波导裂缝天线(共68页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上分 类 号 密 级 U D C 单位代码 10151 基于时域有限差分法的缝隙天线分析与设计谭 晓 明指导教师房少军职称教授学位授予单位大连海事大学申请学位级别硕士学科与专业通信与信息系统论文完成日期2008.1论文答辩日期2008.3.26答辩委员会主席专心-专注-专业The Analysis and Design of Slot Antenna Based on Finite-Difference Time-Domain Method Dissertation Submitted toDalian Maritime UniversityIn partial ful

2、fillment of the requirements for the degree ofMaster of EngineeringByTan XiaoMing(Communication and Information System) Dissertation Supervisor: Professor Fang ShaojunJanuary, 2008大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明：本论文是在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果，撰写成硕士学位论文 “基于时域有限差分法的缝隙天线分析与设计” 。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡

3、献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。保密，在 年解密后适用本授权书。本学位论文属于： 保密 不保密（请在以上方框内打“” ）论文作

4、者签名： 导师签名： 日期： 年 月 日摘 要时域有限差分法（FDTD）作为一种电磁场数值计算方法以其简单、直观等特点近年来备受业界关注和厚爱。本文按由简到繁的顺序，逐步介绍FDTD在一维、二维和三维电磁场问题上的基本使用技术，旨在给出该方法的基本构成脉络，并运用此方法分析计算单裂缝天线。作为裂缝阵列天线的理论基础，本文从对偶原理出发，分析并比较了半波对称振子和半波缝隙天线的场型特点，在此基础上分析了波导上单个缝隙的辐射机理和型式，并分析了由多个缝隙构成的波导裂缝天线阵的特点，给出相关的计算公式。单端馈电的波导裂缝天线，它的长度受到雷达发射脉冲宽度的限制，因此在港口雷达站等要求窄波束的条件下，

5、大型裂缝天线就难以实现。但裂缝天线有许多优点，为了克服上述矛盾，论文的最后设计了一种双端相向馈电的波导裂缝天线，并借助Ansoft公司的高频电磁仿真软件HFSS进行仿真。根据对方向图的要求，采用修正的切比雪夫阵设计该天线各缝隙的电流分布，并编写MATLAB程序进行计算。由于窄边开缝的波导裂缝天线各个缝隙排列复杂，给HFSS建模带来了困难，所以本文提供了利用MATLAB生成脚本程序来建立仿真模型的方法，该方法能快速准确地建立复杂模型。仿真结果表明所设计的双端相向馈电的波导裂缝天线基本满足使用要求。关键词：裂缝天线；时域有限差分法；双端馈电；切比雪夫阵；AbstractAs a numerical

6、 calculating method of electromagnetic field, the Finite-Difference Time-Domain (FDTD) method is generally favored in the professional field because of its simplicity. Arranged in an order from simple to complex, this paper introduces respectively the basic operating technique of FDTD used in one di

7、mensional, two dimensional and three dimensional electromagnetic field problems. It is aimed to explain the basic structure of this method and use it to analyze and calculate a slot antenna.Proceeding from the principle of duality, the paper analyzes and compares the field features of half-wavelengt

8、h band dipole and half-wavelength aperture antenna, which is the theoretical basis of slotted antenna array, Based on this then, the author will analyze the mechanism of a aperture in on a waveguide and the features of slotted-waveguide antenna array formed by a number of aperture. Finally, the auth

9、or presents the relevant formulas.Excited from a single end of a waveguide, the length of a slotted-waveguide antenna is restricted by the width of radar transmitted pulse, so it is difficult to implement a large-scale radar slot antenna with narrow beams. However, we should not ignore the fact that

10、 slot antenna has many advantages. To overcome this contradiction, the paper provides a design of slotted-waveguide antenna which is excited from both end of the waveguide, and simulates it with the help of HFSS. According to the requirement of directivity, this researcher designs the amplitude dist

11、ribution of the apertures based on modified Chebyshev array, and calculates it by writing program using MATLAB. The complex arrangement of the slots in the narrow face of a waveguide brings much trouble to model it in HFSS, so the present paper offers a method to create the model by producing model

12、scripts in MATLAB. This method can establish a complex model quickly and exactly. The simulating result shows that this antenna can basically satisfy the practical requirement.Key Words：slot antenna；FDTD；both end excited；Chebyshev array 目 录 第1章 绪论1.1缝隙天线的研究状况及发展对缝隙天线的研究始于二十世纪四十年代。经过几十年的研究，缝隙阵列天线在理论和

