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1、讲座1离散频谱校正技术及其在发动机扭转振动测试分析中的应用一、频谱分析频谱分析是现代信号处理技术的最基本和常用的方法之一，在生产实践和科学研究中获得日益广泛的应用。例如，对汽车、飞机、轮船、汽轮机等各类旋转机械、电机、机床等机器的主体或部件进行实际运行状态下的谱分析，可以提供设计数据和检验设计效果，或者寻找振源和诊断故障，保证设备的安全运行等；在声纳系统中，为了寻找海洋水面船只或潜艇，需要对噪声信号进行谱分析，以提供有用信息，判断舰艇运动速度、方向、位置、大小等。因此对谱分析方法的研究，受到普遍注意和重视，是当前信号处理技术中一个十分活跃的课题。在频谱分析中需要考虑两个重要的问题，一是怎样提高
2、分析速度，包括采用FFT 等各类算法、减少分析点数等；二是怎样提高分析精度，这需要采用加窗、频谱修正等技术压低旁瓣、抑制泄漏或修正时域截断的影响。 1.傅立叶级数 (1) 周期信号与傅立叶级数 一个周期信号f(t)，当满足狄义赫利(Dirichlet)条件，即：周期性函数在一个周期内只有有限个极值点，只有有限个第一类间断点(这种间断点处左、右极限存在)，而其余各处都是连续的，这时可以用一个傅立叶级数来表示：(1.1.1)式中： (1.1.2)(1.1.3)(1.1.4) 为静态分量，T为信号周期，为基频且，为第n次谐波的频率（n=1,2,3）为基频园频率。第n次谐波的幅值：(1.1.5)第n次
3、谐波的初相位：(1.1.6) (2) 傅立叶级数的物理意义 a. 任意一个周期函数，只要满足一定条件，都可以由以基频f的谐波与整数倍基频的高次谐波的和，这就是周期信号合成的原理。 b. 周期信号中的任一阶频率成分的幅值、相位都可以通过傅立叶级数展开得到，这是周期信号分解的原理，在机械振动分析中，常用这一原理来求旋转机械基频以及高次谐波的幅值和相位。也就是说周期函数的频谱实质上是由一系列与基频有关的离散频谱构成，基波频率和谱线间隔都是1/T。 c. 这一原理也可以扩展来求周期信号的 (m, k均为正整数，km)倍谐波，只要将新周期扩大为原周期的m倍，在机械振动分析中，常用这一原理来求旋转机械涡流
4、振动的半频成分和扭振中有理数分频成分的幅值和相位。根据式1.1.3和1.1.4，周期信号的 (m, k均为正整数，km)倍谐波的实部和虚部可变换为：(1.1.7)(1.1.8)相应的幅值和相位为：(1.1.9)(1.1.10) d. 利用整周期信号的傅立叶级数展开求出的基频以及高次谐波的幅值和相位对应于对同一周期信号进行整周期截断做傅立叶变换(DFT)求得的各条谱线的幅值和相位。其实质是对周期信号进行整周期采样、无泄漏离散DFT求出的基频和高次倍频的幅值和相位。 第n阶的幅值和相位为：(1.1.11)(1.1.12) (3) 傅立叶级数的指数形式根据欧拉公式存在有下列关系：(1.1.15) 将
