新编高中数学人教A版浙江专版必修5讲义：第二章 2．3　等差数列的前n项和 含答案

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1、新编人教版精品教学资料等差数列的前等差数列的前 n 项和项和(1)数列前数列前 n 项和的定义是什么？通常用什么符号表示？项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前 n 项和？项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前 n 项和？项和？新知初探新知初探1数列的前数列的前 n 项和项和对于数列对于数列an，一般地称一般地称 a1a2an为数列为数列an的前的前 n 项和项和，用用 Sn表示表示，即即 Sna1a2an.2等差数列的前等差数列的前 n 项和公式项和公式

2、已知量已知量首项，末项与项数首项，末项与项数首项，公差与项数首项，公差与项数选用选用公式公式Snn a1an 2Snna1n n1 2d小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)数列的前数列的前 n 项和就是指从数列的第项和就是指从数列的第 1 项项 a1起，一直到第起，一直到第 n 项项an所有项的和所有项的和()(2)anSnSn1(n2)化简后关于化简后关于 n 与与 an的函数式即为数列的函数式即为数列an的通项公式的通项公式()(3)在等差数列在等差数列an中，当项数中，当项数 m 为偶数为偶数 2n 时，

3、则时，则 S偶偶S奇奇an1()解析：解析：(1)正确由前正确由前 n 项和的定义可知正确项和的定义可知正确(2)错误例如数列错误例如数列an中，中，Snn22.当当 n2 时，时，anSnSn1n2(n1)22n1.又又a1S13，预习课本预习课本 P4245，思考并完成以下问题思考并完成以下问题a1不满足不满足 anSnSn12n1，故命题错误，故命题错误(3)错误当项数错误当项数 m 为偶数为偶数 2n 时，则时，则 S偶偶S奇奇nd.答案：答案：(1)(2)(3)2等差数列等差数列an中，中，a11，d1，则，则 Sn等于等于()AnBn(n1)Cn(n1)D.n n1 2解析解析：

4、选选 D因为因为 a11， d1， 所以所以 Snnn n1 212nn2n2n2n2n n1 2，故选故选 D.3设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 a112，S420，则，则 S6等于等于()A16B24C36D48解析：解析：选选 D设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d，由已知得由已知得 4a1432d20，即即 412432d20，解得，解得 d3，S6612652334548.4在等差数列在等差数列an中，中，S42，S86，则，则 S12_.解析解析：由等差数列的性质由等差数列的性质，S4，S8S4，S12S8成等差数列成等差数列，所以所以 2

5、(S8S4)S4(S12S8)，S123(S8S4)12.答案：答案：12等差数列的前等差数列的前 n 项和的有关计算项和的有关计算典例典例已知等差数列已知等差数列an(1)a156，a1532，Sn5，求，求 d 和和 n；(2)a14，S8172，求，求 a8和和 d.解解(1)a1556(151)d32，d16.又又 Snna1n n1 2d5，解得解得 n15 或或 n4(舍舍)(2)由已知，得由已知，得 S88 a1a8 28 4a8 2172，解得解得 a839，又又a84(81)d39，d5.等差数列中的基本计算等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：利用基本量求值：等差数列的

6、通项公式和前等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量项和公式中有五个量 a1， d， n， an和和 Sn， 这五个量可以这五个量可以“知知三求二三求二”一般是利用公式列出基本量一般是利用公式列出基本量 a1和和 d 的方程组，解出的方程组，解出 a1和和 d，便可解决问题解，便可解决问题解题时注意整体代换的思想题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若等差数列的常用性质：若 mnpq(m，n，p，qN*)，则，则 amanapaq，常与求，常与求和公式和公式 Snn a1an 2结合使用结合使用活学活用活学活用设设 Sn是等差数列

7、是等差数列an的前的前 n 项和，已知项和，已知 a23，a811，则，则 S9等于等于()A13B35C49D63解析：解析：选选 Dan为等差数列，为等差数列，a1a9a2a8，S99 a2a8 2914263.已知已知 Sn求求an问题问题典例典例已知数列已知数列an的前的前 n 项和项和 Sn2n2n2.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)判断判断an是否为等差数列？是否为等差数列？解解(1)Sn2n2n2，当当 n2 时，时，Sn12(n1)2(n1)22n25n1，anSnSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3.又又 a1S11，不满足，不满足 an4n3，数列数列an

