新版高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：十九 立体几何 Word版含解析

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1、11课时跟踪检测（十九）课时跟踪检测（十九）立体几何立体几何1.(高三高三广西五校联考广西五校联考)如图如图，菱形菱形 ABCD 中中，ABC60，AC 与与BD 相交于点相交于点 O，AE平面平面 ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：求证：BD平面平面 ACFE；(2)当直当直线线 FO 与平与平面面 BED 所成的角所成的角为为 45时时， 求异面直求异面直线线 OF 与与 BE所成的角的余弦值大小所成的角的余弦值大小解：解：(1)证明：证明：四边形四边形 ABCD 是菱形是菱形，BDAC.AE平面平面 ABCD，BD平面平面 ABCD，BDAE.ACAEA，BD平面平面 ACFE

2、.(2)以以 O 为坐标原点为坐标原点， OA，OB的方向为的方向为 x 轴轴，y 轴正方向轴正方向，过过 O且平行于且平行于 CF 的直线为的直线为 z 轴轴(向上为正方向向上为正方向)， 建立如图所示的空间直角建立如图所示的空间直角坐标系坐标系 Oxyz，设设 CFa，则则 B(0，3，0)，D(0， 3，0)，E(1,0,2)，F(1，0，a)(a0)， OF(1,0，a)设平面设平面 BED 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)，则则n OB0，n OE0，即即3y0，x2z0，令令 z1，则则 n(2,0,1)，由题意得由题意得 sin 45|cos OF，n|OFn| OF|n|

3、2a|a21 522，解得解得 a3 或或 a13.由由 a0，得得 a3，OF(1,0,3)， BE(1， 3，2)，cos OF， BE1610 854，故异面直线故异面直线 OF 与与 BE 所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为54.2.(20 xx合肥模拟合肥模拟)如图所示如图所示，在四棱台在四棱台 ABCDA1B1C1D1中中，AA1底面底面 ABCD， 四边形四边形 ABCD 为菱形为菱形， BAD120， ABAA12A1B12.(1)若若 M 为为 CD 中点中点，求证：求证：AM平面平面 AA1B1B；(2)求直线求直线 DD1与平面与平面 A1BD 所成角的正弦值所成角的正

4、弦值解：解：(1)证明：连接证明：连接 AC，四边形四边形 ABCD 为菱形为菱形，BAD120，ACD 为等边三角形为等边三角形，又又 M 为为 CD 中点中点，AMCD，由由 CDAB 得得，AMAB.AA1底面底面 ABCD，AM平面平面 ABCD，AMAA1.又又 ABAA1A，AM平面平面 AA1B1B.(2)四边形四边形 ABCD 为菱形为菱形，BAD120，ABAA12A1B12，DM1，AM 3，AMDBAM90，又又 AA1底面底面 ABCD，以以 A 为坐标原点为坐标原点，AB，AM，AA1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴轴，y 轴轴，z 轴建立如图所示的轴建立如图所示

5、的空间直角坐标系空间直角坐标系 Axyz，则则 A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1，3，0)，D112，32，2，DD112，32，2， BD(3，3，0)，A1B(2,0，2)设平面设平面 A1BD 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)，则则n BD0，nA1B0，即即3x 3y0，2x2z0，令令 x1，则则 n(1，3，1)，|cosn， DD1|nDD1|n|DD1|15 515.直线直线 DD1与平面与平面 A1BD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为15.3.(高三高三洛阳四校调研洛阳四校调研)如图如图，四边形四边形 ABEF 和四边形和四边形 ABCD 均是均是直角梯形

6、直角梯形，FABDAB90，二面角二面角 FABD 是直二面角是直二面角，BEAF，BCAD，AFABBC2，AD1.(1)证明证明：在平面在平面 BCE 上上，一定存在过点一定存在过点 C 的直线的直线 l 与直线与直线 DF 平平行；行；(2)求二面角求二面角 FCDA 的余弦值的余弦值解：解：(1)证明：由已知得证明：由已知得，BEAF，BE 平面平面 AFD，AF平面平面 AFD，BE平面平面 AFD.同理可得同理可得，BC平面平面 AFD.又又 BEBCB，平面平面 BCE平面平面 AFD.设平面设平面 DFC平面平面 BCEl，则则 l 过点过点 C.平面平面 BCE平面平面 AD

