不可约多项式的判定及应用黄嘉盛DOC

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1、1不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. .本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有EisensteinEisenstein 判别法、KroneckerKronecker 判别法、PerronPerron 判别法、BrowmBrowm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设 P 是一个数域，对于Plx 1中任意两个多项

2、式f(x)与g(x)，其中g(x) = 0， 一定有Plx中的多项式q(x)，r(x)存在，使得f(x)二q(x)g(x) r(x)成立，其中：(r(x)： ：(g(x)或者r(x)=0，并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。定义 2.1 数域 P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域 P 上的多 项式h(x)使等式f(x)=g(x)h(x)成立，我们用“3(x)|f(x)”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x)”表示g(x)不能整除f (x)。定理 2.1 对于数域 P 上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x) =0,g(x)|f (x)的充2分必要条件是

3、g(x)除f (x)的余式为零。证明:如果r(x)= 0 那么f(x)=q(x)g(x),即g(x)|f (x)。反过来，如果g(x)|f(x)，那么f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0, 即卩r(x)= 0。注 1:带余除法中g(x)必须不为零。下面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果f(x)|g(x),g(x)|f (x)，那么f(x)=cg(x)，其中c为非零常数。(2)如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，那么f(x)|h(x)(整除的传递性)。(3)f(x)|g(x),f(x)|g(x) i =1,2, ,r，那么f(x)|uOgx) u(x)g2(x)y(x)gr

4、(x)，其中Ui(x)是数域 P 上任意多项式。22本原多项式若是一个整系数多项式f (x)的系数互素， 那么f (x)叫做一个本原多项式。2.3 有理数域上多项式的等价设g(x)有理数域上的一个多项式， 若g(x)的系数不全是整数，那么以g(x)系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。显然，多项式g(x)与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。2.4 多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘 积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可 再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数

5、域而言， 有例如下把x-9进行分解，可分解为x9=x23X2_33但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为X49 = X23 x 、一3 x而在复数域上，还可以再进一步分解为X4-9 = x , 3i x- 3T x ,3 x-、3由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P 作为系数域，数域 P 上多项环PX中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义 2.4.1 数域 P 上的次数-1 的多项式p(x)称为域 P 上的不可约多项式，如果它不能表示成数域 P 上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。我们要谈的多项式的不可约

6、性问题的相关事实如下(1) 一次多项式总是不可约多项式；(2) 一个多项式是否不可约是依赖于系数域的；(3) 不可约多项式p(x)与任一多项式f (x)之间只能是有两种关系，或者p(x)|f(x)或者p(x), f (x) =1，事实上,如果p(x), f(X)i=d(x)，那么d(x)或者是 1， 或者是cp(x)(c=O)，当d(x)=cp(x)时，就有p(x) | f (x)。12.5 有理数域上不可约多项式的定义如果f (x)是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积，则f(x)称为有理数域上的不可约多项式。3.有理数域上不可约多项式的判定方法3.

7、1 Eisensteir 判别法在高等代数中，Eisenstein 判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数4域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出 了许多不同的方法。3.1.1 直接判别法2定理 3 1 1 设f (x)二anxn-a0是一个整系数多项式，其中n_1，设存在一一 个素数P，使得P不整除an，p整除ai(i n)但p2不整除a。，那么多项式f(x)在有理数域上不可约。3.1.2 间接判别法对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein 判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定 义法去判定。我们

8、所学的也只有 Eisenstein 判别法，但不能直接运用。考虑到 多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x=ay b，这样产生了 Eisenstein 判别法的间接判别法。定理 3.1.2 有理系数多项式f (x)在有理数域上不可约的充分必要条件是：对于任意的有理数a = 0和b，多项式f (ax b)在有理数域上不可约。例 1 证明f ( x)= x在 Q 上不可约。证明：f (x 1) = (x 1)41 = x44x36x24x 2取p=2，则p不整除 1，p整除 4,6,2,p2不整除 2由 Eisenstein 判别法知f (x 1)在 Q 上不可约，因此f (x)在 Q 上不可

