概率论与数理统计：第三章多维随机变量及其分布

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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 1 二维离散型随机变量二维离散型随机变量1.1 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律 二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表解解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则(X,Y)的联合分布律为3 26(0,0)5 420P XY3 26(0,1)5 420P XY1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质二维离散型随机变量联合分布律的性质性质性质1 01ijp0(,)1ijP Xx Yy01ijp证证 因为,所以 性质性质2 111ijijp1111(,)( )1ijijijijpP

2、 Xx YyP 证证 证证 ,(, )(,)ijijx x y yP X YGPxx yy(,)(,)(,)ijijijijx yGx yGP xx yypY X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16解解 PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i)(ij),于是(X,Y)的分布律为(3,2)P XY1111120488121232 二维连续性随机变量二维连续性随机变量 2.1二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数 ( , )(,)ijijxx yyF x yP Xx Yyp 设二维离散型随机变量

3、X和Y具有分布律PX= xi,Y= yj=pij ,(i,j=1,2,.)，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 其中和式是对一切满足xix,yjy的来求和的.(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oxy2.2二维随机变量联合分布函数的性质二维随机变量联合分布函数的性质 性质性质1 F(x,y)分别关于分别关于x和和y单调不减单调不减. 证证 对任意的 12xx因为12(,)(,)Xx YyXx Yy 所以12(,)(,)P Xx YyP Xx Yy即12( , )(, )F x yF xy 同理可证,对任意的12yy 有12( ,)( ,)F x yF x y性质

4、性质3 F(x,y)分别关于分别关于x和和y右连续右连续. 2.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 解解 (1)由 ( , )1f x y dxdy 得11016xkdx kxdy 所以 k=6(2) 112101(1)664xx yxP XYxdxdyxdxdy 解解 由( , )( , )yxF x yf u v dudv ( , )0f x y 则( , )0F x y 当x1,y1时, 221 1111( , )( , )(1)(1)yyxxF x yf u v dudvdudvu vxy 所以(X,Y)的联合分布函数11(1)(1)1,1( , )0 xyxyF x y其它 例

5、:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度其他, 00, 0,2),()2(yxeyxpyx (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率PYX. 解:(1) yxdudvvupyxF),(),(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.),(GYXPXYP 其他, 00, 0,200)2(yxvuyxdudve其他, 00, 0),1)(1 (2yxeeyxGdxdyyxp),( 0)2(312ydxdyyxe 关于二维随机向量的讨论,可以推广到n(n2)维随机向量的情况. 设(X1, X2, Xn)为n维随机向量,对于任意n个实数x1, x2, xn,n元函数

6、F(x1, x2, xn)=PX1x1,X2 x2, Xn xn称为n维随机向量(X1, X2, Xn)的分布函数或随机变量X1, X2, Xn的联合分布函数.它具有类似于二维随机向量的分布函数的性质.2.4 常用的二维连续型随机变量常用的二维连续型随机变量 3 边缘分布边缘分布 3.1 边缘分布函数边缘分布函数 边缘分布函数完全由联合分布函数确定. ( )()(,)( ,)lim( , )XyFxP XxP Xx YF xF x y ( )()(,)(, )lim( , )YxFyP YyP XYyFyF x y 解解 (X,Y)关于X的边缘分布函数 0.50.50.5()0.5( )( ,

7、)lim( , )lim10100000Xyxyx yxyFxF xF x yeeexexxx 0.50.50.5()0.5( )(, )lim( , )lim1010.0000Yxxyx yyxFyFyF x yeeeyeyyy 解解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数 3.2 边缘分布律边缘分布律 (1) (X,Y)关于X的边缘分布律.111()(,()(,),iiijijijjjjpP XxP XxYyP Xx Yyp.111()( (),)(,),jjijijijiiipP YyPXxYyP Xx Yyp(2) (X,Y)关于Y的边缘分布律1,2,i 1,2,j 解解 PX=i,Y=j=P