5、(1.1.15)代入(1.1.1)中并整理得：(1.1.16)式中：若令(1.1.15)式中第三项n取值从到，则该项可表示为，于是得到另一种傅立叶级数的展开式，即指数展开式：(1.1.17)式中，为傅立叶系数：(1.1.18)为一复数，故将上式称为周期信号的复数形式傅立叶展开式。由于n可取负数，就意味着“负频率”，这是由复数表示所引起的。例： 周期方波的傅立叶级数展开 函数表达式为:(1.1.19)满足狄义赫得条件,其傅立叶级数存在。(1.1.20)(1.1.21)则：图1.1.1 周期方波的傅立叶级数(1.1.22)式中。 2. 傅立叶变换 (1) 傅立叶变换 傅立叶级数是将周期信号分解为离
6、散谱线，其积分的上、下限必须满足整周期的条件，也只能分析离散谱线，具有很大的局限性。对于一个非周期信号，我们可以把它看成一个周期T趋于无穷大的周期信号，这种信号的基频、谱线间隔都将变成无穷小而趋近于零。显然，这时组成频谱的谱线越来越密集，从而使离散谱线过渡到连续频谱，由此可引出傅立叶变换对的概念。 傅立叶正变换的定义：(1.2.1) 傅立叶逆变换的定义是：(1.2.2)傅立叶正变换和逆变换构成一个傅立叶变换对，其典型表达式如下：(1.2.3)傅立叶变换的物理意义是建立了时间域和频率域的关系，可以将连续的时间域函数变换成连续的频率域函数，观察信号的频率分布；也可以将连续的频率域函数变换成连续的时
7、间域函数，观察信号的波形特征。(2) 脉冲函数的傅立叶变换建立脉冲函数的傅立叶变换是重要的，因为它的使用可极大的简化许多函数傅立叶变换的推导。a.脉冲函数定义为：(1.2.4)(1.2.5)函数的筛选特性（采样特性）：(1.2.6)(1.2.7)其中是在处连续的任意函数。应用脉冲函数序列的傅立叶级数展开的定义可以直接得到许多重要函数的傅立叶变换。b. 函数的傅立叶变换函数为：(1.2.8) 函数的傅立叶变换为(1.2.9) 的傅立叶逆变换为：(1.2.10) 因为第二个积分的被积函数是奇函数，在对称区间的积分为零。第一个积分要使用广义函数的概念才能算出（参见Papoulis的书第281页）为：
8、(1.2.11)即存在下列关系式：(1.2.12)图1.2.1 函数的傅立叶变换 (1.2.13) 这个关系式是推导许多傅立叶变换的基础(3) 几种典型信号的傅立叶变换给出一些典型信号的傅立叶变换对，了解它们变换过程和结果，可使我们进一步加深对傅立叶变换的理解，深入认识信号从时域到频域的转换过程，为今后的推导和了解傅立叶变换的性质提供帮助。 a.余弦信号的傅立叶变换(1.2.14) 其傅立叶变换为：(1.2.15) 根据(1.2.13)式有：(1.2.16)(a).时域波形 (b).傅立叶变换图1.2.2 余弦信号的傅立叶变换 余弦信号的傅立叶变换为纯实数，虚部为零，见图1.2.2。 余弦信号
9、的傅立叶变换对：(1.2.17) b.正弦信号的傅立叶变换(1.2.18) 参考(1.2.13)式，其傅立叶变换为：(1.2.19)正弦信号的傅立叶变换为纯虚数，实部为零，见图1.2.3。正弦信号的傅立叶变换对：(a).时域波形 (b).傅立叶变换图1.2.3 正弦信号的傅立叶变换(1.2.20) c.一般谐波信号的傅立叶变换(1.2.21) 参考(1.2.13)式，其傅立叶变换为：(1.2.22) 一般谐波信号的傅立叶变换为复数，见图1.2.4。 显然令，则(1.2.21)变为：即余弦信号的傅立叶变换 令，则(1.2.21)变为：即正弦信号的傅立叶变换 一般谐波信号的傅立叶变换对：(1.2.
