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1、 第二讲数形结合思想1 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确2 数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既
2、分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围3 实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义如等式(x2)2(y1)24，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆1(20xx重庆)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|
3、PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.答案A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，那么|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而|PM|PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|454.2 (20xx大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2 C. D.答案C解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O、A、C、B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.3 (20xx山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线
4、OM斜率的最小值为()A2 B1 C D答案C解析如图，由得A(3，1)此时直线OM的斜率最小，且为.4 (20xx课标全国)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析函数y|f(x)|的图象如图当a0时，|f(x)|ax显然成立当a0时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时，只需在x0时，x22xax成立即ax2成立，a2.综上所述：2a0.故选D.5 (20xx天津)已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_答案
5、(0,1)(1,4)解析根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点题型一数形结合解决方程的根的个数问题例1(20xx福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_审题破题本题以新定义为背景，要先写出f(x)的解析式，然后将方程f(x)m根的个数转化为函数yf(x)的图象和直线ym的交点个数答案解析由定义可知，f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知，当0m时，f(x)m(mR)恰有三个互不相
6、等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x20，且x2x321，x2x3.令解得x.x10，x1x2x30.反思归纳研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法一般地，方程f(x)0的根，就是函数f(x)的零点，方程f(x)g(x)的根，就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标变式训练1已知：函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2， 则方程f(x)lg x解的个数是()A5 B7 C9 D10答案C解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的函数又f(x)lg x，则x(0,10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共
7、9个交点题型二数形结合解不等式问题例2设有函数f(x)a和g(x)x1，已知x4,0时恒有f(x)g(x)，求实数a的取值范围审题破题x4,0时恒有f(x)g(x)，可以转化为x4,0时，函数f(x)的图象都在函数g(x)的图象下方或者两图象有交点解f(x)g(x)，即ax1，变形得x1a，令y，yx1a. 变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；表示斜率为，纵截距为1a的平行直线系设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：yxb(b0)，则圆心(2,0)到AT的距离为d，由2得，b6或(舍去)当1a6即a5时，f(x)g(x)反思归纳解决含参数的不等式
8、和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围变式训练2已知不等式x2ax2a20的解集为P，不等式|x1|3的解集为Q，若PQ，求实数a的取值范围解x2ax2a2(x2a)(xa)0.|x1|3Qx|4x2当2a0时，Px|2axaPQ，解得0a，即a0时，Px|ax2a，PQ，解得1a0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则的取值范围为()A(，1) B(，1C(2,1 D(2,1)审题破题先根据图象确定a，b满足的条件，然后利用的几何意义两点(a，b)，(1,0)连线斜率求范围答案D解析因为a0，所以二次函数f(
9、x)的图象开口向上又f(0)1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内，则有即如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子表示平面区域内的点P(a，b)与点Q(1,0)连线的斜率而直线QA的斜率k1，直线4a2b10的斜率为2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为(2,1)故选D.反思归纳如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)(a，b)、(m，n)连线的斜率；(2)(a，b)、(m，n)之间的距离；(3)a2b2c2a、b、c为直角三角形的三边；(4)f
10、(ax)f(bx)f(x)图象的对称轴为x.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法变式训练3已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是()A2,4 B2,16 C4,10 D4,16答案B解析画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，最大值为|QA|216.d22()22.取值范围是2,16题型四数形结合解几何问题例4已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时
11、，点P的坐标为()A(，1) B(，1)C(1,2) D(1，2)审题破题本题可以结合图形将抛物线上的点P到焦点的距离转化为到准线的距离，再探求最值答案A解析定点Q(2，1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q的距离和点P到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y1和抛物线y24x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(，1)反思归纳在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值变式训练4已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切
12、线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值解从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.(S四边形PACB)min 2|PA|AC|2.典例(12分)已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象
