一元整式方程

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1、21.1 一元整式方程教学目标知识与技能：知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.过程与方法：经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.情感态度与价值观：通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.教学重点及难点重点:理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法.难点: 解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程中的分类讨论.教学流程设计教学过程设计一、 问题引入11思考根据下列问题列方程：（1） 买3本同样的练习

2、本共需12元钱，求练习本的单价；（2） 买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；（3） 一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这个正方形的边长；（4） 一个正方形的面积的b（b0）倍等于s（平方单位），求这个正方形的边长.说明 为了更好地使学生进行联系和比较已学过的一元一次和一元二次方程与含字母系数一元一次和一元二次方程，增加了（1）、（3）两个问题，也为解含字母的一元一次方程和一元二次方程埋下伏笔.2讨论你所列出的方程之间有什么区别和联系?二、 新课学习11、 归纳概念1在方程和中，是未知数;字母、是项的系数，是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数

3、的方程，这些字母叫做字母系数.（2）、（4）问题中的方程就分别是含字母系数的一元一次方程和一元二次方程.2讲解例题例题1 解下列关于的方程：(学生进行尝试性地类比解题)（1）（2）3、思考含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？4、结论含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.说明 通过学生自主尝试解含字母系数方程,充分暴露学生忽略等式性质中非零条件的限制及根判别式非负的要求，在分情况进行讨论的思维上的缺陷,教师再进行解释和引导,同时强调是在字母不能确定的时

4、候才需讨论,否则不必要,从而使学生对这一思想的认识更为清晰和牢固.三、问题引入2（1） 有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角上分别剪去大小一样的一个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小正方形的边长为分米，根据题意列方程；（2） 某厂2006年产值为100万元，计划到2010年产值增长到161.051万元.设每年的平均增长率为,根据题意列方程.说明 增加问题2是为了提供更多的素材，帮助学生寻找共性，感受概念，从而为接下去的归纳概念提供更多的直观认识.四、 新课学习2 1、 归纳概念2如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方

5、程;一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程;其中次数大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程.2讲解例题例题2 判断下列关于的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?五、 巩固练习课本练习21.1 1、2、3 六、课堂小结通过本堂课你有什么收获? 七、作业布置完成练习册21.1作业分层作业：金牌B卷33页5题教学反思：有字母系数的方程学生不会判断是否是整式方程，还有看起来有三次的方程，化简以后不一定是三次方程，学生有的没有理解清楚！21.2（1）特殊的高次方程的解法教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；过程与方法：

6、学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程.教学过程设计一、 情景引入 1复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) ； (3) ； (4) =3； (5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？（学生口述后，教师简单小结）二、学习新课 1概念辨析（1） 一元高次方程通

7、过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为 注 =0（a0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. 这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2例题分析试一试：（学生尝试，教师讲评）解下列简单的高次方程：（1）（2）（3）（4）分析 解一元n次（n2）次二项方程，可转化为求一个已

8、知数的n次方根.如果在实数范围内这个数的n次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.例1：利用计算器解方程（近似根保留三位小数）例2：利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）（1） （2）（3）（4）思考：解二项方程 （学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.当n为偶数时，如果ab0，那么方程没有实数根. 说明 在讲解书上例题前让学生先自主尝试求解一些简单的二项方程，让学生自己发现问题，学会自主探究.（1）、（2）两小题其实是复习数的开方，而（3）、（4）两题可以转化为（1）、（2）的形式，体现了从特殊到一般的数学思想. 三、巩固练习1判

9、断下列方程是不是二项方程：（1）； （2）；（3）； （4）.2利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）； （2）； （3）3利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）； （2）.四、课堂小结1什么是二项方程？ 2解二项方程的一般步骤是什么？五、作业布置练习册：习题21.2（1）分层作业：（1）解方程（2）在上述方程中，若y=x+1时，求x 的值.（3）解二项方程：教学反思：1二项方程是特殊的高次方程，本节课从一元高次方程的概念开始引入， 通过复习一元一次和一元二次方程的概念让学生自己体会和归纳出什么是一元高次方程和二项方程.在引入时不要急着给出概念，而是给学生一段时间去思考