7、F，平面平面 DFC平面平面 BCEl，平面平面 DFC平面平面 AFDDF，DFl，即在平面即在平面 BCE 上一定存在过点上一定存在过点 C 的直线的直线 l，使得使得 DFl.(2)平面平面 ABEF平面平面 ABCD，平面平面 ABCD平面平面 ABEFAB，FA平面平面 ABEF，又又FAB90，AFAB，AF平面平面 ABCD.AD平面平面 ABCD，AFAD.DAB90，ADAB.以以 A 为坐标原点为坐标原点，AD，AB，AF 所在直线分别为所在直线分别为 x 轴轴，y 轴轴，z 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得由已知得，D(1,0,0)，

8、C(2，2,0)，F(0,0,2)， DF(1,0,2)， DC(1,2,0)设平面设平面 DFC 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)，则则n DF0，n DC0，即即x2z0，x2y0，令令 z1，则则 n(2，1,1)，不妨取平面不妨取平面 ACD 的一个法向量为的一个法向量为 m(0,0,1)，cosm，nmn|m|n|1666，由于二面角由于二面角 FCDA 为锐角为锐角，因此二面角因此二面角 FCDA 的余弦值为的余弦值为66.4(20 xx全国卷全国卷)如图如图，四棱锥四棱锥 PABCD 中中，侧面侧面 PAD 为等为等边三角形且垂直于底面边三角形且垂直于底面 ABCD，ABB

9、C12AD，BADABC90，E 是是 PD 的中点的中点(1)证明：直线证明：直线 CE平面平面 PAB；(2)点点 M 在棱在棱 PC 上上，且直线且直线 BM 与底面与底面 ABCD 所成角为所成角为 45，求二面角求二面角 MABD 的余的余弦值弦值解：解：(1)证明：取证明：取 PA 的中点的中点 F，连接连接 EF，BF.因为因为 E 是是 PD 的中点的中点，所以所以 EFAD，EF12AD.由由BADABC90，得得 BCAD，又又 BC12AD，所以所以 EF 綊 BC，所以四边形所以四边形 BCEF 是平行四边形是平行四边形，CEBF，又又 CE 平面平面 PAB，BF平面

10、平面 PAB，故故 CE平面平面 PAB.(2)由已知得由已知得 BAAD，以以 A 为坐标原点为坐标原点， AB的方向为的方向为 x 轴轴正方向正方向， | AB|为单位长度为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则则 A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1， 3)，PC(1,0， 3)，AB(1,0,0)设设 M(x，y，z)(0 x1)，则则BM(x1，y，z)，PM(x，y1，z 3)因为因为 BM 与底面与底面 ABCD 所成的角为所成的角为 45，而而 n(0,0,1)是底面是底面 ABCD 的法向量的法向量，所以

11、所以|cosBM，n|sin 45，|z| x1 2y2z222，即即(x1)2y2z20.又又 M 在棱在棱 PC 上上，设设PM PC，则则 x，y1，z 3 3.由由解得解得x122，y1，z62(舍去舍去)，或或x122，y1，z62，所以所以 M122，1，62 ，从而从而AM122，1，62 .设设 m(x0，y0，z0)是平面是平面 ABM 的法向量的法向量，则则mAM0，m AB0，即即 2 2 x02y0 6z00，x00，所以可取所以可取 m(0， 6，2)于是于是 cosm，nmn|m|n|105.由图知二面角由图知二面角 MABD 为锐角为锐角，因此二面角因此二面角 M

