受弯构件的正截面受弯承载力

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1、第四章受弯构件的正截面受弯承载力授课学时：10学时学习目的和要求1. 深入理解受弯构件正截面的三个受力阶段及截面应力、应变分布，配筋率对梁正截面破坏形态的影响。2. 掌握正截面受弯承载力的一般计算方法和基本假定；理解等效矩形应力图， 界限相对受压区高度，最大和最小配筋率的概念。3. 熟练掌握单筋矩形截面、双筋矩形截面和T形截面正截面承载力的配筋计算方法、适用条件和构造要求；理解受弯构件截面构造要求。教学重点及难点本章的重点是：适筋梁的三个受力阶段，配筋率对梁正截面破坏形态的影响以及正截面受弯承载力的截面应力计算图形；单筋矩形截面、双筋矩形截面和T形截面受弯构件正截面承载力的计算。上述重点也是本

2、章的难点。4.1 梁、板的一般构造受弯构件主要是指各种类型的梁与板，它们是土木工程中用得最普遍的构件。与构件的计算轴线相垂直的截面称为正截面。梁、板正截面受弯承载力计算就是从满足承载能力极限状态出发的，即要求满足MMa4. 1. 1截面形状与尺寸1.截面形状梁、板常用矩形、T形、I字形、槽形、空心板和倒 L形梁等对称和不对称截面，如图*fiK普神(AMR2 梁、板的截面尺寸现浇梁、板的截面尺寸宜按下述采用:(1)梁的高宽比h/b:矩形截面：2.03.5; T形截面:2.5 4.0。(2)梁的高度800mm以下的级差为50mm ,采用 h=250, 300, 350, 750, 800, 900

3、, 1000mm 等尺寸。以上的为100mm。(3)现浇板的宽度一般较大，设计时可取单位宽度(b=1000mm)进行计算。其厚度除应满足各项功能要求外，尚应满足下表的要求。现浇朝期混凝土扳的垠小摩屋(mm )驗第奂別* *4 A K嗣匡用空杭楼扳工砂奄僕*転阳打年遗7tt*Sso犁冉抵80e 艄阖鉅小于泉尊于760谥肋蔺庖真于7C0mm50植旳肯氏度小于连第于 轴曲河60転的眾度戏于5(X血ififlo无般樓握1闕4.1.2材料选择与一般构造1 混凝土强度等级梁、板常用的混凝土强度等级是C20, C30, C40。由下述可知，提高混凝土强度等级对增大受弯构件正截面受弯承载力的作用 不显著。2钢

4、筋强度等级及常用直径（1）梁的钢筋强度等级和常用直径1）梁内纵向受力钢筋ao O 0 A pb C梁中纵向受力钢筋宜采用HRB400级或UW*t 保护 a25n淨更保护层及育效高度RRB400级（川级）和 HRB335级（H级）常用直径为12mm25mm。根数最好不少于 3 （或4）根。设计中若采用两种不同直径的钢 筋，钢筋直径相差至少 2mm以便于在施工中能用肉眼识别。2）梁的箍筋宜采用 HPB235级、HRB335和HRB400级钢筋，常用直径是 6mm, 8mm 和 10mm。（2）板的钢筋强度等级及常用直径：板内钢筋一般有纵向受拉钢筋与分布钢筋两种。1）板的受力钢筋板的纵向受拉钢筋常用

5、 HPB235级、HRB335级和HRB400级钢筋，常用直径是 6mm、8mm、10mm和12mm，其中现浇板的板面钢筋直径不宜小于8mm，如下图所示。板的配筋钢筋的间距一般为(70200)mm ;当板厚h 150mm，不宜大于 1.5h,且不应大于 250mm。2)板的分布钢筋当按单向板设计时，除沿受力方向布置受力钢筋外，还应在垂直受力方向布置分布钢筋。分布钢筋宜采用 HPB235级和HRB335级级的钢筋，常用直径是6mm和8mm。单位长度上 分布钢筋的截面面积不应小于单位宽度上受力钢筋截面面积的15%，分布钢筋的间距不宜大于250mm，直径不宜小于6mm。温度变化较大或集中荷载较大时，