9、约。3.1.3 其他派生出的判别法这种由 Eisenstein 判别法派生出的方法与 Eisenstein 判别法相类似，能够 用来判定 Eisenstein 判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。定理 3.1.3 设f (x) =anXn an4Xn亠亠ax a是一个整系数多项式，如果存5在一个素数P，使P整除常数项ao但整除其他各项系数且p2不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。例 2 下列多项式在有理数域上是否可约？x21；(2)x4-8x312x22；(3)x6x31(4)xppx 1，p为奇素数；(5)x4- 4kx 1，k为整数.解:(1)令x = y 1，则

10、有g(y) =f(y 1) = (y 1)2仁y22y 2取素数p=2,由于 2 1,2 | 2,但是222 故由 Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理 数上不可约，从而f (x)=x21在有理数域上也不可约。(2)取素数p=2,则 2 1,2 | -8,2 | 12 但是222 故由 Eisenstein 判别法可知，该多 项式在有理数域上也不可约。令x =y 1，代入f (x)=x6x31，得g(y) = f (y 1) = y66y515y421y318y29y 3取素数p=3。由于 3 1,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是3

11、23,故由Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f (x)在有理数域上也不可 约。令X =y -1，代入f (x)=xppx 1,得g(y)=f(y_1)=yp_C；ypeV- - C汇/P丫 -P由于p是素数，且p |1,p|cp,(i =1,2,，P-2)p|(cp，+p)p21 p，故由 Eisenstein判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f (x)在有理数域上也不可约。(5)令x二y 1，代入f (x)=x44kx 1,得6g(y) = f(y 1) = y44y36y2(4k 4)y 4k 27取素数p=2,由于 2 1,又 2 | 4,2 | 6

12、,2|(4k+4) , 2 | (4k+2)，但22(4k+2)，故由Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f(x)在有理数域上也不可 约。3.2 Kronerker 判别法2定理 3.2.1 设f(x) Qx 1，这里Q为有理数域。则在有限步下f(x)能分解成不 可约多项式的乘积。(只考虑整系数多项式的情形)例 3 证明f (x) = x51在Q上不可约。5证明：s = 2取a。-1,ai=,0, a2= 1，2则f(-1) =0, f(0) =1,f(1) =2f(-1)=0, f(0) =1, f(1)=2从而f(-1 )的因子是 0，f(0)的因子是 1，f

13、(1)的因子是 1,故令g(-1)=0,g(0) =1,g(1)=1;g(1) = 0,g(0) =0,g(1) = 2应用插值多项式:可约。3.3 Perron 判别法gdx)g2(x)(x1)(x-1)(x1)(x-0)12=0(X2_X_2)(0 1)(0-1)(11)(1-0)2=0十(x+1)(x-1)十2(x + 1)(x_0)十(0 1)(0 -1)(1 1)(1-0)由带余除法可知,gdx)不整除f (x)，g2(x)不整除f (x)，所以f (x)在 Q 上不8 an2 an/XnJ o),a = 0是多项式|an|1 land|anJ卡| |a|，则f(x)在 Q 上不可约

14、。例 4 证明f(x) =x5- 4x4- x21在 Q 上不可约证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足Perron判别法的条件，由题意可知4.11，所以据 Perron 判别法可知该多项式在 Q 上不可约。3.4 Brown 判别法定理 3.4.1 设f(x)是n次整系数多项式，令S(f)-|f(-1)|,|f(O)|,f(1) 汕表示S(f)中 1 的个数，Np表示S( f)中的素数的个数，如果Np2N,n 4， 则f(x)在 Q 上不可约。例 5 证明f (x) =2x3-x2 x -1在 Q 上不可约证明:f(0) - -1, f=1, f(-1) 5, f(2) =

15、13, f(-2) - -23, f(3)= 47.Np_4,N1一2故Np2N1一8 _4 3所以多项式在 Q 上不可约。3.5 多项式无有理因式判别法7定理 3.5.1 设f(x)=a0yx亠亠anxn是一个整系数多项式，若f (x)没有次数 小于和等于r的有理因式，并且存在素数p，使：(1)p至少不整除an, an 4,an#中的一个(2)p |a,i =0,1,2,n -r -1定理 3.3.1 设f(x)=xn9(3)p2|a那么，f (x)在有理数域上不可约。定理 3 5 2 设f(x)axanXn是一个整系数多项式，若f (x)没有次数小于和等于r的有理因式，并且存在素数p，使：