13、有三个不同的交点，求m的取值范围规范解答解(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)；单调减区间为(，)4分(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.6分f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：m的取值范围是(3,1)12分评分细则(1)求出f(x)给1分，不写出
14、单调区间扣1分；(2)只画图象没有说明极值扣2分；(3)没有结论扣1分，结论中范围写成不等式形式不扣分阅卷老师提醒(1)解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象；(2)解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m的取值范围1 设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有()Af()f(2)f()Bf()f(2)f()Cf()f()f(2)Df(2)f()|1|1|，f()f()f(2)2 设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则函数yg(x)f(x)x的零点个数为()A1 B2 C3
15、 D4答案C解析由f(4)f(0)得164bcc.由f(2)2，得42bc2.联立两方程解得：b4，c2.于是，f(x)在同一直角坐标系内，作出函数yf(x)与函数yx的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点3 若方程xk有且只有一个解，则k的取值范围是()A1,1) BkC1,1 Dk或k1,1)答案D解析令yxk，令y，则x2y21(y0)作出图象如图：而yxk中，k是直线的纵截距，由图知：方程有一个解直线与上述半圆只有一个公共点k或1k1.4 设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.2C1 D1答案D解析由于(ac)(bc)(ab)c1，因此等价
16、于求(ab)c的最大值，这个最大值只有当向量ab与向量c同向共线时取得由于ab0，故ab，如图所示，|ab|，|c|1，当0时，(ab)c取最大值，故所求的最小值为1.5 当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D(，2)答案B解析由04x0，可得0a1，由4 loga可得a.令f(x)4x，g(x)logax，若4xlogax，则说明当0.综上可得a的取值范围是.6 已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|PM|的最小值是_答案1解析如图，抛物线yx2，即x24y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y1上的射
17、影为P，根据抛物线的定义知，|PP|PF|，则|PP|PA|PF|PA|AF|.所以(|PA|PM|)min(|PA|PP|1)min1.专题限时规范训练一、选择题1 已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x0的解集是()A.(0,1)B.(0,1)C(3，1)(0,1)(1,3)D.(0,1)(1,3)答案B解析根据对称性画出f(x)在(3，0)上的图象如图，结合ycos x在(3,0)，(0,3)上函数值的正负，易知不等式f(x)cos x0的解集是(0,1).2 已知函数f(x)若a、b、c互不相等，且f(a)f(b)f(
18、c)，则abc的取值范围是()A(1,10) B(5,6)C(10,12) D(20,24)答案C解析a，b，c互不相等，不妨设abc，f(a)f(b)f(c)，由图象可知，0a1,1b10,10c12.f(a)f(b)，|lg a|lg b|，即lg alg ，a.则ab1，所以abcc(10,12)3 用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x (x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5 C6 D7答案C解析画出y2x，yx2，y10x的图象，如图所示，观察图象，可知当0x2，f(x)2x，当24时，f(x)10x，f(x)的最大值在x4时取得，为
19、6.4 函数f(x)()xsin x在区间0,2上的零点个数为()A1 B2C3 D4答案B解析函数f(x)()xsin x在区间0,2上的零点个数即为方程()xsin x0在区间0,2上解的个数因此可以转化为两函数y()x与ysin x交点的个数根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.5 已知双曲线1 (a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2 B(1,2)C2，) D(2，)答案C解析渐近线yx与过焦点F的直线l平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支有一个交点，即c2a2b2
20、4a2，e2.6 设asin ，bcos ，ctan ，则()Aabc BacbCbca Dbac答案D解析asin sinsin ，又，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos OA，sin AB，tan MN，cos sin tan ，即bac.7 不等式x2logax0在x(0，)时恒成立，则a的取值范围是()A0a1 B.a1 D0a答案B解析不等式x2logax0转化为x2logax，由图形知0a0，m1，故m的取值范围是m1.11若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案a1解析设函数yax(a0且a1)和函数yxa.则函数f(x)axx
21、a(a0且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)的图象与函数yxa的图象有两个交点由图象可知，当0a1时，两函数只有一个交点，不符合；当a1时，因为函数yax(a1)的图象过点(0,1)，而直线yxa的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点所以实数a的取值范围是a1.12已知函数f(x)，则关于x的方程ff(x)k0，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有1个实根；存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根其中正确命题的序号是_(把所有满足要求的命题序号都填上)答案解析依题意知函
22、数f(x)0，又ff(x)依据yff(x)的大致图象(如图)知，存在实数k，使得方程ff(x)k0恰有1个实根；存在实数k，使得方程ff(x)k0恰有2个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根综上所述，其中正确命题的序号是.三、解答题13已知函数f(x)x3ax2bx.(1)若函数yf(x)在x2处有极值6，求yf(x)的单调递减区间；(2)若yf(x)的导数f(x)对x1,1都有f(x)2，求的范围解(1)f(x)3x22axb，依题意有即解得f(x)3x25x2.由f(x)0，得x2.yf(x)的单调递减区间是.(2)由得不等式
23、组确定的平面区域如图阴影部分所示：由得Q点的坐标为(0，1)设z，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线的斜率kPQ1，由图可知z1或z2，即(，2)1，)14设关于的方程cos sin a0在区间(0,2)内有相异的两个实根、.(1)求实数a的取值范围；(2)求的值解方法一(1)设xcos ，ysin ，则由题设知，直线l：xya0与圆x2y21有两个不同的交点A(cos ，sin )和B(cos ，sin )所以原点O到直线l的距离小于半径1，即d1，2a2.又、(0,2)，且.直线l不过点(1,0)，即a0.a，即a(2，)(，2)(2)如图，不妨设xOA，xOB，作OHAB，垂足为H，则BOH.OHAB，kABkOH1.tan .又(0,2)，或.方法二(1)原方程可化为sin ()，作出函数ysin (x)(x(0,2)的图象由图知，方程在(0,2)内有相异实根，的充要条件是，即2a或a2.(2)由图知：当a2，即时，直线y与三角函数ysin(x)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为，.当2a，即时，直线y与三角函数ysin(x)的图象有两交点A、B，由对称性知，综上所述，或.
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