6、分布钢筋的截面面积 应适当增加，其间距不宜大于200mm。(3) 纵向钢筋在梁、板截面内的布置要求当按单向板设计时，除沿受力方向布置受力钢筋外，还应在垂直受力方向布置分布钢筋。分布钢筋宜采用 HPB235级和HRB335级的钢筋，常用直径是6mm和8mm。单位长度上分 布钢筋的截面面积不应小于单位宽度上受力钢筋截面面积的15 %，分布钢筋的间距不宜大于250mm，直径不宜小于 6mm。(4) 纵向受拉钢筋的配筋百分率用p表示，或简称配筋率，用百分数来计量，即厶bh3混凝土保护层厚度纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离，称为混凝土保护层厚度，用c表示。4. 2受弯构件正截面受弯的受力全过程4

7、.2.1适筋梁正截面受弯的三个受力阶段1 适筋梁正截面受弯承载力的实验纵向受拉钢筋配筋率比较适当的正截面称为适筋截面，具有适筋截面的梁叫适筋梁。影响钢筋混凝土正截面承载力的因素较多，如混凝土强度等级、截面尺寸及纵向钢筋配筋率等。皿一护齟（1）第I阶段：混凝土开裂前的未裂阶段a.当受拉边缘的拉应变达到混凝土极限拉应变时（t tu ）,为截面即将开裂的临界状态（I a状态），此时的弯矩值称为开裂弯矩cr ob. 从开始加荷到受拉区混凝土开裂，梁的整个截面均参加受力。（2）第n阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段a. 在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其开裂前承担的拉力将转移给钢筋 承担

8、，导致钢筋应力有一突然增加（应力重分布），这使中和轴比开裂前有较大上移。b. 随着荷载增加，受拉区不断出现一些裂缝，拉区混凝土逐步退出工作，截面抗弯刚 度降低，荷载一挠度曲线或弯矩一一曲率曲线有明显的转折。c. 虽然受拉区有许多裂缝，但如果纵向应变的量测标距有足够的长度（跨过几条裂缝） 则平均应变沿截面高度的分布近似直线。（平截面假定）d. 荷载继续增加，钢筋拉应力、挠度变形不断增大，裂缝宽度也不断开展，但中和轴 位置没有显著变化。e. 由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力 图形逐渐呈曲线分布。（3）第川阶段：钢筋开始屈服至截面破坏的破坏阶段a.对于配筋合适

9、的梁，钢筋应力达到屈服时，受压区混凝土一般尚未压坏。（一二钢筋温凝土架工作的三个阶段b.在该阶段，钢筋应力保持为屈服强度fy不变，即钢筋的总拉力 T保持定值，但钢筋应变&则急剧增大，裂缝显著开展。C.中和轴迅速上移，受压区高度Xn有较大减少。d. 由于受压区混凝土的总压力 C与钢筋的总拉力 T应保持平衡，即T=C,受压区高度 增大，混凝土受压的塑性特征表现的更为充分。e. 受压区高度xn的减少使得钢筋拉力 T与混凝土压力 C之间的力臂有所增大， 截面弯 矩也略有增加。f 由于混凝土受压具有很长的下降段，因此梁的变形可持续较长，但有一个最大弯矩Mu。g. 超过Mu后，承载力将有所降低，直至压区混

10、凝土压酥。Mu称为极限弯矩，此时的受压边缘混凝土的压应变称为极限压应变血，对应截面受力状态为“川 a状态”。h. 妙约在0.0030.005范围，超过该应变值，压区混凝土即开始压坏，表明梁达到极 限承载力。4.2.2 正截面受弯的三种破坏形态实验表明，由于纵向受拉钢筋配筋百分率的不同，受弯构件正截面受弯破坏形态有适筋破坏、 超筋破坏和少筋破坏三种， 如下图所示。 与这三种破坏形态的对应的梁称为适筋 梁、超筋梁和少筋梁。1. 适筋破坏形态当 minb 时发生适筋破坏形态，其特点是纵向受拉钢筋先屈服，受压区混凝土随后压碎。这里 min 、 b 分别为纵向受拉钢筋的最小配筋率、界限配筋率。适筋梁的破

11、坏 特点是破坏始自受拉区钢筋的屈服。 在梁完全破坏以前， 它将给人以明显的破坏预兆， 属于 延性破坏类型。2. 超筋破坏形态故属于脆性破坏类型。 超筋当b 时发生超筋破坏形态， 其特点是混凝土受压区先压碎， 纵向受拉钢筋不屈服。在没有明显预兆的情况下由于受压区混凝土被压碎而突然破坏，梁虽配置过多的受拉钢筋， 但由于梁破坏时其应力低于屈服强度，不能充分发挥作用， 造成钢材的浪费。这不仅不经济，且破坏前没有预兆，故设计中不允许采用超筋梁。3. 少筋破坏形态当min时发生少筋破坏形态，其特点是受拉区混凝土一裂就坏。少筋梁的破坏特点是梁破坏时的极限弯矩Mu小于开裂弯矩 Mcr。当Mcr Mu=0时，配

