人教版 高中数学【选修 21】 习题：第一章1.1回归分析的基本思想及其初步应用

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1、人教版高中数学精品资料第一章统计案例1.11.1回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用A A 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1 1已知已知x x和和y y之间的一组数据之间的一组数据x x0 01 12 23 3y y1 13 35 57 7则则y y与与x x的线性回归方程的线性回归方程y y b b x xa a 必过点必过点( () )A A(2(2，2 2) )B.B.3 32 2，0 0C C(1(1，2 2) )D.D.3 32 2，4 4解析：解析：x x1 14 4(0(01 12 23)3)3 32 2，y y1 14 4(1(13 35 57

2、)7)4 4，回归方程回归方程y y b b x xa a 必过点必过点3 32 2，4 4. .答案：答案：D D2 2四名同学根据各自的样本数据研究变量四名同学根据各自的样本数据研究变量x x，y y之间的相关关系之间的相关关系，并求得回归直线方程并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：分别得到以下四个结论：y y与与x x负相关且负相关且y y 2.3472.347x x6.4236.423；y y与与x x负相关且负相关且y y 3.4763.476x x5.6485.648；y y与与x x正相关且正相关且y y 5.4375.437x x8.4938.493；y y与与x x正相

3、关且正相关且y y 4.3264.326x x4.578.4.578.其中一定不正确的结论的序其中一定不正确的结论的序号是号是( () )A AB BC CD D解析解析：中中y y与与x x负相关而斜率为正负相关而斜率为正，不正确不正确；中中y y与与x x正相关而斜率为负正相关而斜率为负，不正确不正确答案：答案：D D3 3甲甲、乙乙、丙丙、丁四位同学在建立变量丁四位同学在建立变量x x，y y的回归模型时的回归模型时，分别选择了分别选择了 4 4 种不同模型种不同模型，计算可得它们的相关指数计算可得它们的相关指数R R2 2分别如表：分别如表：甲甲乙乙丙丙丁丁R R2 20.980.98

4、0.780.780.500.500.850.85建立的回归模型拟合效果最好的同学是建立的回归模型拟合效果最好的同学是( () )A A甲甲B B乙乙C C丙丙D D丁丁解析：相关指数解析：相关指数R R2 2越大越大，表示回归模型的效果越好表示回归模型的效果越好答案：答案：A A4 4如图所示的是四个残差图如图所示的是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是其中回归模型的拟合效果最好的是( () )解析解析：残差图中残差图中，只有只有 A A、B B 是水平带状区域分布是水平带状区域分布，且且B B中残差点散点分布集中在更狭窄中残差点散点分布集中在更狭窄的范围内所以的范围内所以 B B 项中

5、回归模型的拟合效果最好项中回归模型的拟合效果最好答案：答案：B B5 5(2015(2015福建卷福建卷) )为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社随机调查了该社区区5 5 户家庭户家庭，得到如下统计数据表：得到如下统计数据表：收入收入x x( (万元万元) )8.28.28.68.610.010.011.311.311.911.9支出支出y y( (万元万元) )6.26.27.57.58.08.08.58.59.89.8根根据上表可得回归直线方程据上表可得回归直线方程y y b b x xa a ，其中其中b b 0.760.7

6、6，a a y yb b x x. .据此估计据此估计，该社区一该社区一户年收入为户年收入为 1515 万元家庭的年支出为万元家庭的年支出为( () )A A11.411.4 万元万元B B11.811.8 万元万元C C12.012.0 万元万元D D12.212.2 万元万元解析：先求解析：先求a a ，再利用回归直线方程预测再利用回归直线方程预测由题意知由题意知，x x8.28.28.68.610.010.011.311.311.911.95 51010，y y6.26.27.57.58.08.08.58.59.89.85 58 8，a a 8 80.760.7610100.40.4，当

