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1、【巩固练习】一、选择题1若直线的方向向量，平面的法向量为，则（ ）A B C D与斜交2若平面的法向量为，直线的方向向量为v，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）A B C D3已知平面内有一个点A（2，1，2），的一个法向量为n=（3，1，2），则下列点P中，在平面内的是（ ） A（1，1，1） B（1，3，） C（1，3，） D（1，3，）4P是二面角棱上的一点，分别在、半平面上引射线PM、PN，如果BPM=BPN=45，MPN=60，那么二面角的大小为（ ） A60 B70 C80 D905已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点点到平面的距离（ ）A BCD6（2015春
2、 广安校级月考）若向量，且与的夹角的余弦值为，则x=（ ）A3 B3 C11 D3或117在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（ ）A B C D二、填空题8若平面的一个法向量为n=（3，3，0），直线的一个方向向量为b=（1，1，1），则与所成角的余弦值为_9若分别与一个二面角的两个面平行的向量m=（1，2，0），n=（3，0，2），且m、n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为_10正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是_。11
3、在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 三、解答题12.如图,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=。求证：AE/平面DCF.ABCDEA1B1C1D113.如图，正四棱柱中，点在上且求二面角的余弦值14. (2015 新课标)如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120,E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEED()证明：平面AEC平面AFC()求直线AE与直线CF所成角的余弦值。15.(2015 山东) 如图，在三棱台DEFABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点。（I）求证：BD平面
4、FGH；（II）若CF平面ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小。【答案与解析】1【答案】B；【解析】由于，所以。2【答案】D 【解析】 若直线与平面所成的角为，直线与该平面的法向量所成的角为，则。3【答案】B 【解析】 要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验。对于选项A，则，故排除A；对于选项B，则，故B正确，同理可排除C、D。故选B。4【答案】D 【解析】 不妨设PM=a，PN=b，作MEAB于点E，NFAB于点F，如图所示。BPM=BPN=45，。EM、FN分别是、
5、内与棱AB垂直的直线，EM与FN之间的夹角就是所求二面角，即的大小为90。5【答案】A【解析】为正方形，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则= 6【答案】 A 【解析】，解得又,所以.7【答案】D；【解析】8【答案】 【解析】 由，知与所成角的余弦值为。9【答案】或 【解析】 ，该二面角的余弦值为或。10【答案】30 【解析】 以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2）， 。11【答案】 【解析】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系AEA1DCBB1C1D1F图则，；设面的法向量
6、为，则有：，又，所以点到截面的距离为=12. 【解析】如图，以点为坐标原点，以和分别作为、和轴，建立空间直角坐标系DABEFCyzx设，则，因为平面,所以是平面的法向量因为,且平面，故平面13. 【解析】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，设向量是平面的法向量，则，故，令，则，等于二面角的平面角， 所以二面角的的余弦值为14. 【解析】（1）ABCD为菱形，ACBD.连接AC，BD，交于点O.以O为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则z轴和BE平行.可设ABCD边长为2，DF=h（h0）.则，E（1，0，2h），F（1，0，h）.AEEC
7、，.而，1+34h2=0，.，.设面AEC的法向量为，而AFC法向量为，则，求得，.，面AEC面AFC.（2），.所以直线AE和CF所成角的余弦值为。（）,，设平面的法向量为则，即，令得点到平面的距离。15 【解析】（I）证法一： 连接GF，CD，设CDGF=O，连接OH 在三棱台DEFABC中， AB=2DE，G为AC的中点， 可得DFGC，DF=GC, 所以 四边形DFCG为平行四边形， 则O为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以OHBD， 又OH平面FGH BD平面FGH， 所以BD平面FGH 证法二： 在三棱台DEFABC中， 由BC=2EF，H为BC的中点， 可得 BHEF，BH=
8、EF， 所以四边形BHFE为平行四边形， 可得 BEEF， 在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以GHAB， 又GHHF=H，所以平面FGH平面ABED， 因为 BC平面ABED， 所以 BD平面FGH。 （II）解法一： 设AB=2，则CF=1， 在三棱台DEFABC中， G为AC的中点， 由, 可得 四边形DGCF为平行四边形， 因此DGFC， 又 FC平面ABC， 所以 DG平面ABC， 在ABC中，由ABBC，BAC=45，G是AC中点， 所以 AB=BC，GBGC， 因此GB，GC，GD两两垂直， 以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz， 所以 可得 故， 设n=（x，y，z）是平面FGH的一个法向量，则 由 可得 可得 平面FGH的一个法向量， 因为是平面ACFD的一个法向量， 所以 所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60 解法二： 作HMAC与点M，作MNGF与点N，连接NH 由FC平面ABC，得HMFC， 又 FCAC=C， 所以HM平面ACFD， 因此 GFNH， 所以MNH即为所求的角， 在BGC中，MHBG，, 由GNMGCF， 可得, 从而, 由 HM平面ACFD，MN平面ACFD， 得 HMMN， 因此 , 所以 MNH=60， 所以 平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60。
高考数学选修巩固练习 立体几何中的向量方法（提高）
