最新高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练十三　双曲线和抛物线 Word版含解析

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1、14 个填空题个填空题专项强化练专项强化练(十三十三)双曲线和抛物线双曲线和抛物线A 组组题型分类练题型分类练题型一题型一双曲线双曲线1在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中，双曲线x23y261 的离心率为的离心率为_解析：解析：由已知得，由已知得，a 3，b 6，则，则 c a2b23，所以，所以 eca 3.答案答案： 32已知双曲线已知双曲线x2a2y2201(a0)的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为 y2x，则该双曲线的焦距为，则该双曲线的焦距为_解析：解析：由题意得，由题意得，2 5a2，所以，所以 a 5，所以，所以 c 5205，所以该双曲线的焦距，所以该双曲

2、线的焦距为为10.答案答案：103已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为的左焦点为 F，离心率为离心率为 2.若经过若经过 F 和和 P(0,4)两点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为_解析：解析：由由 e 2知，双曲线为等轴双曲线，知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为则其渐近线方程为 yx，故由故由 P(0,4)，知左焦点，知左焦点 F 的坐标为的坐标为(4,0)，所以所以 c4，则，则 a2b2c228.故双曲线的方程为故双曲线的方程为x28y281.答案答案：x28y2814已知已知 F 是双曲

3、线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点是该双曲线的右顶点，过点 F且垂直于且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离是锐角三角形，则该双曲线的离心率心率 e 的取值范围为的取值范围为_解析解析： 由题意得由题意得 E(a,0)， 不妨设不妨设 Ac，b2a ， Bc，b2a ， 显然显然ABE 是等腰三角形是等腰三角形，故当故当ABE 是锐角三角形时，是锐角三角形时，AEB90，从而，从而b2aac，化简得，化简得 c2ac2a20，即即e2e20，解得，解得1e2，又

4、，又 e1，故，故 1e2.答案：答案：(1,2)5若双曲线若双曲线x24y2121 的左焦点为的左焦点为 F，点，点 P 是双曲线右支上的动点，是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则，则 PFPA 的最小值是的最小值是_解析解析：由题意知由题意知，双曲线双曲线x24y2121 的左焦点的左焦点 F 的坐标为的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点设双曲线的右焦点为为B，则则 B(4,0)，由双曲线的定义知由双曲线的定义知，PFPA4PBPA4AB4 41 2 04 2459，当且仅当，当且仅当 A，P，B 三点共线且三点共线且 P 在在 A，B 之间时取等号之间时取等号答案：答案：96F1，F2

5、分别是双曲线分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左的左、右焦点右焦点，过过 F1的直线的直线 l 与双曲线与双曲线的左、右两支分别交于的左、右两支分别交于 A，B 两点若两点若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为是等边三角形，则该双曲线的离心率为_解析解析： 如图如图， 由双曲线定义得由双曲线定义得， BF1BF2AF2AF12a， 因为因为ABF2是正三角形，所以是正三角形，所以 BF2AF2AB，因此，因此 AF12a，AF24a，且，且F1AF2120， 在在F1AF2中中， 4c24a216a222a4a1228a2， 所以所以 e 7.答案：答案： 7题型二题型二抛物

6、线抛物线1在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，已知抛物线已知抛物线 y24x 上一点上一点 P 到焦点的距离为到焦点的距离为 3，则点则点 P的横坐标是的横坐标是_解析解析：因为抛物线方程为因为抛物线方程为 y24x，所以焦点所以焦点 F(1,0)，准线准线 l 的方程为的方程为 x1，设设 PAl，A 为垂足，为垂足，所以所以 PFPAxP(1)3，所以点所以点 P 的横坐标是的横坐标是 2.答案答案：22若点若点 P 到直线到直线 y1 的距离比它到点的距离比它到点(0,3)的距离小的距离小 2，则点，则点 P 的轨迹方程是的轨迹方程是_解析解析：由题意可知点由题意可知点 P

7、到直线到直线 y3 的距离等于它到点的距离等于它到点(0,3)的距离的距离，故点故点 P 的轨迹是的轨迹是以点以点(0,3)为焦点，以为焦点，以 y3 为准线的抛物线，且为准线的抛物线，且 p6，所以其标准方程为，所以其标准方程为 x212y.答案：答案：x212y3一个顶点在原点，另外两点在抛物线一个顶点在原点，另外两点在抛物线 y22x 上的正三角形的面积为上的正三角形的面积为_解析：解析：如图，根据对称性：如图，根据对称性：A，B 关于关于 x 轴对称，故轴对称，故AOx30.直线直线 OA 的方程的方程 y33x，代入，代入 y22x，得，得 x26x0，解得，解得 x0 或或 x6.