13、实践上都得到了很大的发展1。缝隙天线最早是在1946年由H.G.Booker提出，但当时没有引起学者的注意2。A.F.Stevenson3于1948年发表了题为“Theory of Slot in Rectangular Waveguide”的论文，建立了关于波导缝隙辐射的基本理论模型，把波导上的缝隙等效为传输线上的并联电导或串联电阻，但是，在Stevenson的理论模型中已假定波导壁厚近似为零，显然这与实际情况存在一定的偏差。1959年A.A.Oliner4发表论文“The Impedance Properties of Narrow Radiating Slots in the Broad

14、 Face of Rectangular waveguide”，考虑了波导壁厚的影响，利用变分公式，计算了缝隙的电阻和电抗。随后，由于缝隙天线具有在结构上易于与其载体共形等优点，引起了学者的广泛关注和研究兴趣，取得了大量研究成果5-14，其中以H.Y.Yee15较为突出，他解决了纵向缝隙的偏置对缝隙谐振长度的影响，得到了缝隙归一化导纳的精确结果。然而，由于实际缝隙的复杂性，尤其是波导窄边缝隙的问题仍然难以得到与实际准确吻合的理论模型，直到二十世纪七、八十年代，随着计算机技术的飞速发展，电磁场数值计算成为可能，也使得缝隙天线的分析和设计上了一个新台阶。1973年，Vu.Kuac和Carson首次

15、采用矩量法完成了纵向缝隙的理论分析和计算，使用电磁场理论的等效原理，用短路导电片和磁流片来代替缝隙上的场分布，将计入的波导壁厚度看作一个缝隙腔体，借助于耦合积分方程解决了壁厚和互耦的影响16。1.2单端馈电雷达裂缝天线的问题1.2.1脉冲宽度与天线长度雷达发射脉冲宽度限制着裂缝天线长度的增加17。为了提高雷达目标观察的分辨力，对天线波束要求越来越窄，也就是天线长度必须增加，但是当天线长度超过脉冲宽度所对应的某一范围时，天线方向性图就会变坏，甚至失效，这样天线长度与脉冲宽度之间就产生了矛盾，这个矛盾不解决，窄波束的大型雷达裂缝天线就无法形成。1.2.2天线效率雷达裂缝天线收发状态共用一根天线，采

16、用收发开关控制发射和接收状态。当天线处于发射状态时，为了保证整个裂缝振子都处在最佳工作状态，馈给每一振子以充分能量，在设计中发射能量除满足上述状态外，还必须有一部分能量到达终端被匹配负载所吸收，以此来保证裂缝天线处在行波状态下。这样，就存在一个辐射能量与耗损在吸收负载上的无用能量的关系，一般二米、三米裂缝天线的效率在（8090），也就是说，在发射状态下要损耗能量的（2010），天线工作在接收状态，同样也有（2010）的接受能量被吸收负载所损耗，这对天线来说自然是一种能量的损失18。1.3时域有限差分法概述时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）作

17、为一种电磁场数值计算的新方法是K.S.Yee19于1966年首次提出的。该方法直接从时域Maxwell旋度方程出发，对电场分量和磁场分量在空间和时间上进行交替咬合求解，不需要任何导出方程，较之矩量法和有限元法有一定的直观性，易于掌握。经过四十多年的发展，FDTD已具备了非常强大的解决多种复杂问题的能力，获得了广泛的应用，其中有20：辐射天线的分析，例如柱状和锥状天线，接地导体附近的天线，喇叭天线，微带天线，手机天线，缝隙天线，螺旋天线以及天线阵列等。微波器件和导行波结构的研究，例如波导，介质波导，微带传输，波导中的孔缝耦合，铁氧体器件，加载谐振腔等。散射和雷达截面计算，例如导体、介质物体、和具

18、有复杂结构及形状物体（导弹，飞机）的雷达截面（RCS），导弹导引头的电磁波透入分布，人体对电磁波的吸收，地下物体散射等。周期结构分析，例如频率选择表面、光栅传输特性、周期阵列天线、光子带隙结构，以及随机粗糙表面等。电子封装，电磁兼容分析，例如多线传输及高密度封装时的数字信号传输，分析环境和结构对元器件和系统电磁参数及性能的影响。核电磁脉冲的传播和散射，在地面的反射及对电缆传输线的干扰。微光学元器件中光的传播和衍射特性。双负介质中电磁波的传播特性。1.4论文的主要内容本文重点介绍时域有限差分法的基本使用技术以及一种双端相向馈电波导缝隙阵列天线的研究和设计。正文部分共分五章，分述如下：第一章是绪论

