平面向量知识点总结及部分训练题

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1、第五章 平面向量一、向量的相关概念：1. 向量的概念： 我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2、向量的表示方法：几何表示法：用有向线段表示；用字母 a 、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ；坐标表示法： a xi yj （x,y）3、向量的模： 向量 AB 的大小长度称为向量的模，记作| AB |.4、特殊的向量： 长度为 0 的向量叫零向量，记作 0 0的方向是任意的 长度为 1 个单位 长度的向量，叫单位向量 . 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方

2、向.5、相反向量： 与 a 长度相同、方向相反的向量 记作 a6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 . 向量 a 与 b 相等，记作 a b ；记作 a/ b 平行向量也称7、平行向量 （ 共线向量 ） ：方向相同或相反的向量，称为平行向量 为共线向量8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量 a 与b，作 OAa，OB b ，则AOB 0 叫 a 与 b 的夹角说明：（1）当0时，a 与b同向；（2）当时，a 与b反向；（3）当时，a 与b2垂直，记 a b ；规定零向量和任意向量都垂直。 （ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须 是同起点的 范围 0 1809、实数与向量的积

3、：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度与方向规定如下：（） a a ； （）当0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当0时， a 0 ，方向是任意的10、两个向量的数量积：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a b |a | |b |cos叫做 a 与b的数量积（或内积） 规定 0 a 011、向量的投影 ：定义： | b |cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 | b | ；当 = 180

4、 时投影为|b|bcos a b R，称为向量 b在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 |a|二、重要定理、公式：1 、平面向量基本定理： e1 ， e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1, 2 ，使 a 1 e1 2 e2（1）平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基 底 任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得a xi y j 1我们把 （ x, y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a （x, y） 2其中 x 叫做 a 在 x轴上的

5、坐标， y叫做 a在 y轴上的坐标，2 式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐 标也为 (x,y)特别地， i (1,0) ， j (0,1) ，0 (0,0)(2) 若 A(x1, y1)， B(x2,y2)，则 AB x2 x1,y2 y1 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理： 向量 b与非零向量 a 共线的充要条件是： 有且只有一个非零实数 ，使 b a设a (x1,y1)，b (x2,y2)，则 a/ b a b x1y2 x2y1 0a b a b 0x1x2 y1y2 03、两个向量垂直的充要条件设 a (x1,y

6、1) ， b (x2,y2) ，则4、平面内两点间的距离公式1)设 a (x, y) ，则 |a|2 x2 y2或|a| x2 y22)如果表示向量 a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1) 、B(x2, y2)，那么| AB|x1 x2 2 y1 y2 2 ( 平面内两点间的距离公式 )5、两向量夹角的余弦 ( 0)cos a b|a| |b |x1x2 y1y2三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算 的坐标表示和性质a (x1,y1)， b (x2,y2)运算 类型几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法1 平行四边形法则a b b a2 三

7、角形法则 (首尾相接， 首尾连)a b (x1 x2, y1 y2)(a b) c a (b c)AB BC AC向 量 的 减 法三角形法则 （首首相接， 尾尾相连， 指向被减）a b (x1 x2,y1 y2)a b a ( b)AB BAOB OA AB向 量 的 乘 法实数 与向量 a 的积是一个向量， 记作： a（1） a a（2）0 时， a 与 a 同向；当0 时， a 与 a 异向；当 0 时， a 0 。任意方向a ( x, y)( a) aa a a(a b) a b a/ b a b向 量 的 数 量 积a b |a | |b |cos ，01 a 0或 b 0 时,a

8、b 02 a 0且 b 0 时,a b |a|b|cos a,ba b x1x2 y1 y2 向量的数量积的几何意 义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b| cos 的乘积ab b a( a) b a ( b) (a b) (a b) c a c b c|a|2 a 或|a| x2 y2|ab| |a|b|a b a b 0abcos|a| |b|特别注意：（1）结合律不成立：a (b c) (a b) c ；2）消去律不成立不能得到 b c（3） a b 0不能得到 a=0或b =0乘法公式成立：2222（a b）（a b） a b |a|2 |b|222（a