8、的通项公式是的通项公式是 an1，n1，4n3，n2.(2)由由(1)知，当知，当 n2 时，时，an1an4(n1)3(4n3)4，但但 a2a15164，an不满足等差数列的定义，不满足等差数列的定义，an不是等差数列不是等差数列(1)已知已知 Sn求求 an，其方法是，其方法是 anSnSn1(n2)，这里常常因为忽略条件，这里常常因为忽略条件“n2”而出错而出错(2)在书写在书写an的通项公式时的通项公式时，务必验证务必验证 n1 是否满足是否满足 an(n2)的情形的情形如果不满足如果不满足，则则通项公式只能用通项公式只能用 anS1，n1，SnSn1，n2表示表示活学活用活学活用1

9、已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Snn2，则，则()Aan2n1Ban2n1Can2n1Dan2n1解析解析：选选 B当当 n1 时时，a1S11；n2 时时，anSnSn1n2(n1)22n1，此时满足，此时满足 a11.综上可知综上可知 an2n1.2已知已知 Sn是数列是数列an的前的前 n 项和，根据条件求项和，根据条件求 an.(1)Sn2n23n2；(2)Sn3n1.解：解：(1)当当 n1 时，时，a1S17，当当 n2 时，时，anSnSn1(2n23n2)2(n1)23(n1)24n1，又，又 a17不适合上式，不适合上式，所以所以 an7，n1，4n1，n2

10、.(2)当当 n1 时，时，a1S12，当当 n2 时，时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1，显然，显然 a1适合上式，适合上式，所以所以 an23n1(nN*).等差数列的前等差数列的前 n 项和性质项和性质典例典例(1)等差数列等差数列前前 n 项的和项的和为为 30， 前前 2n 项的和项的和为为 100， 则它的则它的前前 3n 项的和为项的和为()A130B170C210D260(2)等差数列等差数列an共有共有 2n1 项，所有的奇数项之和为项，所有的奇数项之和为 132，所有的偶数项之和为，所有的偶数项之和为 120，则则 n 等于等于_(3)已知已知an， bn均为

11、等差数列均为等差数列， 其其前前n项和分别项和分别为为Sn， Tn， 且且SnTn2n2n3， 则则a5b5_.解析解析(1)利用等差数列的性质：利用等差数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列成等差数列所以所以 Sn(S3nS2n)2(S2nSn)，即即 30(S3n100)2(10030)，解得解得 S3n210.(2)因为等差数列共有因为等差数列共有 2n1 项项， 所以所以 S奇奇S偶偶an1S2n12n1， 即即 1321201321202n1，解得解得 n10.(3)由等差数列的性质，知由等差数列的性质，知a5b5a1a92b1b92a1a929b1b929S9T929

12、29353.答案答案(1)C(2)10(3)53等差数列的前等差数列的前 n 项和常用的性质项和常用的性质(1)等差数列的依次等差数列的依次 k 项之和，项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k组成公差为组成公差为 k2d 的等差数列的等差数列(2)数列数列an是等差数列是等差数列Snan2bn(a，b 为常数为常数)数列数列Snn 为等差数列为等差数列(3)若若 S奇奇表示奇数项的和，表示奇数项的和，S偶偶表示偶数项的和，公差为表示偶数项的和，公差为 d，当项数为偶数当项数为偶数 2n 时，时，S偶偶S奇奇nd，S奇奇S偶偶anan1；当项数为奇数当项数为奇数 2n1 时，时，S奇奇S偶偶an

13、，S奇奇S偶偶nn1.活学活用活学活用1设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 S48，S820，则，则 a11a12a13a14()A18B17C16D15解析解析：选选 A设设an的公差为的公差为 d，则则 a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解得，解得 d14，a11a12a13a14S440d18.2等差数列等差数列an的通项公式是的通项公式是 an2n1，其前，其前 n 项和为项和为 Sn，则数列，则数列Snn 的前的前 10 项和项和为为_解析：解析：因为因为 an2n1，所以，所以 a13，所以所以 Snn 32n1 2n22n