19、，介绍了缝隙天线的研究和发展状况、雷达裂缝天线存在的问题以及对时域有限差分法的简要介绍。第二章从对偶原理出发，分析并比较了半波带状振子和金属板上半波缝隙振子的场型特点，在此基础上分析了波导上单个缝隙的辐射机理和形式，并分析了由多个缝隙构成的波导裂缝天线阵的特点，给出相关的计算公式。第三章讲述时域有限差分法的基本使用技术，按由简到繁的顺序，逐步介绍FDTD在一维、二维和三维电磁场问题上基本应用，旨在给出该方法的基本构成脉络。第四章应用时域有限差分法的近远场变换技术分析了一个理想单缝天线远区场，并比较远场点波形与近场点及源波形的差异和变化。第五章设计了一种双端相向馈电的波导裂缝天线，并借助Anso

20、ft公司的高频电磁仿真软件HFSS进行仿真。根据对方向图的要求，采用修正的切比雪夫阵设计该天线各缝隙的电流分布，并编写MATLAB程序进行计算。由于窄边开缝的波导裂缝天线各个缝隙排列复杂，给HFSS建模带来了困难，所以本文提供了利用MATLAB生成建模脚本程序的方法。最后，本文将增设附录A-附录H，提供相关源程序代码，以供参考。第2章 缝隙天线的基本原理2.1对偶原理2.1.1电偶极子与磁偶极子的对偶性设自由空间中电偶极子的中心位于球坐标系的原点O，正、负电荷之间的距离为，分别位于和两点。在电偶极子周围的rl区域内任何观察点处，由等量异号的两个点电荷和所激发的静电场为： （2.1.1）式中是电

21、偶极矩的量值，电偶极矩的方向为正z方向。小电流环可以看成是磁偶极子。设自由空间中半径为的小电流环上的电流为I，环面正方向向上沿z轴正方向，电流I的正方向与z成右手螺旋关系，则在磁偶极子周围rl区域内任何观察点处，磁感应强度矢量为： （2.1.2）式中是磁偶极矩的量值，磁偶极矩的方向为正z方向。比较式（2.1.1）和式（2.1.2）可以看出，两式中某些物理量之间具有下面的对偶关系： （2.1.3）2.1.2电流元和磁流元的对偶性对于载有高频电流的电流元来说，它两端等量异号的电荷也随时间发生变化，因而相当于一个高频的电偶极子21。假设电流元由理想导体构成，其长度远远小于工作波长，表面流过正方向向上

22、的电流量值为，则其辐射场为： （2.1.4）对于由多匝导线环绕而成的螺线管，设其总长度远远小于高频电流的工作波长，则螺线管上的电流处处可看成是等幅同相的。可以把螺线管的每一匝线圈看成是一个小电流环，并把小电流环的正方向作为螺线管的正方向，电流正方向与螺线管正方向成右手螺旋关系，这样，就可以把螺线管看成是等效的磁流元，假想的高频磁流的方向是沿z轴正方向，其辐射场为： （2.1.5） 比较式（2.1.4）和式（2.1.5）可以看出，两式中某些物理量之间具有下面的对偶关系： （2.1.6）式中带有下标“e”的场量代表电流元产生的电场强度矢量和磁场强度矢量；有下标“m”的场量代表磁流元产生的电场强度矢

23、量和磁场强度矢量。2.1.3对偶原理的建立有了前两小节的认识，我们可以进一步把整个电磁场的源分为两种，即“电型源”和“磁型源”。“电型源”的麦克斯韦方程组的形式如下： （2.1.7）“磁型源”的麦克斯韦方程组形式如下： （2.1.8）当两种源同时存在时，根据矢量叠加原理有 （2.1.9）于是可以得到对称形式的麦克斯韦方程组： （2.1.10）2.2理想缝隙天线的辐射机理所谓理想缝隙天线是指在无限大的可以不计厚度的理想导体平板上开的缝隙。理想矩形缝隙天线与形状和尺寸均相同的带状振子天线称为“互补”天线，“互补”的含义是说，若将带状振子放到缝隙的位置上，二者就合成为一个完整的无限大理想导电平板。理