8、即得即得 A 的坐标为的坐标为(6,2 3)，所以，所以 AB4 3.故正三角形故正三角形 OAB 的面积为的面积为124 3612 3.答案：答案：12 34在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线中，抛物线 y26x 的焦点为的焦点为 F，准线为，准线为 l，P 为抛物线上一为抛物线上一点，点，PAl，A 为垂足若直线为垂足若直线 AF 的斜率的斜率 k 3，则线段，则线段 PF 的长为的长为_解析：解析：抛物线方程为抛物线方程为 y26x，焦点焦点 F32，0，准线，准线 l 的方程为的方程为 x32.直线直线 AF 的斜率为的斜率为 3，直线直线 AF 的方程为的方程为 y

9、 3x32 ，当当 x32时，时，y3 3，由此可得由此可得 A 点坐标为点坐标为32，3 3.PAl，A 为垂足为垂足，P 点纵坐标为点纵坐标为 3 3，代入抛物线方程代入抛物线方程，得得 P 点坐标为点坐标为92，3 3，PFPA9232 6.答案答案：65已知抛物线已知抛物线 C：y28x 的焦点为的焦点为 F，准线为，准线为 l，P 是是 l 上一点，上一点，Q 是直线是直线 PF 与与 C 的的一个交点，若一个交点，若 FP4 FQ，则，则 QF_.解析：解析：如图，过点如图，过点 Q 作作 QQl 交交 l 于点于点 Q，因为，因为 FP4 FQ，所以所以 PQPF34，又焦点，又

10、焦点 F 到准线到准线 l 的距离为的距离为 4，所以，所以 QFQQ3.答案：答案：36.如图，已知抛物线如图，已知抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F，过点，过点(0,3)的直线与抛物线的直线与抛物线交于交于 A，B 两点两点，线段线段 AB 的垂直平分线交的垂直平分线交 x 轴于点轴于点 D，若若 AFBF6，则点则点 D 的横坐标为的横坐标为_解析：解析：由题意知，抛物线由题意知，抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F(1,0)，准线为，准线为 x1，如图如图，设设 AB 的中点为的中点为 H，A，B，H 在准线上的射影分别为在准线上的射影分别为 A，B，H，连结，连结 AA，BB，

11、HH，则则 HH12(AABB)由抛物线的定义可得，由抛物线的定义可得，AFAA，BFBB，又又 AFBF6，所以所以 AABB6，HH1263，故点故点 H 的横坐标为的横坐标为 2.设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线直线 AB 的方程为的方程为 ykx3(k0)，代入代入抛物线的方程抛物线的方程，可得可得 k2x2(6k4)x90，(6k4)236k20，解得解得 k13且且 k0，又又x1x246kk24，所以所以 k2 或或 k12(舍去舍去)，则直线则直线 AB 的方程为的方程为 y2x3，AB 的中的中点为点为 H(2，1)，AB 的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程

12、为 y112(x2)，令，令 y0，得，得 x4，故点，故点 D 的的横坐标为横坐标为 4.答案：答案：4B 组组高考提速练高考提速练1若抛物线若抛物线 y28x 的焦点恰好是双曲线的焦点恰好是双曲线x2a2y231(a0)的右焦点，则实数的右焦点，则实数 a 的值为的值为_解析解析：抛物线抛物线 y28x 的焦点为的焦点为(2,0)，双曲线双曲线x2a2y231(a0)的右焦点为的右焦点为( a23，0)，由由题意得，题意得， a232，解得，解得 a1.答案答案：12若双曲线若双曲线 x2y2m1 的离心率为的离心率为 3，则实数，则实数 m_.解析解析： 由双曲线的标准方程可知由双曲线的

13、标准方程可知 a21， b2m， 所以所以 a1， c 1m， 所以所以 e1m1 3，解得，解得 m2.答案：答案：23已知直线已知直线 2x 3y0 为双曲线为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线，则该双曲线的的一条渐近线，则该双曲线的离心率为离心率为_解析：解析：由题意得，由题意得，ba23，可设，可设 a 3k，b2k，则，则 c a2b2 7k，所以离心率，所以离心率 eca213.答案答案：2134 抛物抛物线线 y22px(p0)的准线截的准线截圆圆 x2y22y10 所得的弦长所得的弦长为为 2， 则则 p_.解析：解析：抛物线抛物线 y22px(p0)的准线方程