10、23)(a).时域波形 (b).傅立叶变换图1.2.4 一般谐波信号的傅立叶变换 d.直流信号的傅立叶变换(1.2.24) 参考(1.2.13)式，其傅立叶变换为：(1.2.25) 直流信号的傅立叶变换为纯实数，是频率为零而幅值为K的函数，见图1.2.5。 直流信号的傅立叶变换对：(a).时域波形 (b).傅立叶变换图1.2.5 直流信号的傅立叶变换(1.2.26)e. 矩形窗的傅立叶变换矩形脉(1.2.27)傅立叶变换(1.2.28)图1.2.6 矩形窗的时域信号与窗谱模函数令积分区间为，即新区间为原区间的一半，则上式变为：f.哈明(Hanning)和海宁(Hamming)窗(1.2.29)
11、 考虑被积函数为奇函数时积分为零，其傅立叶变换为：(1.2.30)令：(1.2.31)则(1.2.30)可以写为：(1.2.32) 哈明(Hanning)窗：令 a0.5，新的区间为原区间的一半，即则哈明(Hanning)窗的傅立叶变换为：(1.2.33) 令，则(1.2.33)式变换为：(1.2.34)令：(1.2.35) 则(1.2.34)式变换为：(a).时域波形 (b).傅立叶变换图1.2.7 哈明(Hanning)窗的傅立叶变换(1.2.36) 哈明(Hanning)窗的傅立叶变换对：(1.2.37)(1.2.38) 海宁(Hamming)窗：令a0.54，新的区间为原区间的一半，即
12、，参照哈明(Hanning)窗的傅立叶变换推导得到海宁窗的傅立叶变换对：(1.2.39)(1.2.40)(a).时域波形 (b).傅立叶变换图1.2.8 海宁(Hamming)窗的傅立叶变换 g.脉冲序列(采样函数)(1.2.41) 用脉冲序列(采样函数)傅立叶级数的指数形式展开式进行傅立叶变换得: (a) 时域波形 (b) 傅立叶级数图1.2.9 脉冲序列(采样函数)函数的傅立叶变换(1.2.42) (3) 傅立叶变换的性质表4.1.1 傅立叶变换的性质时 域频 域X线性相加线性相加时间尺度的改变频率尺度的改变时间尺度的改变频率尺度的改变对 称 性对 称 性时间位移相 移调 制频率位移实、偶
13、函数实、偶函数实、奇函数虚、奇函数实 函 数实部为偶函数虚部为奇函数虚 函 数实部为奇函数虚部为偶函数时域卷积定理两时域信号卷积的傅立叶变换为各信号傅立叶变换的乘积频域卷积定理两时域信号相乘的傅立叶变换为各信号傅立叶变换的卷积巴什瓦定理时域信号的总能量等于频域中计算的总能量3频谱分析(1) 频谱分析的基本用途图1.3.1是典型时域信号的频谱分析，其实质是谐波(余弦波)分解确定谐波的频率、幅值和相位，其特点是把复杂的时域信号变换成简洁的频率信号，一目了然的观察到信号有哪些频率，其相位和幅值大小是多少，可对信号进行简明和直观的分析。图1.3.1 典型时域信号的频谱分析 信号波形(时域) 频谱(频域
14、)(2).频谱的作法(离散傅立叶变换DFT) 时域连续信号x(t)的采样信号为(1.3.1) 为采样间隔。离散傅立叶变换为：(1.3.2) 频率、时间离散化得：(1.3.3)进行时域截断，得到实际计算的离散频谱为(1.3.4)式中k为谱线号，N为时域序列长度，实部(1.3.5)虚部(1.3.6)令，则(1.3.7) 由此有离散傅立叶变换对：(1.3.8)这就是离散傅立叶变换（DFT）的基本公式。(3) 由DFT的结果作谱由DFT得到：实部 虚部 幅值谱 (1.3.9)功率谱(1.3.10)对数谱 (dB) 分贝(1.3.11)相位谱(1.3.12)上述四种谱是正频率部分；是负频率部分。 幅值谱
15、代表了该谐波频率时域信号的有效值，是时域信号各谐波的幅值随频率的线性分布；功率谱代表功率，是谐波频率时域信号幅值的自乘，突出主要频率成分；对数谱反应平均主义，小值加大权，大值加小权，突出幅值小的频率成分。谱图横坐标确定频率： 频率分辩率(1.3.13)(1.3.14)图1.3.2 谱分析横坐标正负频率的关系以N8为例，fs=80Hz，图1.3.2是某信号的谱分析结果，要特别注意图中横坐标正负频率的关系。对实信号来说，DFT实部为偶对称，虚部为奇对称，故幅值谱为偶对称，如图1.3.3所示。图1.3.3 实信号的频谱分析幅值谱系数的说明：a.由于作DFT为N点投影累加，故N增大，X(k)增大，以直
