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1、高考数学精品复习资料 2019.5第15讲点、直线、平面之间的位置关系 江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公式、公理、定理、性质、定义等非常熟悉并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题1. 下列命题中，不是公理的是_(填序号) 平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的
2、两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案：2. a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：ab；a；.其中真命题是_(填序号)答案：3. 给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确的个数有_个. 答案：2解析：其中正确4. 已知四边形ABCD为
3、梯形，ABCD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD、BC”是“l垂直于两底AB、DC”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充分不必要题型一 线面平行与面面垂直的证明例1 如图，在三棱锥PABC中，点E、F分别是棱PC、AC的中点(1) 求证：PA平面BEF；(2) 若平面PAB平面ABC，PBBC，求证：BCPA.证明：(1) 在PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以PAEF.又PA平面BEF，EF平面BEF，所以PA平面BEF.(2) 在平面PAB内过点P作PDAB，垂足为D.因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB
4、，所以PD平面ABC.又BC平面ABC，所以PDBC.又PBBC，PDPBP，PD平面PAB，PB平面PAB.所以BC平面PAB.又PA平面PAB，所以BCPA.如图的几何体中，AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB2，F为CD的中点求证：(1) AF平面BCE；(2) 平面BCE平面CDE.证明：(1) 取CE的中点G，连结FG、BG. F为CD的中点， GFDE且GFDE. AB平面ACD，DE平面ACD， ABDE， GFAB.又ABDE， GFAB. 四边形GFAB为平行四边形，则AFBG. AF平面BCE，BG平面BCE， AF平面BCE.(2) ACD为
5、等边三角形，F为CD的中点， AFCD. DE平面ACD，AF平面ACD， DEAF. BGAF， BGDE，BGCD.又CDDED， BG平面CDE. BG平面BCE， 平面BCE平面CDE.题型二 点共面与线面垂直的证明例2 如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1) 求证：E、B、F、D1四点共面；(2) 若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面BCC1B1.证明：(1) 在DD1上取点N，使DN1，连结EN，CN，则AEDN1，CFND12.因为AEDN，ND1CF，所以四边形ADNE，C
6、FD1N都为平行四边形从而EN =AD，FD1CN.又因为AD=BC，所以EN=BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而FD1BE.因此，E、B、F、D1四点共面(2) 因为GMBF，又BMBC，所以BGMCFB，BMBGtanBGMBGtanCFBBG1.因为AE=BM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM.又AB平面BCC1B1，所以EM平面BCC1B1. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAC，D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点求证：(1) EF平面ABC；(2) C1E平面BDE.证明：(1) 如图，取BC的中点G，连结AG，FG.因为F为C1
7、B的中点，所以FGC1C，FGC1C.在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AC1C，A1AC1C且E为A1A的中点，所以FGEA，且FGEA，所以四边形AEFG是平行四边形所以EFAG.因为EF平面ABC，AG平面ABC，所以EF平面ABC.(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，BD平面ABC，所以A1ABD.因为D为AC的中点，BABC，所以BDAC.因为A1AACA，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BDC1E.根据题意，可得EBC1EAB，C1BAB，所以EB2C1E2C1B2.从而C1EB90，
8、即C1EEB.因为BDEBB，BD平面BDE，EB平面BDE，所以C1E平面BDE.题型三 直线的平行与垂直证明例3 如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，A1BA1D，ABAD.求证：(1) AA1BD；(2) BB1DD1.证明：(1)取线段BD的中点M，连结AM、A1M.因为A1DA1B，ADAB，所以BDAM，BDA1M.又AMA1MM，AM、A1M平面A1AM，所以BD平面A1AM.而AA1平面A1AM，所以AA1BD.(2) 因为AA1CC1，AA1平面D1DCC1，CC1平面D1DCC1，所以AA1平面D1DCC1.又AA1平面A1ADD1，平面A1ADD1平面
9、D1DCC1DD1，所以AA1DD1.同理得AA1BB1，故BB1DD1.点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 题型四 立体几何中的探索性问题例4 如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，AD1，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，Q是AD的中点(1) 求四棱锥PABCD的体积；(2) M在线段PC上，PMtPC，线段BC上是否存在一点R，使得当t(0，1)时，总有BQ平面MDR？若存在，确定R点位置；若不存在，说明理由解：(1) 连结PQ，则PQAD.由题意得PQ，SABCD. 平面PAD平面ABCD且交线为AD，PQAD，PQ
10、平面PAD， PQ平面ABCD， VPABCDPQSABCD.(2) 存在，R为BC的中点取R为BC的中点，连结MR，DR，DM，则BQDR. BQ平面DMR，DR平面DMR， BQ平面DMR.因此，R为BC的中点，当t(0，1)时，总有BQ平面MDR，反之也成立1. 设l是直线，、是两个不同的平面，则下列结论正确的是_(填序号) 若l，l，则； 若l，l，则； 若，l，则l； 若， l，则l.答案：解析：本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质利用排除法可得是正确的，因为l，l，则.如：l，l时，则或；：若，l，则l或l；：若，l，则l或l.2