14、为的准线方程为 xp2，而圆化成标准方程为，而圆化成标准方程为 x2(y1)22，圆心坐标为，圆心坐标为(0,1)，半径为，半径为 2，圆心到准线的距离为，圆心到准线的距离为p2，所以，所以p221( 2)2，解得，解得 p2.答案：答案：25已知已知 F 是抛物线是抛物线 C：y28x 的焦点，的焦点，M 是是 C 上一点，上一点，FM 的延长线交的延长线交 y 轴于点轴于点 N.若若 M 为为 FN 的中点，则的中点，则 FN_.解析：解析：依题意，抛物线依题意，抛物线 C：y28x 的焦点的焦点 F(2,0)，因为，因为 M 是是 C 上一点，上一点，FM 的延长线的延长线交交 y 轴于

15、点轴于点 N，M 为为 FN 的中点，设的中点，设 M(a，b)(b0)，所以，所以 a1，b2 2，所以，所以 N(0,4 2)，|FN| 4326.答案：答案：66已知双曲线已知双曲线 C：x23y21 与直线与直线 l：xky40，若直线若直线 l 与双曲线与双曲线 C 的一条渐近的一条渐近线平行，则双曲线线平行，则双曲线 C 的右焦点到直线的右焦点到直线 l 的距离是的距离是_解析：解析：由题意得，双曲线由题意得，双曲线 C：x23y21 的右焦点的右焦点 F(2,0)，其渐近线方程为，其渐近线方程为 y33x，又直线又直线 l：xky40 与双曲线与双曲线 C 的一条渐近线平行的一条

16、渐近线平行，所以所以 k 3，所以直线所以直线 l 的方程的方程为为x 3y40，所以双曲线，所以双曲线 C 的右焦点到直线的右焦点到直线 l 的距离的距离 d|24|23.答案：答案：37.如图所示如图所示，F1，F2是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点的两个焦点，以以坐标原坐标原点点O为圆心为圆心， OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为为A，B，且，且F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为是等边三角形，则双曲线的离心率为_解析：解析：连结连结 AF1，依题意得，依题意得 AF1AF2，AF2F130，AF1c，AF2

17、 3c，因此该双曲线的离心率，因此该双曲线的离心率 eF1F2AF2AF12c3cc 31.答案答案： 318已知双曲线已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为 y52x，且与椭圆且与椭圆x212y231 有公共焦点，则有公共焦点，则 C 的方程为的方程为_解析：解析：根据双曲线根据双曲线 C 的渐近线方程为的渐近线方程为 y52x，可知可知ba52.又椭圆又椭圆x212y231 的焦点坐标为的焦点坐标为(3,0)和和(3,0)，所以所以 a2b29.根据根据可知可知 a24，b25，所以所以 C 的方程为的方程为x24y251.答案答案：x24y2

18、519对于给定的双曲线对于给定的双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)，称圆心是双曲线的焦点且与双曲线，称圆心是双曲线的焦点且与双曲线只有一个公共点的圆是双曲线只有一个公共点的圆是双曲线 C 的的“焦点圆焦点圆”若双曲线若双曲线 C 的一个焦点为的一个焦点为 F1(5,0)，且经过且经过点点13，83 ，则圆心为，则圆心为 F1的的“焦点圆焦点圆”的方程是的方程是_解析解析：由条件得由条件得a2b225，13a2649b21，解得解得a3，b4，故双曲线的方程为故双曲线的方程为x29y2161，右顶点右顶点为为(3,0)，根据新定义可知，所求圆的半径，根据新定义可知，所求圆的半径 r2，

19、从而所求，从而所求“焦点圆焦点圆”的方程为的方程为(x5)2y24.答案：答案：(x5)2y2410已知已知 F1，F2分别是双曲线分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点，的左、右焦点，P 是抛物线是抛物线 y28ax与双曲线的一个交点，若与双曲线的一个交点，若 PF1PF212，则抛物线的准线方程为，则抛物线的准线方程为_解析：解析：将双曲线方程化为标准方程得将双曲线方程化为标准方程得x2a2y23a21，其焦点坐标为其焦点坐标为(2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程得联立抛物线与双曲线方程得x2a2y23a21，y28axx3a

