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1、 1 1静安区20xx学年高三年级第一学期期末数学理试卷 （试卷满分150分 考试时间120分钟） 20xx.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1已知集合，则 .2（理）已知 ，则的值是 .3当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是 .4关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 .5（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 种. （结果用数值表示）6（理）不等式的解集是 .7若（其中、为有理数），则
2、.8（理）已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是 .9（理）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|2，|，若+（、R），则+的值为 .10设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为 .11（理）已知，且，则的值用表示为 .12（理）已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为 .13（理）若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为 .14（理）已知不等式的解集为，则 ，且的值为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案
3、的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15（理）“”是“直线与直线互相垂直”的 ( ) A充要条件；B充分不必要条件；C必要不充分条件；D既不充分也不必要条件.16已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( ) 命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题. 命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题. 命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A； B； C D17已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( ) A； B； C； D.18（理）已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同
4、的公共点，则实数的值是( ) A或； B0；C0或； D0或.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照九章算术中弧田
5、面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；（2）设为正数，且，求证：.21（理）(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知双曲线（其中）.（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求的面积.22(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设无穷数列的
6、首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）（1）求证：数列（）为等比数列；（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.23(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.（理）已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.20xx学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准 1； 2（理）； 34； 5 （理）；6（理）；7169； 8（
7、理） ； 9（理）12；10或. 11（理）；12（理）；13（理）；14（理）4；15（理）B ； 16A 17 C 18D19解：(1) 扇形半径， 2分 扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦矢+矢2）=.10分平方米 12分 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.20（理）（1）解法1：-=3分因为、是不全为零的实数，所以，即。 6分解法2：当时， ； 2分当时，作差：；又因为、是不全为零的实数，所以当时，。综上，。6分（2）证明：当时，取得等号3。 7分作差比较：0所以， 14分（文）证明：（1）
8、 3分 6分（2）由（1）得（）8分可得 10分 12分即. 14分21（理）（1）设点在双曲线上，由题意得：。由双曲线的性质，得。 1分（i）若，则当时，有最小值。最小值，所以。 3分（ii）若，则当时，有最小值，此时，解得。 6分（2），直线与轴垂直时，此时，的面积=. 7分直线与轴不垂直时，直线方程为， 8分设，解法1：将代入双曲线方程，整理得：，即 10分所以， 11分=.14分解法2：将代入双曲线方程，整理得：， 10分， 11分点到直线距离，的面积=.14分21文：（1）解法1：设直线方程为，代入双曲线方程得：，2分由得.设、两点坐标分别为、，则有；又由韦达定理知：，4分所以，即得
9、点的坐标所满足的方程.5分注：或，点的轨迹为两条不包括端点的射线.解法2：设、两点坐标分别为、，则有，两式相减得：（*）.2分又因为直线的斜率为2，所以，再由线段中点的坐标，得.4分代入（*）式即得点的坐标所满足的方程.5分（2），直线与轴垂直时，此时，的面积=. 6分直线与轴不垂直时，直线方程为， 7分设，解法1：将代入双曲线，整理得：，即 9分所以， 10分=. 13分所以，. 14分解法2：参见理科解法2。22（1）由已知，有，当时，；2分当时，有，两式相减，得，即，综上，故数列是公比为的等比数列； 4分（2）由（1）知，则，于是数列是公差的等差数列，即， 7分则 =10分（3）（理）由
10、解得：。 12分 14分，当时，函数的值域为。 16分（3）（文）不等式恒成立，即恒成立，又在上递减，则 14分 16分23（理）（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为。 4分（2）的定义域为， 5分 定义域关于原点对称，又， ，所以函数为奇函数。 6分下面讨论在上函数的增减性.任取、，设，令，则，所以因为，所以. 7分又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数. 8分又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数. 9分（3） ； 10分 因为，所以，。 11分设，时，则 ， 12分 且， 13分由二项式定理， 14分所以，从而。 18分 23（文）：（1） 4分（2）由（1），定义域为.5分讨论在上函数的单调性.任取、，设，令，则，所以因为，所以，所以. 7分又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是增函数. 8分又因为函数是奇函数，所以在上函数也是增函数. 9分（3）当时，要使的值域是，则，所以，即， 11分 而，上式化为，又，所以当时，；当时，； 13分 因而，欲使的值域是，必须，所以对上述不等式，当且仅当时成立，所以解得，. 18分sj.fjjy.orgsj.fjjy.org
新版上海市静安区高三上学期期末考试数学理试题含答案