10、，这样新知和旧知的衔接就能做到水到渠成.2本节课的设计充分利用了书本的教材，尊重教材、挖掘教材.在此基础上适当地对例题进行了一些改编，并给学生充分的思考时间，拥有发表意见的自由度，让他们体会知识的产生过程，使他们感受自主探究的快乐.3这节课的难点是把“整体”转化为“新”元的二项方程.在讲解书上例题时，适当降低了难度，把方程分为两个求解过程，实际是把换元的过程完整的呈现给学生，使他们加深印象.然后模仿这题的解题过程独立求解方程.这样有效的分解了教学的难点，使知识的掌握更扎实，更自然.、21.2（2）特殊的高次方程的解法 教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，

11、会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学用具准备学习单、多媒体设备教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.教学过程设计一、 情景引入 1复习请同学们解下列一元二次方程：(1) (2) （解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2思考：若令,则方程变形为（1），（2）如何求解上述方程？说明以前的教学中已经提及过换元法，经过前题中一元二次方程的求解的铺垫，大部分学生都能独立解决以上两题，并可以自然过渡到新课的讲解.3观察：

12、提问：以下哪些方程与，具有共同的特点？（1） （2）（3）（4） （5）这类方程有什么共同的特点？二、学习新课 1概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：（3）学生归纳：如何求解双二次方程？ 分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2例题分析 例4：解下列方程： （1） （2） 例5：解方程 分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把看作一个整体直接求解. 3问题拓展（1）自主探究： 不解方程，判断下列方程的根的个数：（组织学生分小组谈论，也可采用竞赛的形式）； ； .分析：令0,y1y20,y1

13、+y20 原方程有四个实数根.0,y1y20,y1+y20,y1y20, 原方程有两个实数根.0 原方程没有实数根.（2）学生归纳：你对双二次方程的根的个数有什么发现？当0时，如果y1y20且y1+y20，那么原方程有四个实数根；如果y1y20且y1+y20，那么原方程没有实数根.当0时，原方程没有实数根.说明因为双二次方程能转化为一元二次方程，所以判断双二次方程的根的个数问题实际上就转化为判断一元二次方程根的个数问题，学生就很容易联想到根的判别式，结合x2本身是个非负数，考虑在实数范围内解的情况.韦达定理在这里的应用是一个难点，可以更深刻地帮助学生理解双二次方程与一元二次方程的关系.三、巩固

14、练习挑战五颗星：解下列高次方程.（规则：学生选择相应的星级会得到相应的分值奖励；额外奖励：凡是做出五星级的同学可以免做回家作业.）：（1）x4+3x-10=0; (2) 3x4-2x2-1=0.：（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0; （2）（x2+x）2+（x2x）=2;（3）（6x2-7x）2-2（6x2-7x）=3;（4）(x2+x)2-5x2-5x=6.：（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ; （2）12x4-56x3+89x2-56x+12=0.解：观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为

15、倒数方程由 说明 本挑战的题目由学生自主选择，并不要求每位学生都能完成.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1解双二次方程的一般过程是什么？（1）换元；（2）解一元二次方程；（3） 回代.2如何判断双二次方程的根的个数？五、作业布置练习册：习题21.2（2）分层作业：解下列高次方程:（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;（3） x4-（a2+b2）x2a2b2=0;（4）（x2+8x12）26（x28x12）9=0.教学反思在例4、例5的学习之后，展开了对双二次方程的根的个数问题的探讨.这是本节课的难点，课堂上应给予学生充足的思考时间、

16、自由的讨论和发言空间，使学生站在一个新的高度来认识所学内容，培养了学生探求、归纳、总结等认识客观世界的认知方法.21.2（3）特殊的高次方程的解法教学目标知识与技能：根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程.过程与方法：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学过程设计一、 情景引入 1复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：x2-4x+3； x4-4；x3-2x2-15x； x4-6x2+5；（x2-x）2-4（x2-x）-12.教师指出：在分解、题时，应利用换元的思想，分别把x2 和x2-x看成y，于是就有y2-6y+5和y2-4y