7、当x x1515 时时，y y 0.760.7615150.40.411.8(11.8(万元万元) )答案：答案：B B二、填空题二、填空题6 6如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为 0 0 的直线上的直线上，则残差为则残差为_，相关指相关指数数R R2 2_解析：由题意知解析：由题意知，y yi iy y i i相应的残差相应的残差e e i iy yi iy y i i0.0.相关指数相关指数R R2 21 1答案：答案：0 01 17.7.甲甲、乙乙、丙丙、丁丁 4 4 位同学各自对位同学各自对A A，B B两变量做回归分析两变量做回归分析，分别得

8、到散点图与残差平方分别得到散点图与残差平方和和如表：如表：甲甲乙乙丙丙丁丁散点图散点图残差平残差平方和方和115115106106124124103103_同学的试验结果体现拟合同学的试验结果体现拟合A A，B B两变量关系的模型拟合精度高两变量关系的模型拟合精度高解析：由图表知解析：由图表知，丁同学拟合的残差平方和为丁同学拟合的残差平方和为 103103 最小即最小即R R2 2最大最大，所以丁的拟合效果所以丁的拟合效果好好，精度高精度高答案：丁答案：丁8 8若下表数据对应的若下表数据对应的y y关于关于x x的线性回归方程为的线性回归方程为y y 0.70.7x xa a，则则a a_x

9、x3 34 45 56 6y y2.52.53 34 44.54.5解析：解析：x x4.54.5，y y3.53.5，回归直线过样本中心点回归直线过样本中心点( (x x，y y) )，则则 3.53.50.70.74.54.5a a，所所以以a a0.35.0.35.答案：答案：0.350.35三、解答题三、解答题9 9 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价， 将该产品按将该产品按事先拟定的价格进行试销事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：得到如表数据：单位单位x x( (元元) )8 88.28.28.48.48.68.68.88.89 9销售

10、销售y y( (件件) )909084848383808075756868(1)(1)求回归直线方程求回归直线方程y y b b x xa a ，其中其中b b 2020，a a y yb b x x；(2)(2)预计在今后的销售中预计在今后的销售中， 销售与单价仍然服从销售与单价仍然服从(1)(1)中的关系中的关系， 且该产品的成本是且该产品的成本是 4 4 元元/ /件件，为使工厂获得最大利润为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？该产品的单价应定为多少元？( (利润销售收入成本利润销售收入成本) )解：解：(1)(1)由于由于x x1 16 6(8(88.28.28.48.48.

11、68.68.88.89)9)8.58.5，y y1 16 6(90(90848483838080757568)68)8080，又又b b 2020，所以所以a a y yb b x x808020208.58.5250250，从而回归直线方程为从而回归直线方程为y y 2020 x x250.250.(2)(2)设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为L L元元，依题意得依题意得L Lx x( (2020 x x250)250)4(4(2020 x x250)250)2020 x x2 2330330 x x1 1 00000020(20(x x8.8. 25)25)2 2361.25.361.2

12、5.当且仅当当且仅当x x8.258.25 时时，L L取得最大值取得最大值故当单价定为故当单价定为 8.258.25 元时元时，工厂可获得最大利润工厂可获得最大利润1010某企业每天由空气污染造成的经济损失某企业每天由空气污染造成的经济损失y y( (单位：元单位：元) )与空气污染指数与空气污染指数( (APIAPI) )x x的数据的数据统计如下：统计如下：空气污染指数空气污染指数( (APIAPI) )x x150150200200250250300300经济损失经济损失y y200200350350550550800800(1)(1)求出求出y y与与x x的线性回归方程的线性回归方

13、程y y b b x xa a ；(2)(2)若该地区某天的空气污染指数为若该地区某天的空气污染指数为 800800，预测该企业当天由空气污染造成的经济损失；预测该企业当天由空气污染造成的经济损失；(3)(3)若相关指数若相关指数R R2 20.9580.958 7 7，请说明其含义请说明其含义解：解：( (1)1)x x1 14 4(150(150200200250250300)300)225225，y y1 14 4(200(200350350550550800)800)475.475.所以所以b b 5050 0000001212 5005004 4，a a y yb b x x4754