24、想缝隙受到激励时，由于缝很窄，缝隙上只存在与宽边垂直的切向电场，根据等效原理，切向电场可等效为表面磁流。因而缝隙天线属磁振子天线，它与带状振子天线的电磁场方程是对偶的，但是这还不够，为了能从带状振子天线的电磁场直接得出理想缝隙天线的电磁场，还要求边界条件也必须是对偶的。电磁场方程的对偶在2.1节已作了介绍，下面定性说明边界条件的对偶。无限大的导电平板将整个空间分成两个半无限大空间，当考虑半空间的场分布时，其闭合边界由缝隙或振子所在的无限大平面和无限大半球面组成，由于在无限大半球面上电磁场必为零，只需比较无限大平面上的边界条件即可。由电磁场边界条件可知，对带状振子来说，在振子上切向电场为零，因为

25、振子是理想导体；在振子以外切向磁场为零，因为振子的磁场均垂直于分界平面。对理想缝隙天线而言，在缝隙上切向磁场为零，因为缝上只有横向均匀分布的切向电场；在缝隙以外切向电场为零，因为是理想导体。场量下角标中的d和s分别表示属于振子或缝隙。由于理想缝隙和带状振子的电磁场方程和边界条件存在对偶关系，所以将对偶量互换，即可以由已知的带状振子天线电磁场，得出理想缝隙天线的电磁场，。电流沿轴线按正弦律分布的对称振子的远区辐射场为22： （2.2.1）式中振子的波腹电流可以用振子表面的波腹切向磁场表示。对宽度为，厚度可忽略的带状振子，于是带状振子天线的远区场可表示为 （2.2.2）将对偶量互换，即得与带状振子

26、互补的理想缝隙天线的远区辐射场： （2.2.3）对比理想缝隙与对称振子的场可以看出：1、二者方向性相同。方向性函数都是： （2.2.4）在包含缝隙轴线的平面内方向性图示“8”字形，在垂直于缝隙轴线的平面内方向性图是圆形。2、二者主平面互换了位置，包含缝隙轴线的平面是面，而垂直于缝隙轴线的平面是面。因此铅垂缝隙是水平极化的，水平缝隙是垂直极化的。二者对偶场矢量的方向在一个半空间相同，在另一个半空间相反，这是因为在缝隙所在平面两边缝隙天线电场的法向分量反向的缘故。实际的缝隙天线都是开在有限尺寸的良导电金属板上的。有限尺寸平板对面方向性图影响不大，但对面方向图存在明显影响。由于边缘绕射的干涉，将使方

27、向性图出现波纹，平板加大，波动减小，波纹数增多，方向性图向无限大平板时的方向性图趋近23。 2.3波导缝隙的辐射机理2.3.1开缝形式在波导壁的适当位置上开的缝隙也可以有效地辐射和接收无线电波，这种开在波导上的缝隙称为波导缝隙天线。波导缝隙要成为有效的天线必须选择在适当的位置和方向。波导上的缝隙是不需要另外的馈线的，它辐射的能量就来自波导内的电磁波，在波导内传输波24时，窄壁竖缝和宽边中轴线上的纵缝均不能受到激励而向空间辐射，根据收发天线的互易原理，它们也就不能从远处传来的无线电波中接收能量。这是因为窄壁竖缝和宽壁中轴线上的纵缝对波导内原来的电磁场结构无明显影响，而其它形式的缝隙能有效地改变波

28、导壁表面的场分布。当波导内传输波时，因切向磁场有横向和纵向两个分量，波导内壁表面电流也存在纵向和横向两个分量。能产生辐射的缝隙都能有效切割表面电流线，而不能产生辐射的缝隙是与表面电流线平行的，不能有效切割表面电流线。表面电流在波导壁上的大小是随位置而变的。横向电流在波导宽面中轴线处等于零，往两边沿逐渐增至最大，所以切割横向表面电流的宽壁纵向缝隙在中轴线上是得不到激励的，因而这样的缝隙不能用作天线，而波导测量线正是利用这个特点，将纵缝开在宽面中心而使辐射损耗最小。宽面纵缝越靠近边缘，受到的激励越强。同一横截面上中心线两边的横向表面电流是反相的，因而开在中心线两边的纵缝是反相激励的。宽面还有纵向表

29、面电流，它在宽面中心线处最大，往边缘逐渐减小到零。因而宽面还可以开横向缝隙，横缝在宽面中心线上受到的激励最强，往边沿逐渐减小。波导的窄边只有横向表面电流，所以开在窄边的竖缝是没有辐射的。另外沿波导纵轴方向相距半个波导波长的两个截面上，纵向表面电流和横向表面电流都是反相的，因而在波导纵轴方向上相距的缝隙是反相的，相距的缝隙是同相的。2.3.2波导缝隙的阻抗特性波导开缝之前是均匀的，可等效为传输线。波导上开的缝隙可等效为负载，开缝的波导便等效为加载传输线，根据开缝的位置和方向，缝隙或等效为串联的负载或等效为并联的负载。xa（a） （b）图2.1 波导宽边纵缝及其等效电路Fig. 2.1 Longi