20、，而由而由PF1PF212，PF1PF22aPF26a，PF23a2a6a，得，得 a1，抛物线的方程为抛物线的方程为 y28x，其准线方程为，其准线方程为 x2.答案：答案：x211已知已知 F 为抛物线为抛物线 C：y24x 的焦点的焦点，过过 F 作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线直线 l1与与C 交于交于 A，B 两点，直线两点，直线 l2与与 C 交于交于 D，E 两点，则两点，则 ABDE 的最小值为的最小值为_解析：解析：抛物线抛物线 C：y24x 的焦点为的焦点为 F(1,0)，由题意可知由题意可知 l1，l2的斜率存在且不为的斜率存在且不为 0.不妨设

21、直线不妨设直线 l1的斜率为的斜率为 k，则则 l1：yk(x1)，l2：y1k(x1)，由由y24x，yk x1 消去消去 y，得，得 k2x2(2k24)xk20，设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k224k2，由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2224k2244k2.同理得同理得|DE|44k2，|AB|DE|44k244k2841k2k28816，当且仅当当且仅当1k2k2，即，即 k1 时取等号，时取等号，故故|AB|DE|的最小值为的最小值为 16.答案答案：1612 已知已知 F 为抛物线为抛物线 y2x 的焦点的焦点， 点点 A， B

22、 在该抛物线上且位于在该抛物线上且位于 x 轴的两侧轴的两侧，OA OB2(其中其中 O 为坐标原点为坐标原点)，则，则ABO 与与AFO 面积之和的最小值是面积之和的最小值是_解析解析：设直线设直线 AB 的方程为的方程为 xnym，且与且与 x 轴的交点为轴的交点为 M(如图如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)， OA OB2，x1x2y1y22.又又 y21x1，y22x2，y1y22.联立联立y2x，xnym，得得 y2nym0，y1y2m2，m2，即点，即点 M(2,0)又又 SABOSAMOSBMO12OM|y1|12OM|y2|y1y2，SAFO12OF|

23、y1|18y1，SABOSAFOy1y218y198y12y1298y12y13，当且仅当当且仅当 y143时，等号成立时，等号成立答案：答案：313.如图，已知点如图，已知点 P 在以在以 F1，F2为焦点的双曲线为焦点的双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上，过上，过 P 作作 y 轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为 Q，若四边形，若四边形 F1F2PQ 为菱形，则为菱形，则该双曲线的离心率为该双曲线的离心率为_解析解析：由题意知四边形由题意知四边形 F1F2PQ 的边长为的边长为 2c，连结连结 QF2，由对称性由对称性可知可知， QF2QF12c， 则三角形则三角形 QPF2为等边三角

24、形为等边三角形 过点过点 P 作作 PHx 轴于点轴于点 H， 则则PF2H60，因为，因为 PF22c，所以在直角三角形，所以在直角三角形 PF2H 中，中，PH 3c，HF2c，则，则 P(2c， 3c)，连结连结 PF1，则则 PF12 3c.由双曲线的定义知由双曲线的定义知，2aPF1PF22 3c2c2( 31)c，所以所以双曲线的离心率为双曲线的离心率为ca131312.答案：答案：31214已知直线已知直线 l：y2x3a 与双曲线与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左支交于的左支交于 A，B 两点两点，则则双曲线的离心率双曲线的离心率 e 的取值范围是的取值范围是_解析解

25、析： 法一法一： 设设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立联立y2x3a，x2a2y2b21消去消去 y， 得得(b24a2)x212a3x9a4a2b20，x1x212a3b24a2，x1x29a4a2b2b24a2，直线直线 AB 与双曲线的左支交于与双曲线的左支交于 A，B 两点，两点，0，x1x212a3b24a20，x1x29a4a2b2b24a20，得得 b24a2，即，即 c2a24a2，c25a2，e25，故故1e 5.法二：法二：由题意知，双曲线的渐近线方程为由题意知，双曲线的渐近线方程为 ybax，直线，直线 l：y2x3a 过点过点32a，0，且与双曲线的左支交于且与双曲线的左支交于 A，B 两点两点，则直线则直线 l 要比渐近线更陡要比渐近线更陡，即即 2ba，b2a，即即 b24a2，c2a24a2，c25a2，e25，故，故 1e 5.答案：答案：(1， 5)