9、b）2 a 2a b b |a|2 2a b |b|2线段的定比分点公式 : 设点 P分有向线段 P1P2 所成的比为 ，即 P1P PP2 ，则x1x2x,1 （ 线段定比分点的坐标公式 ） y y1 y2 . y.1x1 x2当1 时，得中点公式：1OP （ OP1 OP2 ）或212x2 y y1 y2 y2平移公式：则 OP 设点 P（x， y）按向量 a x x h, y y k.OP +a 或曲线 y f（x）按向量 a （ ，）（ ，）平移后得到点 P（ x， y），平移后所得的曲线的函数解析式为： yf（x ）正弦定理其中R 表示三角形的外接圆半径）1） a b2Rsin A

10、sin B sinC2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabsinA ,sin AB ,sinC 2R 2R 余弦定理3）c,2R,1）2 2 2b =a c 2ac cos B2）3）222 bca cosA 2bc1 111S a ha； Sbcsin Aab sin Cac sin B ；2a 222附： ABC的判定 ：222c2 a2 b2 ABC为直角A + B =22 2 2c a bABC为钝角A + B a2 b2 ABC为锐角A + B2附：证明：cosCa2 b2 c2ab得在钝角 ABC中， cosC 0 a2 b2 c2 0 a2 b2 c2 在

11、ABC中，有下列等式成立 tanA tanB tanC tan A tan B tan C .证明：因为A B C, 所以 tan A B tan C ，所以tanA tanBtanC ，1 tan A tan B结论！三角形的四个“心” ；重心 ：三角形三条中线交点 .外心 ： 三角形三边垂直平分线相交于一点 .内心 ： 三角形三内角的平分线相交于一点 . 垂心 ： 三角形三边上的高相交于一点 .非零向量 a 与 a 有关系是 ： a 是 a 方向上的单位向量练习题：、平面向量的概念及其运算1、若向量 a 、b 满足 a b a b ，则 a 与 b 必须满足的条件为a,b 方向相同2、若

12、AB b, AC c ，则 BC 等于(Abcbcbc3、正六边形 ABCDEF中， BA CDEFABE CDCF4、在边长为 1 的正方形 ABCD中，设 AB a,AD b, ACc ，则5、在 ABC 中，已知BC 3BD ，则 AD 等于( AA1(AC 2AB)3 1(AB 2AC) 1 (AC 3AB)4D1 (AC 2AB)46、在 ABC中， E、F 分别是 AB和 AC的中点，ABa, AC b ，则 EF等于( CA11 (a b)21 1 (a b) C212 (b a)112(a b)7、已知：向量 a,b同向，且 a 3, b 7，则 2a二、平面向量的基本定理及坐

13、标表示8、若 AB 3e1,CD 5e1，且 AD BC ，则四边形 ABCD是( C )A 是平行四边形 B 菱形 C 等腰梯形 D 不等腰梯形9、已知 A( 2,4), B(3, 1),C( 3, 4)且CM 3CA,CN 2CB ，试求点 M、N和MN 的坐标 199 页答案： M (0,20), N(9,2), MN ( 9, 18)10、已知向量 a ( 3, 4) ，则与 a 同向的单位向量是( A )3 43 4A( , ) B( , ) C( 3, 4) D (3,4)5 55 511、已知 A( 3,2), AB (8,0) ，则线段 AB中点的坐标是( 1，2)12、若三点

14、 P(1,1), A(2, 4),B(x, 9)共线，求 x (答案： x 3 )13、若向量 a (x 3, x2 3x 4)与 AB相等地，已知 A( 1,2), B(1,2) ，则 x 的值为( A ) A -1 B -1 或-4 C 4 D 1 或 4三、线段的定比分点14、已知 A、B、C三点在同一条直线上，且 A( 3， -6 )， B( -5 ， 2)，若点 C的横坐标为 6，求 点 C分 AB 所成的比及点 C的纵坐标(答案： 3 , 9 )1115、若线段 AB的端点 A(lg x,lg y), B( 6,3) ，中点 M( 2,0) ，则 x 100 、16、已知 O(0,

15、0)和 A(6，3)两点，若点 P在直线 OA上，且 OP 1PA，又 P是OB 的中点，则2 点 B 的坐标为( 4， 2)3917、已知直线 l与 x轴， y轴分别交于点 A、B， AOB的重心为( -1 ，3)，则 AB中点坐标为 ( 3,118 11 A( 0，1)B( -8， 3 )C( 0，1)或 (2, 3 )D( 3 ， 3 ) 3 333 19、已知点 A(x,5)关于 P(1, y) R 对称点是 B( 2, 3)，则点 ( x, y)到原点的距离是(D ) A 13B 15C4D 17)2218、已知三个点 A( 2,1), B(1,4), D(4, 3)，点 C在AB上