16、流为例很容易理解这一点，为使谱分析幅值能反应信号的实际幅值大小，故应除以N，这样就是均值；b.由于作DFT后有一半的能量到了负频率区域，故要真实反应信号幅值，应乘以2，这样系数就是2/N；频谱分为双边谱和单边谱，双边谱是指正负频率都存在时的频谱，单边谱是指只存在正频率部分，把负频率部分的能量叠加到相应正频率部分，即正频率部分幅值乘2时的频谱。c.按照电学上的习惯，对正弦交流信号，有效值为峰值的，故为使幅值谱反应交流信号的有效值，这样：如信号为 A为幅值幅值谱中 图1.3.4 某信号的谱分析结果d.频谱的幅值有三种表示方法，一种是有效值谱，一种是单峰值谱，一种是双峰值谱。单峰值谱就是上式幅值谱乘
17、以系数，双峰值谱是上式幅值谱乘以系数2。各种频谱分析仪器根据测试分析对象的不同采用其中的一种，如用电涡流相对式位移传感器测试分析旋转机械轴相对轴承的振动位移时采用双峰值谱；测齿轮箱箱体的振动时多采用有效值谱。(4) 由谱分析的结果合成时域波形(相位的含义)图1.3.4是某信号的谱分析结果，根据此结果合成的时域信号为：(1.3.15)由此可知，离散傅立叶变换的实质是余弦变换。相位对应于时间序列起点的位置。图1.3.5 相位对应于时间序列起点的位置但要说明，由DFT而得到的相位角误差极大，最大误差达900。4.信号处理的里程碑：时域到频域的转换 (1). 快速傅立叶变换FFT(Fast Fouri
18、er Transform)的历史概述 在十九世纪六十年代中期的美国“总统科学谘询委员会”的一次会议期间，加文(Garwin)注意到图基正在写有关傅立叶变换的文章。当时加文在他自己的研究中，极需要一个计算傅立叶变换的快速方法，因此，他详细询问了图基关于计算傅立叶变换的技术知识。图基概括地对加文介绍了一种方法，它实质上就是后来著名的库利图基算法。 随后加文就到约克敦(Yprktown Heights)的IBM研究所计算中心去，请求把该方法程序化。当时，库利是IBM研究中心的一个比较新的工作人员，由于他是唯一的一个没有重要工作的人，因此主动承担了这个任务。在加文的迫切要求下，库利很快设计出一个计算机
19、程序，之后他就回到自己的工作项目上去，他以为这个题目已经结束，可以把它忘掉。然而，人们纷纷要求复印这个程序，介绍性的文章也开始多起来了，并要求库利写一篇关于这个算法的报告。1965年库利-图基在计算数学(Mathematics of Computation)杂志上发表了著名的“机器计算傅立叶变换的一种算法”的文章。 如果没有加文的努力，快速傅立叶变换相对说来可能到今天还不为大家所知道，或者说至少要晚很多年才能为大家所知道。这里用了相对这个词，是因为在库利和图基发表了他们的研究成果之后，别人利用类似技术的报告开始流行，快速傅立叶变换这个词才被应用。加利福尼亚州拉霍亚(La Jolla)海洋学院的
20、拉德尼克(Rudnick) 的报告说，他曾用过类似的方法，并说他的想法是从丹尼尔森(Danielson)和兰斯佐斯(Lancxos)1942年发表的一篇文章中得到的，而1942年这篇文章又是参考了朗格(Runge)的文章作为他们方法的来源。其实在朗格的这两篇报告以及朗格和康尼克(Konig)的讲课笔记中，已经发现了我们今天所知道的FFT算法在计算上的优越性。 (2).快速傅立叶变换的优点 快速傅立叶变换FFT是库利和图基于1965年提出的DFT的一种快速算法，FFT与DFT所依据的变换公式是一样的，只是FFT算法减少了乘法和加法的次数，因而大大提高了运算速度。表1.4.1是DFT和FFT复数乘
21、法次数对照表，显然点数越多，FFT比DFT乘法运算次数减少的越多。 表1.4.1 DFT和FFT复数乘法次数对照 阶数(M) 点数(N=2m) DFT复乘次数(N2) FFT复乘次数(M.N/2) 8 256 256256 65536 8256/2 1024 9 512 512512 262144 9512/2 2034 10 1024 102410241970176 101024/25120 11 2048 204820484194304 112048/211264 按DFT算法中摆圈的算法来看，在进行多圈运算时， 将数据组合后只摆一圈会大大节省计算投影和的时间。FFT就是根据这一特性来达到减少乘法次数的目的，同时也大大减少了加法次数。(3) 1956年开始，计算机的发展和FFT算法的出现信号处理从时域到频域的里程碑式的转换，是工程信号处理的一次飞跃和革命。17 / 17文档可自由编辑打印
离散频谱校正技术及其在发动机扭转振动测试分析中的应用