16、(1)p至少不整除冼,印，,中的一个(2)p|ai =r 1, r 2, n(3)p2| an那么，f (x)在有理数域上不可约。这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时，因为其需要计算机计算来得到，所以在此种情况下，没有克罗奈克的方法更加的简便。3.6 模p约化处理判定法定理 3.6.1f(x)二a0ex爲爲anxnZx(an= 0,n _ 2)，p是 素数，p | anip |ao,ai,an，p2| a。，p | a.-b，其中b |，则f(x)在Qx中不可约。p定 理 3 6 2f (x)二a0 exanxn Zx(an= 0, n _ 2)，p是 素数，p |印，p | a2,

17、a3, ,an, p2| a., p | ai-b，其中b|a，则f(x)在Qx中不可约。p定 理 3 6 3f (x) =a0 ex亠亠anxn Zx(an= 0, n _ 2)，p是 素数，p | 6(0：j：n), p|a,ai, 41,佝，p2| a。, p | ai-b其中b|V，贝Uf(x)在Qxp中不可约。定 理 3 6 4f (x)二a0 a/ anxn Zx(an= 0, n - 3),p是 素数，101勻兰n 2, p |a,a+ p|a,ai,耳4七，耳七，,a., p2|a,an, p | q b,a“b, 其 中b|睥,f(x)无理想根，则f(x)在Qx中不可约。P例

18、 6 判断以下多项式在Qx中是否可约：(1) fi(x) =5xn7xn，-22(n一2);(2) f2(x) =7xn2000 x57(n一6);(3) f3(x)二5 97x992008x1005xn(n 100).解：(1)11|务=7,11心0,和，an,112|a= -22,11|7-b其中b|5(j2)= 10，由定理 2 5 1,fi(x)在Qx中不可约.11(2)7 | a2007,7|a0,a1,a2,a3,a4,a6,a7,an,72| 2000-b其中b|a0an=1，由定理 2 5 3,f2(x)在Qx中不可约 (3)5 | a?=97,気0=2008, 5 整除其余各

19、项系数，52| a。=5 =5,5 |97 -b,2008 -b，其中?？=1，因为fs(x)的系数全为正数,5所以f3(x)的有理根只可能为负数，设v,(u,v)=1,u 0,v t右存在素数p便得(1)P| an 1, an 2,；a2n(2)p2|a,a0, ,an(3)P | a2n 1(4)P3|a。11那么，f (x)在有理数域上不可约。4.2 系数为 1 的不可约多项式的判定10n定理 4 2 1 已知fn(x)八，y(n. N,n_2)是系数为 1 的多项式。当n为奇数时，i卫fn(x)在Qx上可约；当n为偶数时，如果为合数，fn(x)在Qx上可约，如果n 1为素数，fn(X)

20、在Qx上不可约。n推论 4 2 2 已知fn(x)工嘉(-1)仝(n N,n_2)是系数在Q的多项式。当n为奇数i 30时，fn(x)在Qx上可约；当n为偶数时，如果n1为合数，fn(x)在Qx上可约， 如果n 1为素数，fn(x)在Qx上不可约。n推论 4 2 3 已知fn(x)=v xki( nN, n_ 2,k 为正整数)是系数在Q的多项式。当n为i =0奇数时，fn(x)在Qx上可约；当n为偶数时，如果n1为合数，fn(x)在Qx上可 约。5 不可约多项式的应用5 1 不可约多项式在重因式中的应用定义 5 1 1 不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式，如果pk(x)|f(x