8、Y=j|X=iPX=i=(1/i)(1/4),(ij)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为Y X1234PY=j11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/48PX=i1/41/41/41/41例例: :把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.解解 显然有3 , 2 , 1 , 0323133iCiYPiXPii又因为事件X=i与事件Y=j相互独立,所以有,jYPiXPjY

9、iXP3 , 2 , 1 , 0,323132313333jiCCjjjiii用表格可如下表示其它, 0, 6),(2xyxyxp其它, 010),(66),()(22xxXxxxdydyyxpxp例例: :设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度pX(x)和pY(y).解解其它, 010),(66),()(yyYyyydxdxyxpyp3.3 边缘密度函数边缘密度函数 边缘密度函数完全由联合密度函数所决定. dxdyyxfxFxFxX),(),()( dydxyxfyFyFyY),(),()( dyyxfxpX),()(dxyxfypY),()( 设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密

10、度函数为f(x,y)则从而得到X和Y的概率密度函数分别为00( )( , ),0000yxXxe dy xexfxf x y dyxx000( )( , ).0000yyyYe dxyyeyfyf x y dxyy解解 （X，Y）的联合密度函数 2211( , )0 xyf x y其它则（X，Y）关于X的边缘密度函数221211211111( )( , )00 xXxdyxxxfxf x y dy 其它其它（X，Y）关于Y的边缘密度函数 22111( )0Yyyfy 其它（1）（X,Y）关于X的边缘密度函数 2111()211( )( , ),2xXfxf x y dyex （2）（X，Y）关

11、于Y的边缘密度函数 2221()221( )( , ),2yYfyf x y dxey 4 条件分布条件分布 条件分布是条件概率的推广条件分布是条件概率的推广.本节主要讨本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关于二维连续型随机变量的条件密律和关于二维连续型随机变量的条件密度函数度函数. 4 .1 条件分布律条件分布律则在X=3的条件下Y的条件分布律313.13,1112(1|3)1334pP XYP YXP Xp其中如同理在Y=1的条件下X的条件分布律4.2 条件密度函数条件密度函数 |1133( , )12( |)22312( )02Y XXfyy

12、fyf其它222|111( , )( | )2 1( )0X YYxyxf x yfx yyfy其它5 随机变量的独立性随机变量的独立性 随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的推广.本节主要讨论两个随机变量相互独立的一般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个连续性随机变量相互独立进行不同的处理.证证 X与Y的联合分布律与边缘分布律如表所示: 例例: :把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律,并判断随机变量X和Y是否相互独立.解解 显然有3 , 2 , 1 , 03

13、23133iCiYPiXPii 又因为事件X=i与事件Y=j相互独立,所以X和Y是相互独立,且有,jYPiXPjYiXP3 , 2 , 1 , 0,323132313333jiCCjjjiii用表格可如下表示解解 (1)10401201( )( , )00Xxydyxxxfxf x y dy其它其它10401201( )( , )00Yxydxyyyfyf x y dx其它其它其他, 00, 0,),()(yxeyxpyx0, 00,),()(0)(xxedyedyyxpxpxyxX0, 00,),()(0)(yyedxedxyxpypyyxY例例: :设随机向量(X,Y)的概率密度函数为试证

14、X和Y相互独立.解解于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y)所以X和Y相互独立.解解 (1)X与Y的密度函数分别为 1 010( ),( )000 xXYyexfxfyx其它因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数0,01( , )( )( )0 xXYexyf x yfxfy其它111100(1)( , )xxx yP XYf x y dxdydxe dye 解解 (2)因为 0,01( , )( )( )0 xXYexyf x yfxfy其它所以证证 关于X与Y的边缘密度函数分别为 2111()211( ),2xXfxex 2221()221( ),2yYfyey 则X与Y相