30、tudinal slot and its equivalent circuit in the broad face of a waveguide宽边纵向缝隙会使一部分横向表面电流不能按原来的方向流动而是发生弯曲，绕过缝隙流动，如图2.1（a）所示。这样在缝隙的中点两边便出现了由横向表面电流的弯曲引起的附加纵向电流，使得在缝隙中点两边的总纵向电流的大小不相等而发生突变，这与传输线并联接入阻抗的情况相当，所以宽边纵向缝隙等效为并联导纳。如图2.1（b）所示。在缝的长度适当（略短于）时发生谐振，电纳等于零而变成纯电导。其归一化电导值（与波导特性导纳之比）可按下式计算25： （2.3.1） 其中，是缝

31、隙偏离宽面中心线的距离，是波导宽边的尺寸，是波导窄边的尺寸，是工作波长，是波导波长。由式（2.3.1）可知，宽边纵向缝隙偏离中心线越远，等效电导越大。abU1U2 （a） （b） （c） 图2.2波导宽边横向缝隙及其等效电路Fig. 2.2 Transverse slot and its equivalent circuit in the broad face of a waveguide图2.2（a）所示的宽边横向缝隙引起的附加电场的竖向分量在缝的两边方向相反，从而使波导内总的竖向电场发生突变，如图2.2（b）所示。这和传输线串联接入阻抗的情况相当，所以宽边横缝等效为串联的阻抗，如图2.2（

32、c）所示。在缝的长度适当时发生谐振而只有电阻，其等效值可按下式计算25： （2.3.2）其中。由式（2.3.2）可知，宽边横向缝隙的等效电阻随缝偏离中线距离的增大而减小，在中线上等效电阻取得最大值。用的较多的波导缝隙是宽边纵向缝隙和窄边倾斜缝隙。图2.3所示的窄边倾斜缝隙的主要优点是加工方便。它是由竖向表面电流激励的，也等效为并联导纳，长度适当时谐振，谐振电导值按下式计算25： （2.3.3）其中，是缝隙的倾角，其余各量与以前所述相同。在时，式（2.3.3）可近似为： （2.3.4）由式（2.3.4）可知，越大，等效电导也越大。另外，由于波导窄边尺寸b较小，窄边斜缝一般都要延伸到宽边上去25。

33、b （a） （b） 图2.3波导窄边斜缝及其等效电路Fig. 2.3 Oblique slot and its equivalent circuit in the narrow face of a waveguide2.4波导缝隙天线阵单个缝隙的方向性比较弱，要求强方向性时可采用波导缝隙天线阵。在同一根波导上开若干个缝可构成直线阵，用若干个开缝的波导可构成平面阵。波导缝隙阵方向性的分析方法与一般的阵列天线没有什么不同。它的方向性取决于天线元的数目N，各元的幅度分布和相位分布以及天线元之间的距离。波导缝隙阵的方向性函数仍为元方向性函数与阵函数的乘积26，即 （2.4.1）阵函数仍为： （2.4.

34、2）式中为缝隙激励电压的幅度比，为观察点所在方向与缝隙阵轴线（也就是波导纵轴）的夹角。波导缝隙阵一般也是采用等间距和等相位差的，这时，于是 （2.4.3）令，则 （2.4.4）对于等幅阵，则 (2.4.5)或 （2.4.6）对于同相等幅阵，则 （2.4.7）这是一个侧射阵，最大辐射方向在阵轴线的垂直方向，即。波导缝隙阵的辐射能量就来自于波导中传输的电磁波，不需要另外的馈线，这在馈电方面是一个很大的优点。另一方面这又决定了各缝的相位差与缝的间距d有密切关系，二者不再是相互独立的了，而各缝的激励幅度则与缝在波导上的位置和方向有关。波导缝隙阵以各缝隙间距是否等于为根据而分两类。当时，称为谐振式缝隙阵

35、；当时，称为非谐振式缝隙阵。这里所谓的“谐振式”与“非谐振式”区分的根据就是缝隙的间距是否为，并不说明缝隙本身是否谐振。缝隙谐振与否是由缝隙的长度决定的，一般而言半波缝隙谐振长度略短于，而且缝越宽，较短得越多。谐振式波导缝隙阵由于缝隙间距为，所以相邻缝隙的激励会产生，为使各缝获得同相激励，应当采取措施使相邻缝隙再获得的附加相移。对于宽边纵向缝隙阵而言，由于中轴线两侧的横向电流反向，能产生所需的附加相移，所以可以把相邻缝隙交替地分布在波导宽壁中线两侧。如图2.4所示。aa(b)(a)图2.4波导宽边缝隙阵的布置Fig. 2.4 The layout of slots array in the b

