汇编《因动点产生的面积问题》含答案

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1、例1如图1 ,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上， 以点C为顶点的抛物线经过 点A,点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点)，过点P作PF丄BC于点F .点 D、E 的坐标分别为(0, 6)、(-4, 0)，联结 PD、PE、DE .(1) 直接写出抛物线的解析式；(2) 小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进 而猜想：对于任意一点 P, PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3) 小明进一步探究得出结论：若将“使 PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”, 则存在多个“好点”，且使 PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.

2、请直接写出所有“好点”的个数，并求出厶PDE周长最小时“好点”的坐标.如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点 A, 点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点)，过点P作PF丄BC于点F .点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(-4, 0)，联结PD、PE、DE .(1) 直接写出抛物线的解析式；(2) 小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进 而猜想：对于任意一点 P, PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3) 小明进一步探究得出结论：若将“使 PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”, 则存在

3、多个“好点”，且使 PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出厶PDE周长最小时“好点”的坐标.B图1动感体验请打开几何画板文件名“ 15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使 PDE的面积为整数”的点P共有11个.思路点拨1第(2)题通过计算进行说理设点P的坐标，用两点间的距离公式表示 PD、PF的长.2.第(3)题用第(2)题的结论，把 PDE的周长最小值转化为求 PE + PF的最小值.满分解答(1) 抛物线的解析式为 y1 X2 8 .8(2) 小明的判断正确，对于任意一点P, PD PF = 2.说理

4、如下：设点P的坐标为(x, lx2 8)，那么PF = yF yp= x2 .8 8而 FD2= x2+( x2 8 6)2 x2+(】x2 2)2 (丄 x2 2)2，所以 FD = x2 2 .8 8 8 8因此PD PF = 2为定值.(3) “好点”共有11个.在厶PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD + PE的最小值.而 PD + PE= (PF + 2) + PE = (PF + PE) + 2,因此当 P、E、F 三点共线时， PDE 的周 长最小(如图2).此时EF丄x轴，点P的横坐标为一4.所以 PDE周长最小时，“好点” P的坐标为（4, 6）.考点伸展第（3）

5、题的 如图3,联结11个“好点”是这样求的:OP,那么 Sa PDE= Sa POD +POE SDOE .1 -OD 2GPDE = 3x - X2164因为& POD =1（Xp）3x , SpOE = OE yp21 2 1212 =-x 3x 4 =（x 6）441 2x216 , Sdoe = 12,所以413 .x= 6.因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线如图4,当一8W xw 0时，4W SW 13所以面积的值为整数的个数为10.当S= 12时，方程 l（x 6）2 13 12的两个解一8, 4都在一8 x 0范围内.4所以“使厶PDE的面积为整数”的“好点”

6、P共有11个.例2如图1，在平面直角坐标系中， 抛物线y= ax2 + bx 3(0 )与x轴交于A( 2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C.(1) 求抛物线的解析式；(2) 点P从点A出发，在线段 AB上以每秒3个单位长度的速度向点 B运动，同时点 Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点 C运动.其中一个点到达终点 时，另一个点也停止运动当 PBQ存在时，求运动多少秒时 PBQ的面积最大，最大面 积是多少？(3) 当厶PBQ的面积最大时，在 BC下方的抛物线上存在点 K，使Sacbk : Spbq = 5 : 2,求点K的坐标.ypr图1如图1,在平面直角坐标系中，

7、抛物线y= ax2 + bx 3 (0)与x轴交于A( 2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C.(1) 求抛物线的解析式；(2) 点P从点A出发，在线段 AB上以每秒3个单位长度的速度向点 B运动，同时点 Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点 C运动.其中一个点到达终点 时，另一个点也停止运动当 PBQ存在时，求运动多少秒时 PBQ的面积最大，最大面 积是多少？(3) 当厶PBQ的面积最大时，在 BC下方的抛物线上存在点 K，使cbk : Smbq = 5 : 2,求点K的坐标.动感体验请打开几何画板文件名“ 14昆明23”，拖动点P从A向B运动，可以体验到，当 P运

8、 动到AB的中点时， PBQ的面积最大.双击按钮“ PBQ面积最大”，再拖动点K在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5 .思路点拨PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值.2. PBQ与厶PBC是同高三角形， PBC与厶CBK是同底三角形，把厶CBK与厶PBQ 的比转化为 CBK与厶PBC的比.满分解答(1) 因为抛物线与 x轴交于A( 2, 0)、B(4, 0)两点，所以y= a(x+ 2)(x 4).所以一 8a= 3.解得a 3 .8所以抛物线的解析式为y 3 (x 2)(x 4) 3x2 x 3.884(2) 如图2，过点Q作QH丄x