15、互独立的充分必要条件是( , )( )( )XYf x yfxfy 即0 6 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 解决两个随机变量函数的分布的方法与一个随机变量函数的分布的方法是一样的,只是前者要比后者复杂得多.有鉴于此,我们仅仅对几种特殊的情形加以讨论. 6.1 Z=X+Y的分布的分布 解解 Z为离散型随机变量,其可能取值是0,1,2,3，则 (0)(0)(0,0)0.10P ZP XYP XY(1)(1)(0,1)(1,0)0.40P ZP XYP XYP XY(2)(2)(1,1)(2,0)0.35P ZP XYP XYP XY(3)(3)(2,1)0.15P ZP XYP X

16、YZ0123PZ=k 0.100.400.350.15解解 (1)求Z的分布函数 ( )()()( , )( , )z xZx y zFzP ZzP XYzf x y dxdydxf x y dy (2)求Z的密度函数 ( )( )( , )( ,)z xZZddfzFzdxf x y dyf x zx dxdzdz由X与Y的对称性,得( )(, )Zfzf zy y dy如果X与Y相互独立则有 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx( )()( )ZXYfzfzy fy dy解法一解法一:(1)求Z的分布函数 2221( )()()( )( )2z xxyZXYx y zFzP ZzP

17、 XYzfx fy dxdydxedy (2)求Z的密度函数 2222()2211( )( )()22z xxyxz xZZddfzFzdxedyedxdzdz22()4212zzxeedx22212()122441111222222zxzzeedxez 解法二解法二:因为X与Y相互独立 222()2411( )( )(),222xz xzZXYfzfx fzx dxedxez 显然ZN(0,2). 定理表明：定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布. 6.2 Z1=maxX,Y和和Z2=minX,Y的分布的分布 解解 11( )()(max, )ZFzP ZzPX

18、 Yz(,)()()( )( )XYP Xz YzP XzP YzFxFy即Z1=maxX,Y的分布函数为1( )ZFz( )( )XYFxFy解解 22( )()(min, )1(min, )ZFzP ZzPX YzPX Yz 1(,)1()()1 1( ) 1( )XYP Xz YzP XzP YzFxFy 即Z2=minX,Y的分布函数为2( )ZFz1 1( ) 1( )XYFxFy 解解 系统寿命Z=minX,Y (1)求Z的分布函数 当z0时, ( )()(min, )1(min, )ZFzP ZzPX YzPX Yz 1(,)1() ()1 1( )1( )XYP Xz YzP

19、Xz P YzFzFz (2)求Z的密度函数 ( )( )( )1( ) 1( )( )ZZXYXYfzFzfzFzFzfz因为X与Y都服从U(0,1000),则 101000( )10000Xxfx其它00( )01000100011000XxxFxxx101000( )10000Yyfy其它00( )01000100011000YyyFyyy所以110100001000( )1000 10001000 100050000000Zzzzzzfz其它其它0, 00,)(xxexpxX0, 00,)(yyeypyY例例: :设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为（1）串

20、联；（2）并联；（3）备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作）.设L1，L2的寿命X和Y的概率密度分别为其中0,0,且.试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.0, 00,1)(xxexFxX0, 00,1)(yyexFyY0, 00,1)()(minzzezFz0, 00,)()()(minzzezpz解解 X和Y的分布函数分别为由于当L1，L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为Z=minX,Y,其分布函数为于是Z=minX,Y的概率密度为（1）串联的情况:0, 00),1)(1 ()()()(minzzeezFzFzFzzYX0, 00,)()()(maxzzeeezfzzz(2)并联的情况:由于当且仅当L1，L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命为Z=maxX,Y,其分布函数为于是Z=maxX,Y的概率密度为)()()(0)(0)(zzzzzyyzYXYXeedyeedyeedyypyzpzp0, 00,)(zzeezpzzYX(3)备用的情况:由于这时只有当L1损坏时, L2才开始工作,所以整个系统L的寿命为Z=X+Y,于是，当z0时，Z=X+Y的概率密度为当z0时，pX+Y(z)=0.于是的概率密度为