17、-12.从而把四次多项式转化为二次三项式，使问题易于解决.（2）提问：解二项方程的基本方法是什么？（开方）解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的.2观察：（1）若令x2-4x+3； x4-4；x3-2x2-15x； x4-6x2+5；（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？（2）这些高次方程如何求解？分析：后面四个都是高次方程，x4-4=0是二项方程，利用开方法求解；、都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而x3-2x2-15x=0则是利用因式分解法降次.所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转

18、化成一元一次方程或一元二次方程.二、学习新课1例题分析例6 解下列方程 （1）5x3=4x2； （2）2x3+x2-6x=0.说明 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程 （1）x3-5x2+x-5=0； （2）x3-6=x-6x2.2问题拓展（1）解方程 x3-2x2-4x8=0解 原方程可变形为x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0所以 x1x22，x3=-2（2）归纳： 当ad=bc0时，形如ax3bx2cxd=0的方程可这样解决：令，则a=bk,c=dk,于是方程ax3+bx2+cx+d=0可化为 bk

19、x3+bx2+dkx+d即 (kx+1)(bx2+d)=0三、巩固练习1直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是_.2解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x2）=0，（2）（x-3）（x2）（x2-x2）=0.分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x1)(x4)(x+7)=19解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(

20、x2+5x-14)(x25x4)=19设则(y-9)(y+9)=19，即y2-8119说明 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1解一元高次方程的基本方法是什么？2我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？3用因式分解法解高次方程时要注意些什么？五、作业布置练习册：习题21.2（3）分层作业：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3

21、) =x+1 （4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67教学反思：新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力.在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需要.21.3(1)可化为一元二次方程的分式方程教学目标知识与技能：经历探索可化为一元二次方程的分式方程求解方法的过程，知道求解分式方程的一般步骤，领会化归思想.过程与方法：掌握“去分母”法解分式方程，知道可能产生增根，掌握验根的方法.教

22、学重点及难点掌握分式方程的解法,对增根的理解是难点.教学过程 一、情景引入问题1：某单位的共青团员们准备捐款1200元帮助结对的边远地区贫困学生，这笔钱大家平均分担，实际捐款时又有2名青年同事参加，但总费用不变，于是每人少捐30元，问实际共有多少人参加捐款.思考分析：设共有x人参加捐款，则共青团员有（x2）人.等量关系是：原定人均捐款（元）-实际人均捐款（元）=30（元）.这是一个分式方程巩固分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 二、学习新课1、发现新知把方程去分母，并整理后得到学生观察，知道这是一个一元二次方程了.类比以前学的可化为一元一次方程的分式方程，可以命名为可化为一元

23、二次方程的分式方程.答：（1），（2），（4）是分式方程，（3）是分式，不是方程.（4）是可化为一元二次方程的分式方程.2、尝试解决在七年级的时候我们学习过可化为一元一次方程的分式方程的解法，这里我们可以回忆后，类比尝试解决可化为一元二次方程的分式方程.就以，学生活动 两边同乘以(x-1)(x+1),得x(x+1)=23、深入探究学生代入原方程验根发现分母为零，没有意义了，为什么呢？学生思考讨论后得出，分式方程去分母时，乘以一个x的代数式，扩大了x的取值范围，也就是说变形所得的整式方程的根不一定是原分式方程的根，所以分式方程一定要检验.教师强调：在保证解方程没错误的前提下，检验可以直接代入去分

24、母时两边同乘以的代数式，代数式的值为0的根是增根要舍去，不为0的根是原方程的根.学生完成检验，当x=1时， (x-1)(x+1)=0,所以x=1是增根舍去 当x=-2时， (x-1)(x+1)0,所以x=-2是原方程的根所以，原方程的根是x=-24、归纳总结学生讨论:求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：分式方程去分母解整式方程检验增根舍去是原方程的根写出分式方程的根5、巩固练习我们再回头看情景问题1，请同学解决.解方程， 得到是否都是问题的解呢？师生共同得出，实际问题需要满足实际意义，虽然两个都是分式方程的解，但不符合题意的也要舍去.所以问题的答案是：实际参加捐款的人有