21、)， 而pk1(x)|f(x)。如果k =0，那么根本不是f (x)的因式；如果k=1，那么称为f(x)的单因素；如果k 1，那么称为f(x)的重因式。如果f (x)的标准分解式为f(x)二 cpr(x)P2r2(x) Psrs(x)712那么p(x), P2,(x),Pr(x)分别是f (x)的ri重，2重，s重因式。定理 5 1 2 如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k_1)，那么它是微商f(x)的k-1重因式。推论 5 1 3 如果不可约多项式p(x)是f(x)的重因式，那么p(x)是f(x), f(x), , f(kl)(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式。推论 5 1

22、 4 不可约多项式P(x)是f (x)的重因式的充分必要条件为P(x)是f(x)与f(x)的公因式。作为重因式的概念定义的基础，不可约多项式的应用从此可见一斑。5 2 不可约多项式在多项式互素中的应用定理 5 2 1Px中两个多项式f(x),g(x)互素的充要条件是有Px中的多项式u(x),v(x)使u(x) f (x) v(x)g(x) =1。定理 5 2 2 如果(f (x), g(x) =1,且f(x)|g(x)h(x)，那么f(x) | h(x)。例 7 证明：如果f(x),g(x) =1,f(x),h(x) =1，那么f (x),g(x)h(x) =1.解：假设f(x),g(x)h(

23、x) =1，则一定存在不可约多项式p(x): p(x) 0使得p(x)|f (x)和p(x)|g(x)h(x)又因为p(x)不可约，则有p(x)|g(x)或p(x)|h(x)13这样f(x),g(x) -1或f(x),h(x) -1，与条件矛盾。所以f (x),g(x)h(x)=1.例 8 设fi(x),，fm(x),gi(x),，gn(x)都是多项式，而且fi(x),gj(x)=1 i =1,2,m; j =1,2, ,n。求证：fi(x), f2(x), fm(x),gi(x),g2, ,gn(x) i=1。解：假设fi(x), f2(x), fm(x), gi(x), g2,gn(x)

24、-1,则存在不可约多项式p(x); p(x) 0，使得p(x)|fi(x), f2(x), , fm(x)和P(X)|gi(x),g2(x), gn(x)又因为p(x)不可约，故存在i, j，使得p(x)| fi(x),p(x)|gj(x)则有fi(x),gj(x) =i这与条件矛盾，故8fi(x), f2(X), ,fm(x),gi(x),g2, ,gn(x) =i.例 9 证明：如果f(x),g(x) =i，那么f(x)g(x), f(x) g(x) =i。解：假设f (x)g(x), f(x) g(x) -i，则存在不可约多项式p(x)：p(x) 0使得p(x)| f (x)g(x)和p

25、(x)|f(x) g(x)又因为p(x)不可约，则有p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。不妨设p(x)|f(x)，由p(x)|f (x)和p(x) | f (x) g(x)可得：p(x)|g(x)所以,p(x)|f(x),p(x)|g(x)同时成立，即：f(x),g(x) -i这与条件矛盾，故有f (x)g(x), f(x) g(x) =i。iii26.结论本文通过相关资料的收集与整理，对有理数域上不可约多项式的判定方法做 了整理和归纳。对一般的多项式给出了克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦（Eisenstein 判别法、Perron 判别法、Brown 判别法、没有有理因式的

26、判别法、模p约化判别法（p为素数）。其中艾森斯坦（Eisenstein 判别法是最为经典实用的 方法，也是现行课本中的判别法。但有其一定的局限性。对于克罗内克（Kronecker）判别法，其大多依赖于计算机，实用不大。Perron 判别法和 Brown判别法为国外引进方法，我国数学学者在其有一定的研究基础。模P约化判别法 （p为素数）是我国提出来的应用抽象代数知识对多项式进行模p约化处理，再研究多项式的性质而得到的有理数域上不可约多项式的判定方法。 在实际应用这 些方法时，应根据题意选择判别法。有理数域上不可约多项式的判定方法及分 类是一个具有挑战性的课题。一直以来，不乏学者对多项式的不可约性做过深 入的研究。但总的来说，暂时没有一个较为系统的介绍，其发展还不是很完善。 即使现在有理数域上不可约多项式的判定已有很多种方法，但还是期待着更加 简便，更加实用的方法出现，以致于能把不可约多项式进行分类。