14、，所以所以Snnn2，所以所以Snn 是公差为是公差为 1，首项为，首项为 3 的等差数列，的等差数列，所以前所以前 10 项和为项和为 3101092175.答案：答案：75等差数列的前等差数列的前 n 项和最值问题项和最值问题典例典例在等差数列在等差数列an中，中，a125，S17S9，求前，求前 n 项和项和 Sn的最大值的最大值解解由由 S17S9，得，得251717 171 2d2599 91 2d，解得解得 d2，法一法一公式法公式法Sn25nn n1 2(2)(n13)2169.由二次函数性质得，当由二次函数性质得，当 n13 时，时，Sn有最大值有最大值 169.法二法二邻项变

15、号法邻项变号法a1250，由，由an252 n1 0，an1252n0，得得n1312，n1212，即即 1212n1312.又又 nN*，当当 n13 时，时，Sn有最大值有最大值 169.求等差数列的前求等差数列的前 n 项和项和 Sn的最值的解题策略的最值的解题策略(1)将将 Snna1n n1 2dd2n2a1d2 n 配方配方，转化为求二次函数的最值问题转化为求二次函数的最值问题，借助函借助函数单调性来解决数单调性来解决(2)邻项变号法：邻项变号法：当当 a10，d0 时，满足时，满足an0，an10的项数的项数 n 使使 Sn取最大值取最大值当当 a10 时，满足时，满足an0，a

16、n10的项数的项数 n 使使 Sn取最小值取最小值活学活用活学活用已知已知an为等差数列为等差数列，若若a11a101，且它的前且它的前 n 项和项和 Sn有最大值有最大值，那么当那么当 Sn取得最小正取得最小正值时，值时，n()A11B17C19D21解析解析：选选 CSn有最大值有最大值，da11，又又a11a101，a110a10，a10a110，S2010(a1a20)10(a10a11)0，S19为最小正值故选为最小正值故选 C.层级一层级一学业水平达标学业水平达标1已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为 an23n，则，则an的前的前 n 项和项和 Sn等于等于()A32n2

17、n2B32n2n2C.32n2n2D.32n2n2解析解析：选选 Aan23n，a1231，Snn 123n 232n2n2.2等差数列等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 a70，a80，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()AS7S8BS150DS150解析：解析：选选 C由等差数列的性质及求和公式得，由等差数列的性质及求和公式得，S1313 a1a13 213a70，S1515 a1a15 215a8a5，则则 Sn取得最小值时取得最小值时 n 的的值为值为()A5B6C7D8解析：解析：选选 B由由 7a55a90，得，得a1d173.又又 a9a5，所以，所以 d

18、0，a10.因为函数因为函数 yd2x2a1d2 x 的图象的对称轴为的图象的对称轴为 x12a1d12173376，取最接近的整取最接近的整数数6，故，故 Sn取得最小值时取得最小值时 n 的值为的值为 6.5设设 Sn是等差数列是等差数列an的前的前 n 项和，若项和，若a5a359，则，则S9S5等于等于()A1B1C2D.12解析：解析：选选 AS9S592 a1a9 52 a1a5 92a552a39a55a395591.6若等差数列若等差数列an的前的前 n 项和为项和为 SnAn2Bn，则该数列的公差为，则该数列的公差为_解析解析：数列数列an的前的前 n 项和为项和为 SnAn

19、2Bn，所以当所以当 n2 时时，anSnSn1An2BnA(n1)2B(n1)2AnBA，当，当 n1 时满足，所以时满足，所以 d2A.答案：答案：2A7设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且且 Sm2，Sm10，Sm23，则则 m_.解析解析： 因为因为 Sn是等差数列是等差数列an的前的前 n 项和项和， 所以数列所以数列Snn 是等差数列是等差数列， 所以所以SmmSm2m22Sm1m1，即，即2m3m20，解得，解得 m4.答案：答案：48设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为，偶数项之和为 33，则这个数