25、10人. 三、学生小结1、分式方程的解法与步骤.2、通过这一节课的探讨学习你有什么体会？四、作业布置1、练习册15页 习题21.3（1）分层作业：思考：书34页第3题，找出和这个题目类似的题型！教学反思在设计本章的教学时，主要想渗透数学中的化归思想，让学生与可化为一元一次方程的分式方程进行类比去尝试解决问题，在尝试中不断发现新问题，在师生活动中解决问题，形成新知识.如用解整式方程中的去分母，类比到分式方程中的去分母，并且发现不同的地方，从而理解为什么要检验.在不断的尝试中体会化归思想，并且体验到成功的喜悦，而这种经验还可以迁移到后面无理方程的学习.21.3(2)可化为一元二次方程的分式方程教学

26、目标知识与技能：熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.过程与方法：掌握解分式方程的一般步骤.情感态度与价值观：领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.教学重点及难点重点是解分式方程的方法和步骤,解分式方程的解题的表述.难点是理解产生增根的原因.教学过程设计 一、复习引入教师：在上一堂课我们学习了可化为一元二次方程的分式方程的概念和解法，请同学们一起说说你学到的知识.师生活动：复习可化为一元二次方程的分式方程的概念，解法，步骤，注意点. 二、学习新课1、例题分析我们已经熟悉了分式方程的解法和步骤，我们可以自己来尝试一下学生活动1：.师生共同解题，紧扣解分式方程的步骤.方程两边同乘以最简公分母

27、(1-x)(1+x), 去分母整理得, 解这个整式方程得; 检验：当x=0时，(1-x)(1+x)=10所以x=0是原方程的解; 当x=3时，(1-x)(1+x)=-80所以x=-8是原方程的解.所以原方程的解是.学生自主小结：去分母时，方程的两边每一项都要乘以最简公分母，常数项不能遗漏，如本题的“1”.教师强调：要注意检验的结论“所以x=0是原方程的解”和最后的结论“所以原方程的解是.”的意义上的区别.最后的结论必须要写.2、自主练习学生活动2：说明 放手让学生自主解决，交流心得体会，在挫折中反思问题，积累经验.学生在交流中知道当分母是二次多项式的时候，一般要先因式分解，然后再找最简公分母，

28、如（1）中都要先因式分解.3、深入探究思考：学生尝试代入，但发现方程无意义.教师提示可以从增根的意义考虑，增根不是分式方程的根，但它是分式方程去分母得到的整式方程的根.所以我们可以先去分母得：x(x+1)+k(x+1)=x(x-1)，由增根的意义知道x=1是它的解，代入就可以得到k的值是-1.三、巩固练习学生练习，教师巡视，当场反馈.四、课堂小结学生交流小结：1、解分式方程的方法和步骤.2、解分式方程的过程中要注意什么？五、作业布置1、书36页练习1的（1）（3）（4）练习2的（1）（2）2、练习册15页21.3（2）分层作业：金牌B卷40页5，6教学反思本课教材上的三个例题基本上反映了用去分

29、母法解分式方程的主要类型，有产生增根的，也有没有增根的，在这节课上，根据学生容易误会检验的结论和最后的结论，所以详细书写例题一的求解过程，作为示范，而后面的例题就放手让学生自主练习，在练习和生生交流中不断充实，增强理解.探究题是上一堂课中的一练习，本人认为放在本课较为合适，在学生能熟练解分式方程的情况下才能理解.而且能引导学生从增根的意义上考虑.21.3(3)可化为一元二次方程的分式方程教学目标知识与技能：初步体会用“换元法”解分式方程.过程与方法：了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.情感态度与价值观：在尝试解决问题的过程中体验数学的“化归”思想.教学重点及难点重点是用换元法解分式方程的方