11、. (20xx辽宁卷)已知m、n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是_(填序号) 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若m，mn，则n； 若m，mn，则n.答案：3. (20xx全国卷)已知m、n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则下列命题中正确的有_(填序号) ，且l； ，且l； 与相交，且交线垂直于l； 与相交，且交线平行于l.答案：4. (20xx广东卷)设l为直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是_(填序号) 若l，l，则； 若l，l，则； 若l，l，则； 若，l，则l.答案：5. (20xx山东卷)如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，
12、ABCD，AB2CD，E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点求证：(1) CE平面PAD；(2) 平面EFG平面EMN.证明：(1) 四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD，E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，则由HEAB，HEAB，而且CDAB，CDAB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CEDH.由于DH在平面PAD内，而CE不在平面PAD内，故有CE平面PAD.(2) 由于ABAC，ABPA，而PAACA，可得AB平面PAC.再由ABCD可得，CD平面PAC.由于MN是PCD的中位线，故有MNCD，故M
13、N平面PAC.由于EF为PAB的中位线，可得EFPA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF平面PAC.同理可得，FG平面PAC.而EF和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG平面PAC. MN平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG平面EMN.6. (20xx江苏卷)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，过A作AFSB，垂足为F，点E、G分别是棱SA、SC的中点求证：(1) 平面EFG平面ABC；(2) BCSA.证明：(1) ASAB，AFSB， F是SB的中点 E、F分别是SA、SB的中点， EFAB.又 EF平面ABC，A
14、B平面ABC， EF平面ABC.同理FG平面ABC.又 EFFGF，EF、FG平面ABC， 平面EFG平面ABC.(2) 平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB， AF平面SBC.又 BC平面SBC， AFBC.又 ABBC，ABAFA，AB、AF平面SAB， BC平面SAB.又 SA平面SAB， BCSA.(本题模拟高考评分标准，满分14分)(20xx南京二模)如图，在四棱锥PABCD中，DCAB，DADC2AB，O为AC与BD的交点，AB平面PAD，PAD是正三角形(1) 若点E为棱PA上一点，且OE平面PBC，求的值；(2) 求证：平面PBC平面PDC.
15、(1) 解：因为OE平面PBC，OE平面PAC，平面PAC平面PBCPC，所以OEPC，所以AOOCAEEP.(3分)因为DCAB，DC2AB，所以AOOCABDC12.所以.(6分)(2) 证明：(证法1)取PC的中点F，连结FB、FD.因为PAD是正三角形，DADC，所以DPDC.因为F为PC的中点，所以DFPC.(8分)因为AB平面PAD，所以ABPA，ABAD，ABPD.因为DCAB，所以DCDP，DCDA.设ABa，在等腰直角三角形PCD中，DFPFa.在RtPAB中，PBa.在直角梯形ABCD中，BDBCa.因为BCPBa，点F为PC的中点，所以PCFB.在RtPFB中，FBa.在
16、FDB中，由DFa，FBa，BDa，可知DF2FB2BD2，所以FBDF.(12分)由DFPC，DFFB，PCFBF，PC、FB平面PBC，所以DF平面PBC.又DF平面PCD，所以平面PBC平面PDC.(14分)(证法2)取PD、PC的中点，分别为M、F，连结AM、FB、MF，所以MFDC，MFDC.因为DCAB，ABDC，所以MFAB，MFAB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AMBF.(8分)在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AMPD.因为AB平面PAD，所以ABAM.因为DCAB，所以DCAM.因为BFAM，所以BFPD，BFCD.因为PDDCD，PD、DC平面PCD，所以BF平
17、面PCD.(12分)因为BF平面PBC，所以平面PBC平面PDC.(14分)1. 过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条答案：62. m、n是空间两条不同的直线，、是空间两个不同的平面，下面有四个命题： m，n，mn； mn，n，m； mn，mn； m，mn，n.其中真命题是_(填序号)答案：3. 给出以下四个命题，其中真命题是_(填序号) 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这
18、两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直答案：4. 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A、B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题： PA平面MOB； MO平面PBC； OC平面PAC； 平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填序号)答案：5. 直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCBB11，AB1.(1) 求证：平面AB1C平面B1CB；(2) 求三棱锥A1AB1C的体积(1) 证明：直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，则BB1AB，BB1BC.又由于ACBCBB11，AB1，则AB，则由AC2
19、BC2AB2，可知ACBC.又由BB1底面ABC，可知BB1AC，则AC平面B1CB，所以平面AB1C平面B1CB.(2) 解：三棱锥A1AB1C的体积VA1AB1CVB1A1AC1.(注：还有其他转换方法)6. 已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB3，DC1，PDBC，A为PB边上一点，且PA1，将PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD(如图2)(1) 求证：平面PAD平面PCD；(2) 试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMAVMACB21；(3) 在点M满足(2)的情况下，判断直线PD是否平行平面AMC.图1图2(1) 证明：依题意知CDAD.又平面PAD平面ABCD， DC平面PAD.又DC平面PCD， 平面PAD平面PCD.(2) 解：由(1)知PA平面ABCD， 平面PAB平面ABCD.作MNAB，垂足为N，则MN平面ABCD，设MNh，则VMABCSABCh21h，VPABCDS梯ABCDPA11，要使VPDCMAVMACB21，即21，解得h，即M为PB的中点(3) 解：连结BD交AC于O.因为ABCD，AB2，CD1，由相似三角形易得BO2OD. O不是BD的中心又 M为PB的中点， 在PBD中，OM与PD不平行， OM所在直线与PD所在直线相交又OM平面AMC， 直线PD与平面AMC不平行
高考数学二轮专名师讲义：第15讲点、直线、平面之间的位置关系含答案