12、ABD 的余弦值为的余弦值为105.5(20 xx开封模拟开封模拟)如图如图，在直角梯形在直角梯形 ABCD 中中，ADC90，CDAB，ADCD12AB2.将将ADC 沿沿 AC 折起折起，使平面使平面 ADC平面平面 ABC，得到几何体得到几何体 DABC，如图如图所所示示(1)证明：平面证明：平面 ABD平面平面 BCD；(2)求二面角求二面角 DABC 的余弦值的余弦值解解：(1)证明证明：易知易知 ACBC，又平面又平面 ADC平面平面 ABC，平面平面 ADC平面平面 ABCAC，BC平面平面 ABC，BC平面平面 ACD，ADBC.又又 ADCD，BCCDC，AD平面平面 BCD

13、，AD平面平面 ABD，平面平面 ABD平面平面 BCD.(2)以以 C 为坐标原点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，则则C(0，0,0)，A(2 2，0,0)，D( 2，0， 2)，B(0,2 2，0)，AD( 2，0， 2)， AB(2 2，2 2，0)设平面设平面 ABD 的法向量的法向量 m(x，y，z)则则m AD0，m AB0，即即 2x 2z0，2 2x2 2y0，令令 x1，得得 y1，z1，所以平面所以平面 ABD 的一个法向量的一个法向量 m(1,1,1)易知平面易知平面 ABC 的一个法向量的一个法向量 n(0,0,1)，co

14、sm，nmn|m|n|33，由图知由图知，二面角二面角 DABC 为锐角为锐角，二面角二面角 DABC 的余弦值为的余弦值为33.6.(高三高三湖北五校联考湖北五校联考)如图如图，在四棱锥在四棱锥 PABCD 中中，PA平平面面ABCD，ADBC，ADCD，且且 ADCD2 2，BC4 2，PA2.(1)求证：求证：ABPC；(2)在线段在线段 PD 上上，是否存在一点是否存在一点 M，使得二面角使得二面角 MACD 的大小为的大小为 45，如果存在如果存在，求求BM 与平面与平面 MAC 所成角的正弦值所成角的正弦值，如果不存在如果不存在，请说明理由请说明理由解：解：(1)证明：如图证明：如

15、图，由已知得四边形由已知得四边形 ABCD 是直角梯形是直角梯形，由由 ADCD2 2，BC4 2，可得可得 ABAC4，所以所以 BC2AB2AC2，所以所以BAC90，即即 ABAC，因为因为 PA平面平面 ABCD，所以所以 PAAB，又又 PAACA，所以所以 AB平面平面 PAC，所以所以 ABPC.(2)存在存在，理由如下：取理由如下：取 BC 的中点的中点 E，则则 AEBC，以以 A 为坐标原为坐标原点点，AE，AD，AP 所在直线为所在直线为 x 轴轴，y 轴轴，z 轴建立如图所示的空间直角轴建立如图所示的空间直角坐标系坐标系，则则 A(0,0,0)，C(2 2，2 2，0)

16、，D(0，2 2，0)，P(0，0,2)，B(2 2，2 2，0)，PD(0,2 2，2)，AC(2 2，2 2，0)设设PMt PD(0t1)，则点则点 M 的坐标为的坐标为(0,2 2t，22t)，所以所以AM(0,2 2t,22t)设平面设平面 MAC 的法向量是的法向量是 n(x，y，z)，则则n AC0，nAM0，即即2 2x2 2y0，2 2ty 22t z0，令令 x1，得得 y1，z2t1t，则则 n1，1，2t1t .又又 m(0,0,1)是平面是平面 ACD 的一个法向量的一个法向量，所以所以|cosm，n|mn|m|n|2tt1|22tt1222，解得解得 t12，即点即点 M 是线段是线段 PD 的中点的中点此时平面此时平面 MAC 的一个法向量的一个法向量 n(1，1， 2)，又又BM(2 2，3 2，1)设设 BM 与平面与平面 MAC 所成的角为所成的角为，则则 sin |cosn， BM|4 223 32 69.故故 BM 与平面与平面 MAC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为2 69.