14、754 4225225425425，所以所以y y 4 4x x425.425.(2)(2)当当x x800800 时时，y y 4 48008004254252 2 775.775.即当空气污染指数为即当空气污染指数为 800800 时时，预测该企业当天造成的经济损失是预测该企业当天造成的经济损失是 2 2 775775 元元(3)(3)R R2 20.95870.9587，说明该企业每天空气污染造成经济损失的说明该企业每天空气污染造成经济损失的 95.8795.87% %是由空气污染指数是由空气污染指数 APAPI I引起的引起的，所以回归模型的拟合效果较好所以回归模型的拟合效果较好B B

15、 级级能力提升能力提升1 1某产品的广告费用某产品的广告费用x x与销售额与销售额y y的的统计数据如下表所示：统计数据如下表所示：广告费用广告费用x x/ /万元万元4 42 23 35 5销售额销售额y y/ /万元万元4949262639395454根据上表可得回归方程根据上表可得回归方程y y b b x xa a 中的中的b b 为为 9.49.4，据此模型预报广告费用为据此模型预报广告费用为 6 6 万元时销售额万元时销售额为为( () )A A63.663.6 万元万元B B65.565.5 万元万元C C67.767.7 万元万元D D72.072.0 万元万元解析：解析：x

16、x4 42 23 35 54 43.53.5，y y49492626393954544 44242，因为数据的样本中心点因为数据的样本中心点(3.5(3.5，4242) )在线性回归直线上在线性回归直线上，回归方程回归方程y y b b x xa a 9.49.4x xa a ，所以所以 4242a a 9.49.43.53.5，所以所以a a 9.19.1，所以线性回归方程是所以线性回归方程是y y 9.49.4x x9.19.1，所以广告费用为所以广告费用为 6 6 万元时销售额为万元时销售额为 9.49.46 69.19.165.5(65.5(万元万元) )答案：答案：B B2 2已知方

17、程已知方程y y 0.850.85x x82.7182.71 是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中其中x x的单位是的单位是 cmcm，y y 的单位是的单位是 kgkg，那么针对某个体那么针对某个体(160(160，5353) )的残差是的残差是_解析：把解析：把x x160160 代入代入y y 0.850.85x x82.7182.71，得得y y 0.850.8516016082.7182.7153.2953.29，所以残差所以残差e e y yy y 535353.2953.290.29.0.29.答案：答案：0.290.293

18、3(2015(2015重庆卷重庆卷) )随着我国经济的发展随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民设某地区城乡居民人民币储蓄存款人民币储蓄存款( (年底余额年底余额) )如下表：如下表：年份年份2010201020112011201220122013201320142014时间代号时间代号t t1 12 23 34 45 5储蓄存款储蓄存款y y( (千亿元千亿元) )5 56 67 78 81010( (1)1)求求y y关于关于t t的回归方程的回归方程y y b b t ta a ；(2)(2)用所求回归方程预测该地区用所求回归方程预测该地区 20

19、152015 年年( (t t6)6)的人民币储蓄存款的人民币储蓄存款附：回归方程附：回归方程y y b b t ta a 中中，b b 解：解：(1)(1)由题设条件列表计算如下：由题设条件列表计算如下：i it ti iy yi it t2 2i it ti iy yi i1 12 23 34 45 51 12 23 34 45 55 56 67 78 810101 14 49 9161625255 51212212132325050151536365555120120这里这里n n5 5，t t1 1n n错误错误!i i15155 53 3，y y1 1n n错误错误!i i36365 57.2.7.2.从而从而b b l ltytyl ltttt121210101.21.2，a a y yb b t t7.27.21.21.23 33.63.6，故所求回归方程为故所求回归方程为y y 1.21.2t t3.6.3.6.(2)(2)将将t t6 6 代入回归方程可预测该地区代入回归方程可预测该地区 20152015 年的人民币储蓄存款为年的人民币储蓄存款为y y 1.21.26 63.63.610.8(10.8(千亿元千亿元) )