30、法和步骤,难点是用换元法解分式方程组.教学过程设计 一、复习引入教师：我们已经能比较熟练的解分式方程了，在学习中也学会了尝试法来思考问题.通过观察尝试失败 再尝试 成功思考：?学生开始会用去分母方法解，转化为整式方程整理得 .这是一个一元四次方程，而且是双二次方程.在这里学生可以继续分解下去，解得4个根，或者有同学想到了双二次方程的另一解法换元法，可以设，则原方程可化为 经检验 .教师对学生的两种解法肯定，尤其对第二种解法把高次方程化为一元二次方程的化归思想给于赞扬.【说明】学生一般不容易想到直接用换元法解分式方程，那就不急着推出，可以在后面的问题中，当他们遇到障碍的时候，再引导他们重新观察问

31、题，发现尝试新的方法.二、学习新课1、提出问题我们已经可以解决这类化为整式方程后是高次方程问题，那么再来尝试一下能否用同样的方法来解决下面的问题.学生活动：.学生尝试用去分母的方法化为整式方程解决，遇到障碍，此整式方程是.2、观察探究学生尝试失败后教师引导：我们的尝试失败了，是什么原因呢？我们一起来分析一下.同样是分式方程，为什么求解分式方程成功了呢？现在把两者做一个比较.同学们在求解分式方程时，通过去分母将分式方程恰好转化成一个特殊的高次方程，再通过换元思想或换元方法将高次方程转化为我们能解决的一元二次方程，从而得到原方程的解.而本题去分母后，分式方程转化为一个我们不会解的高次方程，说明在这

32、里直接去分母对求解本方程于事无补！怎么办呢？我们仔细观察一下这个方程，有什么特殊之处？学生观察后互相交流很快可以发现.求解分式方程时，运用的换元方法对求解本方程是否有用呢？请同学们尝试一下.（估计会有部分学生能够解决） 师生共同完成下面的求解.两边都乘以2y得到教师：这里用换元法是将方程化繁为简后，再去分母，直接得到一元二次方程，避免出现高次方程，其实质还是起到了“降次”的作用.教师： 能否用求解本题的方法求解方程：呢？学生自主完成，并且比较哪个方法最简单.学生小结规律，什么时候用换元法解决？要注意些什么？方程中含未知数的项是倒数形式，而且没有其他含未知数的项.这样的分式方程可以用换元法解.教

33、师：求出y的值以后别忘了代入求x,检验可以象书上一样分步检验，也可以最后直接代入原方程检验，但是一定要检验.3、拓展研究,学生观察后交流，不难得出用换元法解决，但无法用一个变量换，教师也可以提示用两个变量进行换元.学生可以尝试解决，发现换元后是一个二元一次方程.解：设原方程可化为解方程组得.经检验代入原方程组各分式的分母都不为零，所以原方程组的解为.说明分式方程组含有分母，有可能在解的过程中出现增根，所以一定要检验，我们可以代入原方程的各分式的分母，看是否等于0来检验.三、巩固练习学生练习：书38页，练习1填空教师巡视，当场反馈.四、课堂小结学生交流小结：1、这堂课你学到了什么知识？2、在用换

34、元法的时候要注意什么？教师提升：在数学的学习中，要仔细观察题目，注意化归思想的应用.五、作业布置1、完成书39页练习2，3 2、练习册17页21.3（3）分层作业：金牌B卷43页6教学反思本课教材上的引例不容易直接让学生想到用换元法解，而且可以有其他方法解，体现不出换元法的优势，而例题4学生用其他方法有障碍，在反思后，能理解为什么用换元法，也更体现换元法的优势，而关于检验，课本的检验比较罗嗦，学生不容易理解，所以用最后一次检验的方法，对于分式方程组的换元用a,b而不用u,v主要还是符合学生的习惯，也让学生知道用什么字母换，只是习惯而已.214 (1)无理方程教学目标知识与技能：理解无理方程的概

35、念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.过程与方法：经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.情感态度与价值观：知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.教学重点及难点只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法；对无理方程产生增根的理解.教学过程设计问题引入1思考直角坐标系中,点A(3,1)与点B(,5)之间的距离为5.怎样求点B的坐标？2观察思考题中的方程有什么特点？它与前面所学的方程有什么区别？新课学习归纳概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.整式方程和分式方程统称为有理方程.有理方程和无