16、，且 2AC CB ，连结 DC并延长至 E，使1CE 4DE，则 E点的坐标为( D )四、平面向量的数量积20、已知， a 2,b 3,a b 3 3 ，则 a 与 b 的夹角等于30o21、22、已知 b 5，且 a b 12 ，则向量 a在b 方向上的投影为125已知 ABCD为菱形，则 （AB BC） （AB AD） 的值为23、已知向量 a 与 b的夹角为 120o ，且 a 4, b 2，1）求 a 在 b 方向上的投影2)求 3a 4b3）若向量答案：（1）a kb 与 5a b 垂直，求实数19-2，（2）4 7 ，（ 3） 19 ）4k 的值24、已知 a 、b 满足 a

17、1, b 1 且 (a b)23 ，则 a b25、若 a b a b ，且 a 与 b 不共线，则 a 与 b 的夹角为90o26、已知a 2 13,b ( 2,3) ，且 a b ，求 a 的坐标27、A已知 a ( 2, 1),b ( ,1) ，若 a与 b的夹角为钝角，则11( ,2) (2, )B (2, )C ( , )22B (2, )的取值范围是（ A1D （ , ）228、已知 a （6,0）, b （ 5,5） ，则 a 与 b 的夹角为135o29、1已知 A（3,2）,B（ 1, 1），若点 P（x, ） 在线段 AB的中垂线上，则 x=五、平移30、把点 A（3，4）

18、，按 a （1,2）平移，求对应点 A 的坐标 （x,y ） （答案（ 4，6）2x 1 2x 731、把函数 y3 的图象 l 按a （ 1,2）平移得到 l ，求 l 的函数解析式（答案 y 3 ）3332、一个向量把点（ 2，-1）平移到（ -2，1），它把点（ -2， 1）平移到（A ）A （2, 1）B（-2，1）C（ 6，-3）D（-6，3）233、若向量 a 使点（ 3，-9）平移到点（ 1，1），则将函数 y 3x2 12x 2 的图象，按 a平移后的解析式为（ A ）A y 3x222B y 3(x 2)2C y 3(x 2)2 102D y 3(x 2) 2 1034、已知

19、 A（5，7）、B（2，3），将 AB 按向量 a （4,1）平移后的坐标为-3，-4）六、解斜三角形35、ABC 中，已知45o,A 30o,a 2 2，求 b答案：36、ABC 中，已知45o,b 2,c 1 ，求 a答案37、ABC 中，已知B 150o,a 3 3,c 2 ，求 b答案7）38、ABC 中，1) A 120o,b 3,c 5 ，求 sinB sinC2) (a b c)(a b c) 3ab ，求 C 答案：(1) 4 3 (2) C 60o )739、若三角形的三边长分别为， 5， 6，则此三角形一定是A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角或钝角三角形40、在 A

20、BC 中，若 a 2bcosC ，则 ABC 为（A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形41、在 ABC 中， S ABC3, A 60o,b 1，则 a 的值为（ CA 13B 13C 3D942、已知三点 A（1， 2），B（ 3，1）， C（-1，0）（1）若 ABCD为平行四边形，求 D 点坐标；（2）若 P在直线 AB 上，且 PA 3PB ，求 P的坐标（3）求 A 的大小（用反三角表示）5 5 1 10 （答案：（1）（ -3，1）；（ 2） P（5,5）或 P（4, 1） ；（3） Aarccos 10）a 、 b 、 c ，设向量 m (a c, a b) ，2) 23 )43、已知 ABC的三个内角 A、B、C 所对的边的长分别为 n (a b, c)且 m / n( 1)求 B2)若 a 1,b 3，求 ABC的面积(答案： (1) ； 344、设函数 f (x) a (b c) ，其中向量 a (sin x, cosx),b (sin x, 3cosx),c ( cosx,sin x), x R， 求函数 f (x) 的最大值和最小正周期(答案： ( 1) 2 2 ； ( 2) )2 4 2 10