9、轴，垂足为 H .3在 Rt BCO 中，OB = 4, OC= 3,所以 BC= 5, sinB =3QH = BQsinB= 9 t.5392_93t)-t(t1)51010所以12(65在 Rt BQH 中，BQ = t,1所以 SaPBQ = BP QH因为OWt2，所以当t= 1时， PBQ的面积最大，最大面积是2 。10(3) 当厶PBQ的面积最大时，t = 1,此时P是AB的中点，P(1,0), BQ = 1。 如图3,因为 PBC与厶PBQ是同高三角形， &pbc： pbq= BC : BQ= 5 ： 1。 当 SCBK : Sa PBQ= 5 : 2 时，Sa PBC : S

10、CBK = 2 : 1。因为 PBC与厶CBK是同底三角形，所以对应高的比为2： 1。如图4,过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于 K，那么PB : DB = 2： 1。 因为点K在BC的下方，所以点 D在点B的右侧，点D的坐标为(匕,0).2过点K作KE丄x轴于E.设点K的坐标为(x,3(x 2)(x 4).8由KEDEC0，得BO3Jx 2)( x 4)3-.整理，得 x2 4x+ 3= 0.47).由 SacbK : Sa pbq= 5 : 2, Sapbq =，得SCBK = 910 TP _ H图2图3A图4解得x= 1,或x= 3.所以点K的坐标为(1, 7)或(3,8考点伸展第

11、(3)题也可以这样思考:如图5,过点K作x轴的垂线交BC于F .设点K的坐标为(x-x2-x 3).84由于点F在直线BC： y3x 3上.所以点F的坐标为(x,4x 3).所以 KF = (3x 3) (3x2 3x 3)4843 23xx82 CBK被KF分割为 CKF和厶BKF，他们的高的和为 OB = 4.所以 SaCBK = 4( 3 x22 8图51例3如图1 ,已知抛物线yx2 bx c （b、c是常数，且cv 0 ）与x轴交于A、B2两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点 C,点A的坐标为（一1,0）.（1） b=，点B的横坐标为 （上述结果均用含 c的代数式表示）；（

12、2） 连结BC,过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点 E.点D是x轴上一点，坐标 为（2,0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3） 在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC.设厶PBC 的面积为S. 求S的取值范围； 若 PBC的面积S为正整数，则这样的 PBC共有个.1如图1,已知抛物线yx2 bx c (b、c是常数，且cv 0)与x轴交于A、B两点2(点A在点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点 C,点A的坐标为(一1,0).(1) b=，点B的横坐标为 (上述结果均用含 c的代数式表示)；(2) 连结BC,过点A作直线AE/BC，与抛物线交

13、于点 E.点D是x轴上一点，坐标 为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3) 在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC.设厶PBC 的面积为S. 求S的取值范围； 若 PBC的面积S为正整数，则这样的 PBC共有个.动感体验请打开几何画板文件名“ 13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到， EHA与厶COB保持相似.点击按钮“ C、D、E三点共线”，此时 EHD COD .拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个.请打开超级画板文件名“ 13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到， EHA与厶COB

14、保持相似.点击按钮“ C、D、E三点共线”，此时 EHD COD .拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个.思路点拨1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB = 2OC.2. 当 C、D、E 三点共线时， EHACOB, EHDCOD .3求 PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方.4.求得了 S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值， 再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.满分解答1 一(1) b= c，点B的横坐标为一2c.2(2) 由 yx2 (c )x c (x 1)(x 2c)，设 E(x,

15、(x 1)(x 2c).过点E作EH丄x轴于H.由于 OB = 2OC，当 AE/BC 时，AH = 2EH .所以 x 1 (x 1)(x 2c) 因此 x 1 2c 所以 E(1 2c,1 c).当C、D、E三点在同一直线上时，CO .所以 A_ccDH DO2c 12整理，得2c2+ 3c 2 = 0.解得c =- 2或c 1 (舍去).21x2 3x 2.所以抛物线的解析式为(3)当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交直线BC的解析式为y丄x 2 .2BC 于 F.、r 1231设 P(m, m m 2)，那么 F(m, m 2), FP2 2 2-m2 2m.21所以Sa PBC=

