安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测理科数学试题 含答案

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1、2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集，则A B C D2复数的虚部为ABCD 就业人员（万人）3下图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是A2017年就业人员数量是最多的B2017年至2018年就业人员数量呈递减状态C2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓D2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人4数列为等差数列，且，则的前13项的和为A B C D 5已知向量，且，则A BCD 6已知奇函数，则的值

3、为ABCD 7已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，则点的坐标为A B C D 8西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为A18 B36 C72 D144 9某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A B C D 10函数的图像大致为A B C D11已知边长为2的正所在平面外有一点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球

4、的表面积为 A B C D12已知函数（）的图象经过点和，且在内不单调，则的最小值为A1B3C5D7 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为 14已知实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为 15定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列已知“等差比”数列的前三项分别为，则数列的前项和 16已知双曲线（，）的焦距为，为右焦点，为坐标原点，是双曲线上一点，的面积为，则该双曲线的离心率为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选

5、考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知为锐角三角形，且（1）求角的大小；（2）若，求的最大值18（12分）某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为100分）现从400份评分表中，随机抽取40份（其中男、女使用者的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：女性使用者评分男性使用者评分767 8 9 91 2 570 2 2 3 4 5 6 6 7 8 90 3 3 3 4 4 5 6 6 882 4 4 90 0 1 2 2 292记该样本的中位数为，按评分情况将使用者对该

6、APP的态度分为三种类型：评分不小于的称为“满意型”，评分不大于的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”（1）求的值，并估计这400名使用者中“须改进型”使用者的个数；（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用者人数为，求的分布列和数学期望19（12分）如图，四边形为矩形，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且在平面内的射影在边上（1）求证：；（2）求二面角的余弦值 20（12分）已知椭圆：过点，且到两焦点的距离之和为（1）求椭圆的方程；（2）已知不经过原点的直线交椭圆于、两点，线段的中

7、点在直线上，求的取值范围21（12分）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个不同零点，证明：且（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点在射线上，且点到极点的距离为（1）求曲线的普通方程与点的直角坐标；（2）求的面积23选修4-5：不等式选讲（10分）设函数（1）若函数有零点，求实数的取值范围； （2）记（1）中实数的最大值为，若，均为正实数，且满足，求的最小值2020年马鞍山市高中毕业班第一次

8、教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12

9、个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案ABDCADDBBCCB二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 146 15 16（提示：设左焦点为，由题知为直角三角形 ， ，又，从而.）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共60分。17【解析】（1）解法1：，为锐角三角形，即， （6分）解法2：，为锐角三角形， （6分）（2）由正弦定理得，由（1）知， （10分） 时，取得最大值 （

10、12分）18【解析】（1）中位数等于，所以，40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名使用者中约人是“须改进型”使用者； （5分）（2）不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人，故的所有可能的取值为0,1,2 （7分）且;故的分布列为 （11分） 所以的数学期望 （12分）19【解析】（1）由题可得面，又四边形为矩形，又，面，（5分）（2）解法1：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，设点坐标为（），由，得，解得，即点坐标为，设面，所以，令，得，又面，所以二面角的余弦值为（12分）解法2：作交于点，连接.由（1）知：又,面.面,又,面,故即为所求二面角的平面角.

11、在,中易求得,中， （12分）20【解析】（1）由题可得，解得，所以曲线的方程为 （4分）（2）（方法一）易知直线 斜率存在且不等于0，所以 设，得两式相减得，即 （7分）设直线的方程为，联立方程化简得因为直线交椭圆于,两点，故，解得 （8分）又， （9分）所以（12分）（方法二）易知直线斜率存在且不等于0，故设直线的方程为联立方程组，化简得，因为线段的中点在直线上，所以，求得 （7分）后面解法同解法一 （12分）21【解析】（1）因为，由得，或 （2分）i）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；ii）即时，在单调递减；iii）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减（6分）（2）由（1）

12、知，时，的极小值为，时，的极小值为，时，在单调，故时，至多有一个零点当时，易知在单调递减，在单调递增要使有两个零点，则，得 （9分）令，（），则 ，所以在时单调递增，不妨设，则， 由在单调递减得，即 （12分）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22【解析】（1）曲线的普通方程为， （2分）点的极坐标为，直角坐标为 （5分）（2）（方法一）圆心，点到的距离，且，所以 （10分） （方法二）圆心，其极坐标为，而，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，所以 所以 23【解析】（1）依题意可知二次方程有解，即当时，；当时，恒成立，；当时， 综上所述，可得 （5分）（2）由（1）知，（方法一：利用基本不等式），的最小值为，当且仅当时取等号 （10分）（方法二：利用二次函数求最值），的最小值为，当且仅当时取等号 （10分）（方法三：利用柯西不等式），的最小值为，当且仅当时取等号 （10分）