12、筋率就是适筋梁最小配筋率 min的理论值。在这种特定配筋情况下，梁一旦开裂钢筋应力立即达到屈服强度。适筋梁和超筋梁破坏的差异在于：前者破坏始自受拉钢筋；后者则始自受压区混凝土。显然，总会有一个界限配筋率b，这时钢筋应力到达屈服强度的同时受压区边缘纤维应变也恰好到达混凝土受弯时极限压应变值。这种破坏形态叫“界限破坏”，即适筋梁与超筋梁的界限。梁的配筋应满足minb的要求。4. 3正截面受弯承载力计算原理4. 3. 1正截面承载力计算的基本假定混凝土设计规范规定，包括受弯构件在内的各种混凝土构件的正截面承载力应按下 列四个基本假定进行计算：1.截面应变保持平面2不考虑混凝土的抗拉强度3混凝土受压的

13、应力与压应变关系曲线按下列规定取用:4纵向钢筋的应力一应变关系方程为纵向钢筋的极限拉应变取为0.01。432受压区混凝土的压应力的合力及其作用点当混凝土强度等级为 C50 及以下时，截面受压区边缘达到了混凝土的极限压应变值=0.0033。由此可知仅与混凝土受压应力一应变曲线和“凝土极限压应变眈有关，分别记作。系数ki和k2,只取决于混凝土受压应力一应变曲线形状， 而与截面尺寸和配筋量无关， 因此称为混凝土受压应力应变曲线系数。 对于混凝土设计规范 给定的混凝土受压应力-应变曲线式和参数式，系数ki和k2见上表。433 等效矩形应力图当达到受弯承载力设计值 Mu时，合力C和作用位置yc仅与混凝土

14、应力-应变曲线形状 及受压区高度xc有关，而在 Mu的计算中也仅需知道 C的大小和作用位置 yc就足够了。因 此，为了简化计算， 可取等效矩形应力图形来代换受压区混凝土的理论应力图形，如下图所 示。两个图形的等效条件是：1）混凝土压应力的合力 C 大小相等；2）两图形中受压区合力 C 的作用点不变。设等效矩形应力图的应力值为a fc,高度为x,则按等效条件，得可见系数a和0也仅与混凝土应力-应变曲线有关，称为等效矩形应力图形系数。系数0是混凝土受压区高度x与中和轴高度 xc的比值。0的取值为，当fcu,k小于等于50N/mm2时，0取为0.8，当fcu,k =80N/mm2时，0取为0.74，

15、其间按直线内插法取用。 a和0的取值，见下表：由上表知，混凝土强度等级小于等于C50的，其ai =1.0 , 0=0.8。采用等效矩形应力图，受弯承载力设计值的计算公式可写成：等效矩形应力图受压区高度x与截面有效高度ho的比值记为称为相对受压区高度。则上式可写成：cu，截面破坏。如右图所示，设钢筋开始屈服时4. 3. 4适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率如前节所述，适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”，即在受拉纵筋屈服的同时，混 凝土受压边缘纤维也达到其极限压应变值应变为y，则yEs此处Es为钢筋的弹性模量。式中ho截面有效高度；Xb界限受压区高度；C50fy纵向钢筋的抗拉强度设计值；&u非均匀

16、受压时混凝土极限压应变值，按式(4-7)计算，混凝土强度等级不大于时，銚=0.0033。由前式算得的 b值见下表。当相对受压区高度b 时，属于超筋梁。当b时，属于界限情况，与此对应的纵向受拉钢筋的配筋率，称为界限配筋率,记作b，此时考虑截面上力的平衡条件，在前式中，以Xb代替x，则有这里 b 等的下角 b 表示界限 (bound)4. 3 5适筋梁与少筋梁的界限及最小配筋率 pmin少筋破坏的特点是一裂就坏， 所以从理论上讲， 纵向受拉钢筋的最小配筋率际应是这样确定的：按川a阶段计算钢筋混凝土受弯构件正截面受弯承载力与按Ia阶段计算的素混凝土受弯构件正截面受弯承载力两者相等。 但是， 考虑到混