36、road face of a waveguide对于窄边倾斜缝隙，由于相邻缝的倾斜方向可以相同也可以相反，所以缝隙间距时，缝间相位差仍有零和两种情况，如图2.5所示。图2.5（a）是倾斜方向相同的情况，图2.5（b）是倾斜方向相反的情况。由图上虚线表示的缝隙电场主极化分量可以看出，倾斜方向相同时是反相激励，倾斜方向相反时是同相激励。（b）b b（a）图2.5波导窄边缝隙阵的布置Fig. 2.5 The layout of oblique slots array in the narrow face of a waveguide谐振式缝隙阵是侧射阵，方向性图主瓣最大值方向指向缝隙面的法线方向。当

37、工作频率改变时，间距不再等于，不能保持各缝隙同相激励，引起主瓣方向改变，并且天线的匹配也将急剧变差。所以这类缝隙阵是窄频带的。非谐振式缝隙阵的间距大于或小于，波导末端接匹配负载，属行波天线，故能在较宽的频带内保持良好匹配。天线阵的各缝隙不同相激励，具有一个固定相差，所以方向性图主瓣将偏离缝隙面的法线一定角度。第3章 时域有限差分法的基本应用3.1引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种直观的电磁场数值计算技术，它的直观性来源于对麦克斯韦方程组的处理方式上，事实上它没有对麦克斯韦方程组做任何变换处理，而是直接把旋度方程中对空间和时间变量的

38、偏微分运算离散化为对空间和时间变量的差商运算，当离散间隔足够小时，差商运算的结果将达到足够的精度。事实上，从感性上来说，微分运算也就是极限意义下的差商运算。所以为了体现该方法固有的直观性，本文对它的介绍也将以如何离散化Maxwell旋度方程而展开，包括一维、二维、三维电磁问题的FDTD基本技术，并给出相应的源代码（使用MATLAB语言）。不求面面俱到，只为说明该方法的主要构成脉络和基本应用技术。本章只讲述有关FDTD的一维和二维情形，三维情形将在第4章结合单缝隙天线予以介绍。在正式介绍之前，作如下两点处理说明：1、由于和在数值上相差若干数量级，致使电场和磁场的数值不在相同的数量级上，在编写程序

39、时，应考虑到编程语言数据类型的精度范围，所以为了使电场和磁场在某种编程语言下具有相同的精度，可令，这种归一化处理有助于计算准确度的提高27。2、使用电通密度对媒质进行统一处理： 通常，对Maxwell方程组的处理都是基于和的两个旋度方程展开的，即 （3.1.1）我们看到，如果媒质是导电的，则有项存在于第一个式子，使得两式结构不 对称，不利于编程。解决办法是利用电通密度把媒质的特性统一到一个式子中集中处理，具体如下： （3.1.2）这样，不管媒质是导电的还是色散的，计算的复杂性都包括在式（3.1.2）的第二个式子中，而第一和第三两式保持对称。3.2一维电磁问题的FDTD基本技术3.2.1 自由空

40、间一维电磁波传播的FDTD模拟自由空间Maxwell旋度方程如下： （3.2.1）F/m是自由空间介电常数；H/m 是自由空间导磁率。上述旋度方程中和均为三维矢量，所以等价于六个标量方程，我们仅以其中的和为代表展开一维FDTD问题的表述，即 （3.2.2）这是沿z方向传播的一维平面波方程，电场方向是x方向，磁场是y方向。对此偏微分方程组进行中心差分离散得28： （3.2.3）上角标，均表示时间点，小括号中的，均为空间位置，从上式可看出，电场和磁场在空间上和时间上相互交替咬合步进发展。对式（3.2.3）整理可得： （3.2.4）仔细观察此式不难看出它所表述的含义：空间某位置任意时间步的电场等于该

41、点前一时间步的电场与邻近磁场空间变化率之代数和；空间某位置任意时间步的磁场等于该点前一时间步的磁场与邻近电场空间变化率之代数和。令，可得： （3.2.5）根据Courant稳定性条件29，取，其中是自由空间中的光速，由此可推知，于是可得程序代码（MATLAB语言）如下： (3.2.6)注意，代表时间的上角标已经略掉，在程序中需要设置一个代表时间步的循环来实现时间上的迭代，k-和k+不符合MATLAB语言的数组规范，所以分别用k-1和k+1来指代，式中，是在MATLAB中定义的分别用来保存电场和磁场的变量。附录A的程序代码模拟了高斯脉冲在自由空间的传播过程，在这个程序中问题空间的大小设为200个