36、理方程统称为代数方程.代数方程的分类： 整式方程 有理方程 分式方程代数方程 无理方程巩固练习1已知下列关于的方程： 其中无理方程是_(填序号).说明关于无理方程的概念，课本中通过实例引出，在引导学生观察、思考以后，揭示了无理方程的内涵，但由于课本引例学生可能不利用无理方程也能解决，为体现无理方程的存在和学习它的必要性，所以改成了利用两点之间距离公式列方程的问题作为引例；并在概念得出之后，联系代数式的分类，补充对所学过的方程进行分类，简单地介绍了代数方程的系统，帮助学生完整认识代数方程.思考与尝试怎样解方程？去根号两边同时乘方归纳方法无理方程 有理方程 提问解得有理方程的根，它们都是原方程的根

37、吗?讨论方程的根究竟是什么？怎样知道是原方程的根，而不是原方程的根？结论无理方程在转化成有理方程的过程中，扩大了未知数的允许取值范围（如：但），因此可能产生增根，必须进行检验；将有理方程的根代入原方程，看方程是否成立，是主要的检验方法.归纳解简单的无理方程的一般步骤,用流程图可表述为: 是开始去根号解有理方程检验写出原方程的根舍去结束否说明 关于验根的方法，用“代入原方程检验”这种方法易懂好记，应要求掌握；其他方法，只要了解不必掌握.巩固练习课本练习21.4(1) 2、3、4课堂小结通过本堂课你有什么收获?作业布置 完成练习册21.4(1)作业分层作业：金牌B卷46页5，6教学反思：解无理方程

38、的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施.用问题引导学生进行尝试、探索和讨论，让学生经历探索无理方程解法的过程，从而归纳得到解无理方程的一般方法；再通过提问，引发学生的思考和讨论，形成对“验根”的必要性的认识；而对于产生增根的原因，并没有进行强化，只是指出在方程两边进行乘方（偶次方）的时候，扩大了未知数的取值范围，有产生增根可能； 214 (2)无理方程教学目标知识与技能：会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）.过程与方法：能根据二次根式的性质，直接判断含二次根式的特殊无理方程的根的情

39、况.情感态度价值观：通过解无理方程，进一步体会事物之间相互转化的关系，培养辩证观点.教学重点及难点 解简单的无理方程；判断含二次根式的无理方程的根的情况.教学过程设计三、 复习1、 解无理方程的一般步骤是什么？2、 无理方程如何进行“验根”？四、 例题讲解1、 讲解解下列方程:（1） （2）（3） （4）2、 思考 在解无理方程的时候要注意些什么？3、 小结解只含一个“根号”的无理方程时，一般将“根号项”放在方程的一边，把其他“项”放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解比较简单；解含两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后再整理，这样可以简化解题过程；如果含

40、两个“根号”的无理方程中还有其他“项”，通常要经过两次平方，才能把原方程转化为有理方程.说明例题中（1）、（2）两个无理方程，只需方程两边直接平方就可以去掉根号；（3）、（4）两个无理方程，则要先移项，再进行平方，这样求解比较简便.课本将它们分成两个例题，现在将它们放在一道题目中,目的是为了加强学生对两种类型方程的对照和比较，从而对解法上的差异形成更为鲜明的印象.在讲解时，重视解题的示范，再引导学生对如何简化无理方程的解题过程进行反思小结,有利于学生清晰地掌握.4、提问不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗?； ； .5、归纳对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据

41、是“对于二次根式，有.”说明观察分析也是解无理方程的一种方法（在特殊情况下可用）.通过提问，让学生来观察和判断无理方程有无实数根，激发学生从另外的角度来分析无理方程，而不是不加辨别地采取一般方法进行解题,使学生养成良好的观察和分析习惯.补充两题是为了丰富此方法的适应类型，让学生掌握方法，从而能举一反三.三、巩固练习课本练习21.4(2) 1、2、3四、课堂小结通过本堂课你有什么收获?五、作业布置完成练习册21.4(2)作业分层作业：金牌B卷47页1，8教学反思：熟练掌握不解方程判断无理方程是否有解，大多数能掌握解方程的技巧，但是计算方面还是有一定问题。21.5二元二次方程和方程组教学目标知识与