17、凝土抗拉强度的离散性， 以及收缩 等因素的影响，所以在实用上，最小配筋率Pmin往往是根据传统经验得出的。规范规定的最 小配筋率值见附表。为了防止梁“一裂即坏”，适筋梁的配筋率应大于Pmin。我国混凝土设计规范规定:(1) 受弯构件、偏心受拉、轴心受拉构件，其一侧纵向受拉钢筋的配筋百分率不应小 于0.2%和45卫中的较大值。fy(2) 卧置于地基上的混凝土板，板的受拉钢筋的最小配筋百分率可适当降低，但不应小于0.15%。4. 4单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算4. 4. 1基本计算公式及适用条件单筋矩压戡面竟哲构件正截面丞載力计篡直團1 基本计算公式单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算

18、简图如右图所示。根据静力平衡条件，由力的平衡条件,水平轴方向合力为零刀 x=0 ,可得或对受压区混凝土合力作用点取矩刀Mc=0，可得2、适用条件442 截面承载力计算的两类问题两类问题：1、截面设计2、截面复核1、截面设计首先令正截面弯矩设计值 M 与受弯承载力设计值 Mu 相等，即 M=M u。 截面设计时，通常遇到的情形：已知 M 、混凝土强度等级及钢筋强度等级、构件截面尺寸b和h,求所需的受拉钢筋截面面积As。设计步骤：（ 1）根据环境类别几混凝土强度等级,由附表查得混凝土保护层最小厚度,从而假定as,得ho。一般取：梁的纵向受力钢筋按一排布置时,as=35mm ；梁的纵向受力钢筋按二排

19、布置时,as=60mm；对于板,则 as=20mm 。（3） 验算适用条件（1）,要求满足b。若b，则要加大截面尺寸，或提高混凝土强度等级、或改用双筋矩形截面重新计算；（4） 解得 As-Lfcbhofy（5） 验算适用条件（2），要求满足min。若不满足，纵向受拉钢筋按min配置。2、截面复核已知M、b、h、As、混凝土强度等级及钢筋强度等级，求Mu。复核步骤:由佥计算（2）检验是否满足适用条件b，若 b按 b计算;（3）检验是否满足适用条件min，若不满足，则按 Asminbho配筋或修改截面重新设计;（4）求 Mu，由式（4-4-2）得Mu .fcbh； (10.5 )或 MufyAsh

20、0(1 0.5 )当MuM时，认为截面受弯承载力满足要求，否则认为不安全。但若Mu大于M过多,则认为该截面设计不经济。4. 4. 3正截面受弯承载力的计算系数与计算方法Y称为内力臂系数，代表力臂 z与ho的比值 。hoS与 和s之间存在对应的关系，因此可以将不同的s所对应的 和S计算出来，列成表格，这就是受弯构件正截面承载力的计算表格。设计时查用此表，可避免解二次 联立方程组，简化计算。2、利用计算表格的计算方法利用计算表格进行单筋矩形截面的截面设计和截面复核的计算框图见下图。45 双筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算451 概 述双筋矩形截面受弯构件是指在截面的受拉区和受压区都配有纵向受

21、拉钢筋的矩形截面 梁。一般的，利用受压钢筋来帮助混凝土承受压力是不经济的，所以应尽量少用， 只在以下 情况下采用：（1）弯矩很大，按单筋矩形截面计算所得的b ，而梁的截面尺寸和混凝土的强度等级受到限制时。（ 2）梁在不同荷载组合下（如地震）承受交变弯矩的作用。当然双筋矩形截面受弯构件中的受压钢筋对截面的延性、抗裂性和变形等是有利的。双筋矩形截面梁与单试验表明双筋矩形截面破坏时的受力特点与单筋矩形截面的类似， 筋矩形截面梁的区别在于受压区配有纵向受压钢筋， 因此只要掌握梁破坏时纵向受压钢筋的 受力情况，就可与单筋矩形截面类似建立计算公式。452 基本公式及适用条件由上图可知其含义为受压钢筋位置应

