高考数学理科专题教学案：圆锥曲线的基本问题含答案

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1、高考数学精品复习资料 2019.5常考问题12圆锥曲线的基本问题来源:中+国教+育出+版网真题感悟1(20xx江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析建立关于m的方程求解c2mm24，e25，m24m40，m2.答案22(20xx江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析法一x3代入1，y，不妨设M(3，)，右焦点F(4,0)MF4.法二由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x1的距离比为离心率e2，2，MF4.答案43(20xx广东卷改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)

2、，离心率等于，则C的方程是_解析由题意知c3，e，所以a2；b2c2a2945，故所求双曲线方程为1.答案14(20xx湖南卷改编)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a且PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率为_解析不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，求得|PF1|4a，|PF2|2a.又在PF1F2中，PF1F230，所以PF2F190，求得|F1F2|2a，故双曲线C的离心率e.答案考题分析来源:中教网(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方

3、程与几何性质，B级要求；(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求.1圆锥曲线的定义来源:(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)3圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e；来源:(2)双曲线：e.渐近线方程：yx或yx.4求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可

4、设为y22ax或x22ay(a0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义；中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为1(m0，n0)；双曲线方程可设为1(mn0)来源:这样可以避免讨论和繁琐的计算5求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；来源:(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：建系要符合最优化原则；求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点一圆锥曲线的定义与标准

5、方程【例1】 设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_解析法一1的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为1(a0，b0)，根据定义2a|4，故a2.又b232225，故所求双曲线方程为1.法二1的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为1(a0，b0)，则a2b29，1，解得a24，b25，故所求双曲线方程为1.法三设双曲线方程为1(27b0)，由e，知，故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，故a4.b28，椭圆C的方程为1.答案1来源:中#教#网z#z#s#tep热点二圆锥曲线的几何性质【例2

6、】 (20xx浙江卷改编)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_解析由题意可知|F1F2|2，c.设双曲线的方程为1(a0，b0)|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF2|2a，|AF1|2a.在RtF1AF2中，F1AF290，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.答案规律方法 求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a，c，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a，c的方

7、程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数【训练2】 (1)(20xx天津卷改编)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.(2)椭圆1(ab0)的焦距为2c，若直线y2x与椭圆的一个交点的横坐标为c，则椭圆的离心率为_解析(1)因为双曲线的离心率e2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yxx，与抛物线的准线x相交于A，B，所以AOB的面积为p，又p0，所以p2.(2)因为直线与椭圆的一个交点的横坐标为c，所以这个交点的坐标为，

8、则有2c，即有b2a2c22ac，e22e10，解得e1(另一个解不符合要求，舍去)答案(1)2(2)1热点三求动点的轨迹方程【例3】 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AB2，求点M的轨迹方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意可得|PF2|F1F2|，即2c.整理得2210，得或1(舍)，所以e.来源:(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2方程为y(xc)A，B

9、两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0，解得x10，x2c，得方程组的解不妨设A，B.设点M的坐标为(x，y)，则A，B(x，yc)由y(xc)，得cxy.于是A，B(x，x)由题意知AB2，即xyxx2，化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0，所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)规律方法 (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围【训练3】 (20xx新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)

10、2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解(1)设圆P的半径为r，则|PM|1r，|PN|3r，|PM|PN|4|MN|，P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a4,2c2，a2，c1，b2a2c23.P的轨迹曲线C的方程为1(x2)(2)由(1)知2r(|PM|PN|)2|MN|24，来源:数理化网圆P的最大半径为r2.此时P的坐标为(2,0)圆P的方程为(x2)2y24.当l的倾斜角为90，方程为x0时，|AB|2，当l的倾斜角不为90，来源:中教网设l的方程为ykxb(kR)，解得或l的方程为yx，yx.联立方程化简得7x28x80，解之得x1，x2.|AB|x1x2|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.来源:综上，|AB|2或.备课札记：