解得实数a的取值范围是.6. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(-5，a)作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且+=0，则实数a的值为.【解析】方法一：由

18、+=0，得=-1，所以点(1，0)在直线PC上，其中C是圆心，所以2-2a+2=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.方法二：由两式相减，得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-2a(x1-x2)+2(y1-y2)=0，x1+x2+(y1+y2)-2a+2=0.由+=0，得(y1+y2)=-(x1+x2-2)，代入上式得2-2a+2=0.又=，代入上式，得2-2a+2=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.7. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=16，点M(1，0)，动

19、点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MPMQ，则线段PQ的取值范围是.所以x2+y2=5+x-，即+y2=.因为PQ=2MN，MN，所以PQ.8. 在平面直角坐标系xOy中，圆C经过二次函数f(x)=(x2+2x-3)与两坐标轴的三个交点.(1)求圆C的标准方程.(2)设点A(-2，0)，B(2，0)，试探究圆C上是否存在点P满足PA=PB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1) 设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x-3=0是同一个方程，故D=2，F=-3.令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为-，代

20、入得E=0，所以圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4.(2) 假设存在点P(x，y)满足题意，则PA2=2PB2，于是(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2，化简得(x-6)2+y2=32.又因为点P在圆C上，故满足(x+1)2+y2=4.联立，解得点P的坐标为.所以存在点P满足题意，其坐标为.9. 已知定圆C1：x2+y2=a2(a0)和定圆C2：x2+y2=b2(b0)， P为圆C2上一点，过点P作圆C1的两条切线，切点分别为A，B.(1)若a=2，点P的坐标为(2，-2)，求四边形OAPB的面积.(2)当点P在圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线AB相切?若存在，求出定圆的方程；若

21、不存在，请说明理由. (2) 设P(m，n)，则m2+n2=b2.当点P在圆C2上运动时，恒有PA=PB=.所以点A，B在以P为圆心，为半径的圆上.该圆方程为(x-m)2+(y-n)2=b2-a2.又点A，B在圆C1：x2+y2=a2上.联立两圆方程，消二次项，得mx+ny-a2=0.所以直线AB的方程为mx+ny-a2=0.因为原点O到直线AB的距离d=为定值，所以圆x2+y2=恒与直线AB相切.所以存在定圆恒与直线AB相切，且定圆方程为x2+y2=.10. 已知圆M的圆心为M(-1，2)，直线y=x+4被圆M截得的弦长为，点P在l：y=x-1上.(1)求圆M的标准方程；(2)设点Q在圆M上

22、，且满足=4，求点P的坐标；(3)设半径为5的圆N与圆M相离，过点P分别作圆M与圆N的切线，切点分别为A，B，若对任意的点P，都有PA=PB成立，求圆心N的坐标.所以圆M的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1.(2) 由=4，得|=4|=4，所以点P在圆(x+1)2+(y-2)2=16上.又点P在直线y=x-1上，由解得或即点P的坐标为(-1，-2)或(3，2). (3) 设P(t，t-1)，N(a，b)，则圆N的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=25，PA2=PM2-12=(t+1)2+(t-1-2)2-1=2t2-4t+9，PB2=PN2-52=(t-a)2+(t-1-b)2-25=2t2-(2a+2b+2)t+a2+(b+1)2-25.因为PA=PB，所以2t2-4t+9=2t2-(2a+2b+2)t+a2+(b+1)2-25，即(2a+2b-2)t-a2-(b+1)2+34=0(*).因为对任意的点P都有PA=PB，所以(*)式对任意实数t恒成立，得解得或又因为圆N与圆M相离，所以MN1+5=6，即6，所以圆心N的坐标为(5，-4). #欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org