16、SBF+ Sa PCF = PBC的最大值为SA ABC = 5，所以2FPm2 4m (m2)2因此当P在BC下方时， 当P在BC上方时，因为 综上所述，0 V SV 5.若 PBC的面积S为正整数，则这样的4.SAPBC V 5.PBC共有11个.考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中， PBC的面积为整数，依次为 (5) , 4, 3,2, 1 , (0), 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, (0).当P在BC下方，S= 4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点.例4如图1 ,在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、0(0, 0),

17、将此三角板绕原点 O逆时针旋转90,得到三角形 ABO.(1 )一抛物线经过点 A、B、B,求该抛物线的解析式；(2) 设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P,使四边形PB A B的面积是 A B 0面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，试指出四边形 PB A B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质./A O|B如图1在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、0(0, 0),将此三角板绕原点 O逆时针旋转90，得到三角形 ABO.(1 )一抛物线经过点 A、B、B,求该抛物线的解析式；(2) 设点P

18、是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P,使四边形PB A B的面积是 A B 0面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，试指出四边形PB A B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.图1动感体验请打开几何画板文件名“ 12荷泽21 ”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到，当四边形 PB A B是等腰梯形时，四边形 PB A B的面积是厶A B 0面积的4倍.请打开超级画板文件名“ 12荷泽21 ”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到，当四边形 PB A B是等腰梯形时，四边形 PB A B的面积是厶A B 0面积

19、的4倍.思路点拨1四边形PB A B的面积是厶A B 0面积的4倍，可以转化为四边形PB OB的面积是 A B 0面积的3倍.2.联结P0,四边形PB 0B可以分割为两个三角形.3过点向x轴作垂线，四边形 PB 0B也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.满分解答(A0B绕着原点0逆时针旋转90,点A 、B的坐标分别为(一1,0)、(0, 2). 因为抛物线与x轴交于A ( 1,0)、B(2, 0)，设解析式为y= a(x+ 1)(x 2),代入 B (0, 2)，得 a = 1.所以该抛物线的解析式为y = (x+ 1)(x 2) = x2 + x+ 2.(2) Sa a b 0= 1.如

20、果S 四边形PB A B = 4 Saa b 0= 4，那么 S 四边形PB 0B = 3 Sa a b 0= 3.如图2,作PD丄0B，垂足为D.设点P的坐标为(x, x2 + x+ 2).1121312S弟形pb0dD0(B0 PD) - x(2 x x 2)?x 2x .PDB1DB PD 1(2 x)( x2 x 2) !x3 3 x2 2 -2 2 22所以S四边形PBA DS梯形PBODS PDBX2 2x+2 解方程一 x2 + 2x+ 2 = 3,得 Xi= X2= 1 所以点P的坐标为(1 , 2) 图2图3图4(3)如图3,四边形PBAB是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对

21、角线相等；等腰 梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线.考点伸展第(2)题求四边形PBOB的面积，也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.PBO2B。xP12x x PBO12b。yP2(x 2)x2 x 2 所以S四边形PBAdS PBOS PBOx22x+2 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:作厶A OB 关于抛物线的对称轴对称的厶BOE ,那么点E的坐标为(1 , 2) 而矩形EB OD与厶A OB 、 BOP是等底等高的，所以四边形 EB A B的面积是厶A B O 面积的4倍.因此点E就是要探求的点 P 例5如图1在平面直

22、角坐标系中，直线 v 1X 1与抛物线y= ax2 + bx 3交于A、B2两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与 点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线 AB于点C,作PD丄AB于点D .(1) 求 a、b 及 sin / ACP 的值；(2) 设点P的横坐标为m. 用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值； 连结PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9 : 10?若存在，直接写出 m的值；若不存在，请说明理由.如图1,在平面直角坐标系中， 直线y 1 x 1与抛物线y= ax2

23、+ bx 3交于A、B两点，2点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线 AB于点C,作PD丄AB于点D .（1）求 a、b 及 sin / ACP 的值；（2）设点P的横坐标为m. 用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值； 连结PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9 : 10?若存在，直接写出 m的值；若不存在，请说明理由.I 0)交于点B(2, 1).过点xP(p,p 1)(p 1)作x轴的平行线分别交曲线y m(x 0)和y - (x0)交于点B

24、(2, 1).过点P(p, p 1)(px 1)作x轴的平行线分别交曲线 y m(x 0)和y m(XV 0)于M、N两点.Xx(1) 求m的值及直线I的解析式；(2) 若点P在直线y= 2上，求证： PMBPNA;(3) 是否存在实数p,使得Ssmn = 4Samp?若存在，请求出所有满足条件的p的值； 若不存在，请说明理由.请打开几何画板文件名“ 11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直 线MN经过(0, 2)点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形； AMN和厶AMP是两 个同高的三角形，MN = 4MP存在两种情况.思路点拨1第(2)题准确画图，点的位置关系尽在图形中.