22、不低于矩形应力图中受压区的重心。 若不满足上式规定， 则表 明受压钢筋离中和轴太近，受压钢筋的压应变s过小，致使 s达不到fy/。另外，按规范规定，双筋矩形截面梁的箍筋应做成封闭式，其间距不应大于15d（d 为受压钢筋的最小直径）。否则纵向受压钢筋可能被压曲而向外凸起， 造成保护层剥落甚至使受压混凝土过早发 生脆性破坏。1）基本公式2）适用条件值得注意的是，按上式求得的As可能比不考虑受压钢筋而按单筋矩形截面计算的As还大，这时应按单筋矩形截面的计算结果配筋。45 3 计算方法1、截面设计双筋矩形截面受弯构件正截面的截面设计中，一般是受拉、受压钢筋As和aS均未知，都需要确定。有时由于构造等原

23、因，受压钢筋截面面积As/ 已知，只要求确定受拉钢筋的截面面积 As 。首先令 M=Mu。情形1已知截面的弯矩设计值 M、混凝土强度等级及钢筋强度等级、构件截面尺寸b和h,求所需的受拉钢筋截面面积 As和受压钢筋截面面积 A。求解As、aS和x三个未知量，只有式（4-5-3）和式（4-5-4）两个基本计算公式，需 补充一个条件才能求解。在截面尺寸材料强度确定的情况下,引入（As+ As/ ）最小为优化解。一般情况下,取 f y fy/ ,由式（ 4-5-4）知对于HRB335、HRB400级钢筋以及常用的a h0值的情况下，由式（4-5-9）得根据适用条件，取b。对于HRP235级钢筋，在混凝

24、土强度等级小于C50时，若仍取b，则钢筋用量会略有增加，这时可取0.55。当取 b，得情形2：已知某截面弯矩设计值M、混凝土强度等级及钢筋强度等级、截面尺寸bx h以及受压钢筋截面面积 As/ ，求构件所需的受拉钢筋截面面积As。M 也分只有As和x两个未知数，利用前式即可直接求解。为避免联立求解，也可利用表格计 算。如上图，双筋矩形截面梁可分解成无混凝土的钢筋梁和单筋梁两部分，相应地解成两部分，即在 As2 的计算中应注意验算适用条件是否满足。若b （或sb ），说明给定求截面弯矩设计值 M 求正截面受弯承载力u。以及受拉钢筋As和受压钢筋aS ,的A不足，应按情形1重新计算As和A ；若求

25、得的x 2aS，应按式（4-5-5 ）计算受拉钢筋截面面积 As 。2、截面复核已知截面尺寸bx h、混凝土强度等级及钢筋强度等级,复核步骤：确定x，若2aS xbh。，则代入前式确定截面弯矩承载力Mu；若 x2as ，则按式（ 4-5-5）确定 Mu；若xbho，则取b，确定Mu；将截面弯矩承载力 Mu与截面弯矩设计值 M进行比较，若 MuM，则说明截面承载力足够，构件安全；反之，若 Muv M，则说明截面承载力不够，构件不安全，需采取适当的措施来解决。46 T 形截面受弯构件正截面受弯承载力计算4.6.1 概述与原矩形截面相比， T 形截面的极限承载能力不受影响，还能节省混凝土，减轻构件自

26、重。 翼缘宽度对截面受力性能有影响，但影响范围有限。独立T形梁：设计翼缘的计算宽度 bf,假定在bf范围内压应力均匀分布； 现浇T形梁:取翼缘计算宽度 bf/ 进行计算。T形和倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度 bf如右图。4. 6. 2计算公式及适用条件T形截面类型及判别条件：第I类T形截面：中和轴在翼缘内，即X hf ；第n类T形截面：中和轴在梁肋内，即x hf。463 计算方法T 形截面受弯构件计算框图截面选择本章要点1钢筋混凝土梁由于配筋率不同，有超筋梁、少筋梁和适筋梁三种破坏形态，其中超 筋梁和少筋梁在设计中不能采用。II阶段末2适筋梁的破坏经历三个阶段。第I 阶段末 Ia 为受弯构件抗裂度的计算依据。第阶段是一般钢筋混凝土受弯构件的使用阶段， 是裂缝宽度和变形的计算依据。 第 III 川a是受弯构件正截面承载力的计算依据。3计算受弯构件正截面承载力时，混凝土的压应力图形以等效矩形应力图形代替。4受弯构件分为单筋矩形截面、 双筋矩形截面和 T 形截面。 三种截面的截面选择和截 面校核的方法及步骤见各框图所示。5在绘制施工图时，钢筋直径、净距、保护层、锚固长度等应符合规范有关构造 规定。