20、列的中，则这个数列的中间项是间项是_，项数是，项数是_解析：解析：设等差数列设等差数列an的项数为的项数为 2n1，S奇奇a1a3a2n1 n1 a1a2n1 2(n1)an1，S偶偶a2a4a6a2nn a2a2n 2nan1，所以所以S奇奇S偶偶n1n4433，解得，解得 n3，所以项数，所以项数 2n17，S奇奇S偶偶an1，即，即 a4443311 为所求中间项为所求中间项答案：答案：1179已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且满足且满足 log2(Sn1)n1，求数列求数列an的通项公式的通项公式解：解：由已知条件，可得由已知条件，可得 Sn12n1，则则 Sn2

21、n11.当当 n1 时，时，a1S13，当当 n2 时，时，anSnSn1(2n11)(2n1)2n，又当又当 n1 时，时，321，故故 an3，n1，2n，n2.10在等差数列在等差数列an中，中，Sn为其前为其前 n 项的和，已知项的和，已知 a1a322，S545.(1)求求 an，Sn；(2)设数列设数列Sn中最大项为中最大项为 Sk，求，求 k.解：解：(1)由已知得由已知得2a222，5a345，即即a211，a39，所以所以a113，d2，所以所以 an2n15，Snn214n.(2)由由 an0 可得可得 n7，所以，所以 S7最大，最大，k7.层级二层级二应试能力达标应试能

22、力达标1已知等差数列已知等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，S440，Sn210，Sn4130，则，则 n()A12B14C16D18解析解析：选选 B因为因为 SnSn4anan1an2an380，S4a1a2a3a440，所所以以4(a1an)120，a1an30，由，由 Snn a1an 2210，得，得 n14.2在等差数列在等差数列an中，中，Sn是其前是其前 n 项和，且项和，且 S2 011S2 014，SkS2 009，则正整数，则正整数 k 为为()A2 014B2 015C2 016D2 017解析：解析：选选 C因为等差数列的前因为等差数列的前 n 项和项和 S

23、n是关于是关于 n 的二次函数，所以由二次函数的对的二次函数，所以由二次函数的对称性及称性及 S2 011S2 014，SkS2 009，可得，可得2 0112 01422 009k2，解得，解得 k2 016.故选故选 C.3已知已知 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，项和，S10，67a1167(a110d)67a1670d0，即，即 a110.故选故选 A.4已知等差数列已知等差数列an和和bn的前的前 n 项和分别为项和分别为 An和和 Bn，且且AnBn7n45n3，则使得则使得anbn为整为整数的正整数数的正整数 n 的个数是的个数是()A2B3C4D5解析解析：选选

24、 Danbna1a2n12b1b2n12a1a2n12 2n1 b1b2n12 2n1 A2n1B2n17 2n1 452n1314n382n2712n1，当当 n 取取 1,2,3,5,11 时，符合条件，时，符合条件，符合条件的符合条件的 n 的个数是的个数是 5.5若数列若数列an是等差数列，首项是等差数列，首项 a10，a203a2040，则使前，则使前 n 项和项和 Sn0a1a4060S4060，又由又由 a10 且且 a203a2040，知知 a2030，所以公差所以公差 d0，则数列则数列an的前的前 203 项都是负数项都是负数，那么那么 2a203a1a4050，所以所以

25、S4050，所以所以使前使前 n 项和项和 Sn0，前，前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a2a345，S428.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若若 bnSnnc(c 为非零常数为非零常数)，且数列，且数列bn也是等差数列，求也是等差数列，求 c 的值的值解：解：(1)S428， a1a4 4228，a1a414，a2a314，又又 a2a345，公差，公差 d0，a20，得，得 n0；当当 n18，nN*时，时，an0，an的前的前 17 项和最大项和最大(2)当当 n17，nN*时，时，|a1|a2|an|a1a2anna1n n1 2d32n21032n.当当 n18，nN*时，时，|a1|a2|an|a1a2a17a18a19an2(a1a2a17)(a1a2an)23217210321732n21032n32n21032n884.Sn32n21032n，n17，nN*，32n21032n884，n18，nN*.