25、2.第(3)题把 & AMN = 4Samp转化为MN = 4MP，按照点 M与线段NP的位置关系分 两种情况讨论.满分解答(1) 因为点B(2, 1)在双曲线y m上，所以m = 2.设直线I的解析式为y kx b ,xk b 0k 1代入点A(1, 0)和点B(2, 1)，得k b 0,解得k 1所以直线|的解析式为y x 1.2k b 1.b 1.(2) 由点P(p, p 1)(p 1)的坐标可知，点 P在直线y x 1上 x轴的上方.如图 2,当y= 2时，点P的坐标为(3, 2).此时点M的坐标为(1 , 2)，点N的坐标为(一1, 2).由P(3, 2)、M(1 , 2)、B(2,

26、 1)三点的位置关系，可知 PMB为等腰直角三角形.由P(3, 2)、N(- 1, 2)、A(1, 0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形.所以 PMB PNA.（3）A AMN和厶AMP是两个同高的三角形，底边 MN和MP在同一条直线上.当 Saamn = 4Saamp 时，MN = 4MP .如图3,当M 在 NP 上时，Xm xn = 4(xp xm).因此113 (此时点2M在 NPP在X轴下方，舍去）.22-(-)4 (x xx此时p 113.2的延长线上时，xm xn = 4(xm xp).因2(-)x(x1）.解得X15 （此时点P在x轴下方，舍去）.21.52考点伸展在

27、本题情景下， AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5,Z AMN = 90,此时点 M的坐标为（1 , 2）,点P的坐标为（3, 2）.情形二，如图6,/ MAN = 90 ,此时斜边 MN上的中线等于斜边的一半.不存在/ ANM = 90的情况.11141E亠忆*/AQr图5图6例7如图1四边形 OABC是矩形，点 A、C的坐标分别为(3,0), (0,1).点D是线段1BC上的动点(与端点 B、C不重合)，过点D作直线y - X b交折线OAB于点E .(1) 记厶ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2) 当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 O1A1

28、B1C1, 试探究四边形 O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0), (0,1).点D是线段BC上1的动点(与端点 B、C不重合)，过点D作直线y x b交折线OAB于点E.2(1) 记厶ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2) 当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 O1A1B1C1, 试探究四边形 O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠动感体验请打开几何画板文件名“ 10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函

29、数图象，可以体验到， E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而 减小.双击按钮“第(3)题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重 叠部分的形状是菱形，面积不变双击按钮“第( 2)题”可以切换.思路点拨1数形结合，用 b表示线段OE、CD、AE、BE的长.2.求 ODE的面积，要分两种情况.当 E在OA上时，OE边对应的高等于 OC;当E 在AB边上时，要利用割补法求 ODE的面积.3第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形.4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理.满分解答(1)如图2,当E在OA上时，由yx b可知，点E的坐标为(2b,

30、0), OE= 2b.此211时 S= Sode = OE OC 2b 1 b.22如图3，当E在AB上时，把y= 1代入yCD = 2b 2, BD = 5-2b.把 x= 3 代入 y1-X b可知，点D的坐标为(2b 2,1),23b可知，点E的坐标为(3, b ) , AE=b 3 , BE = 5 b .此时2 2OABC关于直线 DE对称，因此 DM = DN，那 DMEN是菱形.作DH丄OA,垂足为 H .由于 CD = 2b 2, OE= 2b,所以EH = 2.设菱形 DMEN的边长为 m.在 RtA DEH中，DH = 1, NH = 2 m, DN = m,所以12 +55(2 m)2= m2解得 m.所以重叠部分菱形 DMEN的面积为44S= S 矩形 OABC SA OAE SA BDE SA OCD1 3 1512 1(2b 2)=3 3(b) -(b)(5 2b)2 2 2 2.25.b b.2如图4,因为四边形 O1A1B1C1与矩形么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形考点伸展把本题中的矩形 OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5）,如图6所示；最大面积为BCDMB-GONE*C