42、空间步长，即k由1变化到200，其中脉冲源设置在k=100处，这样能使我们得以同时观察向正负z两个方向传播的一维平面波，如图3.1所示，程序中保存时间步总数的变量“nsteps”可由读者重新设定，以根据需要观测波形的变化。图3.1是经过100个时间步时得到的波形。图3.1 经过100个时间步时的电场磁场波形Fig. 3.1 The electric field and magnetic field waveform after 100 time steps随着迭代时间步的增大，脉冲将到达问题区间的外边缘，如果不做任何处理，将导致脉冲反射，如图3.2所示。图3.2经过300个时间步时的电场磁场波

43、形Fig. 3.2 The electric field and magnetic field waveform after 300 time steps为了消除这种反射，我们可以在程序中增加设置吸收边界的代码。前面我们根据Courant条件取，这意味着对于自由空间中的一维电磁波传播问题，波前将以两个时间步来前进一个完整网格的距离，亦即，根据这一事实，我们可以得到一维自由空间问题的吸收边界条件为： （3.2.7）式（3.2.7）的第一式和第二式分别对应问题区间的左边界和右边界。具体的，在代码实现上，可以通过增设两个暂存变量来实现边界处场量的传递，详细程序代码见附录B。3.2.2一维电磁波在无耗

44、介质中传播的FDTD模拟同3.2.1小节一样，由Maxwell旋度方程出发，并引入归一化，即，可得： （3.2.8）取和分量构成一维平面电磁波： （3.2.9）对时间和空间变量进行中心差分离散: （3.2.10）取并进一步化简可得： （3.2.11）于是可写出程序代码如下： （3.2.12）其中，用来保存计算出来的关于煤质的参数，用来保存媒质的相对介电常数。附录C给出了模拟一维高斯脉冲平面波经过相对介电常数的无耗介质的FDTD代码，其中空间上设置从到是自由空间，从开始是相对介电常为6的无耗介质。当脉冲到达介质时，由于媒质的不连续性，导致一部分波向源的方向反射，一部分波透过介质继续向前传播，如图

45、3.3所示。图3.3无耗介质中一维电磁波的反射和透射Fig.3.3 The reflection and transmission of one dimentional electromagnetic wave hitting on a lossless dielectric3.2.3一维平面波在导电损耗介质中传播的FDTD模拟在导电损耗介质中，Maxwell旋度方程形式如下 （3.2.13）电流密度的存在使得式（3.2.13）中的两式结构不对称，这种不对称将导致编程的复杂性，故正如本章引言所述，引入电通密度对媒质特性进行集中处理，即由下式出发进行推导： （3.2.14）令，进行归一化处理得：

46、 （3.2.15）以后为书写方便将省略归一化场量的上波浪线“”。导电损耗介质一般具有如下形式30： （3.2.16）带入式（3.2.15）中的第二式，可以得到 （3.2.17）将式（3.2.17）变换到时域为 （3.2.18）对式（3.2.18）进行时域离散化： （3.2.19）式（3.2.19）等价于 （3.2.20）这样，对于给定的时刻，就能写出由求的公式： （3.2.21）令，则可把式（3.2.21）关于n时刻电场E的求解化为两个式子联合求解: （3.2.22）同样，根据Courant条件取，便可获得如下代码： （3.2.23）其中，是程序中定义的用来计算相关参数的变量，用来保存媒质的相

47、对介电常数，用来保存电导率，用来保存时间步长，保存真空中的介电常数。程序代码详见附录D。3.2.4色散媒质的处理方法对于色散媒质，也完全可以采用与在导电损耗媒质情况下类似的处理方法，在此举例说明。假如色散媒质形式如下31： （3.2.24）其中最后一项变换到时域是，为单位阶跃函数。令，频域的乘积运算相当于时域的卷积运算，即 （3.2.25）对式（3.2.25）进行时域离散化，得到： （3.2.26）进而又可求得：所以可推出与的关系如下 （3.2.27）现在可以写出由式（3.2.24）描述的媒质中的FDTD计算式 （3.2.28）从而可通过此式求得电场： （3.2.29）于是总的求解过程可用如下