42、技能：知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念，能够判定给定的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组；过程与方法：了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；情感态度与价值观：经历二元一次方程组和二元二次方程组的对比学习，初步感悟方程知识的通识.教学重点及难点二元二次方程（组）及其解的概念和辨别；二元二次方程组概念的理解及辨别教学过程设计一、 情景引入1、思考：问题1学校组织全体师生到学校放映厅看戏，如果每排只坐17名学生，则有5名同学没有位置坐，如果每排坐23名学生，则放映厅里空5排位置没有人坐，求去看戏的师生总人数和放映厅的座位排数.问题2上述放映厅

43、原有座位500个，每排的座位数一样多，现在放映厅管理人员为了让师生有更舒适的欣赏环境，对放映厅进行了改造，每排减少了2个座位，并减少了5排，改造后的剧场座位数恰好与学校师生总人数相同，问：剧场原有座位的排数是多少？每排有多少个座位？ 2、讨论：解决上面两个问题所列的方程组有什么相同点和不同点？【说明】问题1列出的方程组是我们前面学习过的二元一次方程组，学生能很快辨识出来，问题2列出的方程组里两个方程都含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2，通过对比可以发现不同点就是含有未知数的项的最高次数不同，从而引出今天要学习的新课.二、学习新课1、仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2

44、的整式方程，叫做二元二次方程. 请学生找出上面方程组中的二元二次方程，然后向学生介绍二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等概念.2、关于x、y的二元二次方程的一般形式是： （a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项. 反馈练习：下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.问题3 如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么

45、直角三角形的两条直角边分别是多少？【说明】问题2中得到的方程组是由两个二元二次方程所组成的，为避免部分学生可能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，这里列举由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组，利于学生对二元二次方程组概念的理解.3、二元二次方程组：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.反馈练习：2、下列方程组中，哪些是二元二次方程组？4、回顾什么是方程（组）的解？类比学习二元二次方程（组）的解。 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解; 方程组中所含各方程的公共解叫做这个

46、方程组的解.5、例题分析已知下列四对数值：（1）哪些是方程的解？（2）哪些是方程组的解.三、巩固练习书47页第4题四、课堂小结通过这节课的学习我们认识了二元二次方程和方程组以及它们的解，请同学们总结一下.五、作业布置练习部分20页习题.分层作业：金牌B卷50页4题教学反思1、本节课概念较多，教学中要注意把握好进度；本节课主要是让学生知道二元二次方程和方程组及会判定一组数值是否是它们的解，要注意把握好教学的深度.2、学生已具备对很多类型方程的认识，因此在教学时应主要让学生类比发现.21.6（1）二元二次方程组的解法教学目标知识与技能：知道“代入消元法”的基本思想和一般步骤；过程与方法：掌握由“代

47、入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；情感态度与价值观：通过对二元二次方程组解法的学习，渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点会用“代入消元法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；理解解二元二次方程组的基本思想教学过程设计一、 复习引入1、复习提问：（1）解二元一次方程组的基本思路是什么？ （2）解二元一次方程组有哪几种方法？【说明】设计这两个问题是为了让学生能够用类比的方法学习二元二次方程组的解法.2、引入：我们已经会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，这节课我们将学习二元二次方程组的解法.二、学习新课1、首先

48、观察昨天应用题列出的一个方程组，思考能否借用二元一次方程组的解法解决它们？学生思考，解答.引导性提示：解二元二次方程组的基本思想和解二元一次方程组类似，都是通过“消元”，化二元为一元.【说明】这个方程组的解法经过前面的复习引入，大部分同学应该能够顺利解答，对于遇到困难的同学可以进行引导帮助.教师板书： 解：将（1）代入（2），得 . 整理，得, 解得. 把代入（1），得 把代入（1），得 所以原方程组的解是 2、反馈练习：例题1 解方程组： 学生解决，小组互批，集体纠错.小结：对于由一个二元一次方程和二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.3、例题分析例2 解