48、的MATLAB代码描述： 其中 ， ， ， 。所涉及到的程序变量在名称上与诸公式中的数学符号对应，参见3.2.3小节的说明。 3.3二维电磁问题的FDTD基本技术3.3.1二维FDTD基本计算公式对于自由空间中二维电磁问题FDTD公式的推导，也是从Maxwell旋度方程出发进行推导，如式（3.2.1）。考虑到场量的归一化处理，即和32，对于TM模，可获得如下的标量偏微分方程组： （3.3.1）其中的场量已略掉表示归一化的上波浪线。对式（3-3-1）进行中心差分离散可得： （3.3.2）注意，为方便起见，式（3.3.2）中不同坐标轴方向的空间增量均用表示，以后进入三维FDTD问题时，还将沿用此记

49、法。附录E给出了二维TM波的FDTD代码，采用高斯脉冲源，置于平面上问题区域的中心，图3.4、图3.5和图3.6分别示出了TM波电场分量在时间步T=20、30、45时的波形,注意比较幅度的起伏变化。 图3.4 高斯脉冲TM波经过20个时间步时的波形Fig. 3.4 The Gauss pulse TM wave after 20 time steps图3.5高斯脉冲TM波经过30个时间步时的波形Fig. 3.5 The Gauss pulse TM wave after 30 time steps图3.6高斯脉冲TM波经过45个时间步时的波形Fig. 3.6 The Gauss pulse T

50、M wave after 45 time steps3.3.2二维各向异性PML吸收层正如图3.4、图3.5和图3.6所示，随着时间步的继续增加，波将传播到外边界，如果不做任何处理，波将反射，干扰原问题空间内的波形，使其不能反映真实物力情形。为了在有限的计算机资源空间中模拟开域的电磁问题，需在问题空间的外围增设一层具有一定厚度的吸收层，使得电磁波在进入该吸收层时无反射，并且在进入该层后迅速衰减。无反射则要求反射系数，其中和分别是自由空间和吸收层的波阻抗；有衰减则要求磁导率和介电常数为复数。对于二维和三维电磁问题，我们将采用各向异性完全匹配层（UPML）来作为吸收边界33-39。 将方程组： （

51、3.3.3）变换到频域40： （3.3.4）为了构造各向异性PML，添加假象的介电常数和磁导率： （3.3.5）欲构成各向异性完全匹配层，必须满足以下两点1：，这里，对于二维问题，下角标或y表示了所添加的假想介质参数的各向异性性。2：，即在与吸收层某一边界垂直那个方向上的介电常数和磁导率分别等于其它方向上介电常数和磁导率的倒数。PMLxy 图3.7与x轴垂直的PMLFig.3.7 A PML which is vertical to the x axis对于xoy平面内仅与x轴垂直的PML（如图3.7所示），式（3.3.5）简化为: （3.3.6）为了满足上述两点要求，取 （3.3.7）于是方

52、程组化为： （3.3.8）对式（3.3.8）中第一式的左边 变换到时域为： （3.3.9）对式（3.3.9）进行中心差分离散： （3.3.10）整理可得： （3.3.11）其中,。 同理，式（3.3.8）中的第四式可整理为： （3.3.12）其中,。对于式（3.3.8）中的第三式，处理过程有所不同，首先可整理为： （3.3.13）将式（3.3.13）变换到时域进行差分离散，并令 则可得 其中表示经过的时间步累加步数。整理可得： （3.3.14）其中。于是可得到式（3.3.8）中第三式的FDTD计算公式如下： （3.3.15）其中。至此，式（3.3.11）、式（3.3.12）以及式（3.3.15

53、）完整地描述了图3.5所示PML层的FDTD计算方法。对于在x轴和y轴方向均需设置PML层的情况，其计算方法完全相同，根据前面所述的构成各向异性PML层的两个条件，在式（3.3.4）中添加假想的各向异性介质： （3.3.16）基于此方程组，仿照前述方法，可求得： （3.3.17） （3.3.18） （3.3.19）附录F给出了二维各向异性PML的代码，采用幅度为1的连续的正弦脉冲点源置于中心，经时间步T=160后的波形如图3.8所示，抵达外边界的波没有发生反射，这一点也可从此时的等高线图看出，因为等高线是一系列同心圆，说明没有反射波的干扰，如图3.9所示。 图3.8带PML的二维正弦脉冲TM波经过160个时间步时的波形Fig.3.8 The waveform of two dimentional sinusoidal pulse TM wave with PML after 160 time steps 图3.9带PML的二维正弦脉冲TM波经过160个时间步时的等高线图 Fig.3.9 The cont