49、方程组： 学生用常规的代入消元法解决后，请学生对这个方程组进一步分析和观察，可以发现（1）能进行因式分解，分解后可见方程（2）是（1）的一个因式，利用“等量代换”可得到以下解法： 解： 方程（1）可变形为 把（2）代入（3）中，得 即 于是，原方程组化为 解这个二元一次方程组，得 所以原方程组的解是 .【说明】这道例题采用“整体代入”的方法，将二元二次方程组化为二元一次方程组，这是一种“降次”的策略，要通过比较让学生认识到“整体代入”的简便性，从而加强审题的意识.加深对合理运算重要性的理解.三、巩固练习书50页第1题四、课堂小结这节课我们学习了由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组的解法

50、，通过这节课的学习你们对解二元二次方程组的基本思想和方法有什么认识？请总结一下采用代入消元法解方程组的一般步骤.五、 作业布置 练习部分20-21页习题.六、 分层作业：金牌一课一练B卷52页9题教学反思：简单的方程学生解起来还算条理清楚，但是比较复杂的方程，学生计算能力还有待提高。21.6（2）二元二次方程组的解法 教学目标知识与技能：掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；过程与方法：在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本思路是“降次”；情感态度与价值观：通过对二元二次方程组解法的剖析，领悟事物间可以相互转化的数学思想.教学重点及难点会用“因式分解法”解由两个二元二次

51、方程组成的方程组；正确分析方程组的特点，从而找到合理的解法教学过程设计一、 复习引入1、解方程组：【说明】这两道题目的设计主要是为了检测同学们用“代入消元法”解二元二次方程组的学习情况和对于“整体代入”思想方法的理解情况；同时方程组（2）也是为了为本节课要学习的对于特殊的二元二次方程组用“因式分解法”做好准备.2、引入：我们已经会用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.二、学习新课1、观察：方程组（1）能直接使用“代入消元法”解答吗？（2）方程组中的两个方程有什么特点？学生思考作答，教师进行指导和补充

52、.【说明】前一节课有对特殊方程进行因式分解的例子，所以在直接用“代入法”解决未果的情况下，学生会想到将方程（1）进行因式分解，但后面的操作就需要教师的指导和教授教师板书： 解：将（1）左边分解因式，可变形为 ， 得， 将它们与（2）分别组成方程组，得 解方程组（1）得 解方程组（2）得 所以原方程组的解是 小结：如果二元二次方程组中有一个方程可变形为两个一次因式的乘积等于零的形式，那么解这个方程组的问题可转化为解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组.这种解特殊的二元二次方程组的方法是“因式分解法”.2、反馈练习解方程组：【说明】及时对刚才学习的方法进行运用，有利于学生对“因式分解

53、法”的掌握，同时培养学生分析问题和解决问题的能力.3、例题分析例2 解方程组： 这是一个特殊的二元二次方程组，如果采用前面的方法将方程（1）左边因式分解，再将分解得到的两个方程和（2）组成方程组，这个问题是可以解答的；但进一步观察会发现（2）左边也可以进行因式分解，于是有了下面的解法： 解： 方程（1）可变形为 得 方程（2）可变形为 得 原方程组化为 分别解这四个方程组，得原方程组的解是 【说明】这道例题的解决要求学生对于“方程组的解”的概念有正确的理解，即由方程（1）所得的每一个方程分别和由方程（2）所得的每一个方程组成方程组的解的全体才是原方程组的解.三、巩固练习书52页第2题四、课堂小结这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的特殊方程组的解法，基本思路是“消元”和“降次”.那么请总结一下“代入消元法”和“因式分解法”各自针对什么特点的方程组？使用时需要注意什么？五、作业布置：练习部分22-23页习题.分层作业：金牌B卷54页7题教学反思：对有一个方程不能因式分解，组成两个二元二次方程组，在计算方面容易出错。另外二元二次方程组应用到实际中要注意解的取舍，符合实际意义。需要在教学中注意此类型问题。