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1、0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn ., 2. 线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是是线性相关线性相关的，否则称它的，否则称它线性无关线性无关A., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何
2、向向量量.,. 5 量量共共面面向向量量相相关关的的几几何何意意义义是是三三是是两两向向量量共共线线；三三个个向向义义量量对对应应成成比比例例，几几何何意意充充要要条条件件是是两两向向量量的的分分它它线线性性相相关关的的量量组组对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向定理定理1 1 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,2
3、1ma即有即有112211 mmma 故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕. 性性独独立立）线线个个方方程程）线线性性无无关关（或或程程，就就称称该该方方程程组组（各各方方；当当方方程程组组中中没没有有
4、多多余余个个方方程程）是是线线性性相相关关的的各各余余的的，这这时时称称方方程程组组（合合时时，这这个个方方程程就就是是多多是是其其余余方方程程的的线线性性组组若若方方程程组组中中有有某某个个方方程程线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用112212 A 0, 0. (,).mmmxxxAxA 向量组 线性相关就是齐次线性方程组即有非零解 其中结论结论.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组
5、组 定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）维维向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶阶单单位位矩矩阵阵是是的的矩矩阵阵维维单单位位坐坐标标向向量量组组构构成成neeeEnn .)(01 nERE ，知知由由.2)(向向量量组组是是线线性性无无关关的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量组组中中向向量量个个数数即即ER例例， 742520111321 .21321的线性相关性的线性相关性，及及，
6、试讨论向量组试讨论向量组 解解.2, 21321321即即可可得得出出结结论论）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同时时看看出出矩矩阵阵（成成行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵），施施行行初初等等行行变变换换变变，对对矩矩阵阵（ 已知已知例例分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线性无关线性无关向量组向量组线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 RR 75122020112rr 31rr 550220201. , , 321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组
7、组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设设有有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx . ,. ,: , (1) 1121也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关
8、向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若ABBAmmm 定理定理3 3）设设（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj 即：若即：若部分相关，部分相关，则则整体相关；整体相关；若若整体无关，整体无关，则则部分无关部分无关.,.,.2121性性相相关关也也线线则则向向量量组组线线性性相相关关反反言言之之，若若向向量量组组关关也也线线性性无无：则则向向量量组组线线性性无无关关：若若向向量量组组添添上上一一个个分分量量后后得得向向量量即即ABbbbBAbmmjj . 3 时时一一定定线线性性相相关关于于向向量量个个数数小小当当维维数数维维向向量量组组
9、成成的的向向量量组组，个个）（mnnm.,:,: (4) 121且且表表示示式式是是唯唯一一的的线线性性表表示示必必能能由由向向量量组组向向量量则则线线性性相相关关组组而而向向量量线线性性无无关关设设向向量量组组AbbBAmm .2, 11)()()(2,. 1)()(),(),( 1 111线线性性相相关关知知向向量量组组根根据据定定理理因因此此，从从而而，有有则则根根据据定定理理线线性性相相关关若若向向量量组组，有有记记）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm 证明证明.:1 关关的的任任何何部部分分组组都都线线性性无无向向量量组组线线性性无无关关，则则它它反反之之，若若一一个
10、个线线性性相相关关含含有有零零向向量量的的向向量量组组必必特特别别地地，量量组组线线性性相相关关相相关关的的部部分分组组，则则该该向向一一个个向向量量组组若若有有线线性性）可可推推广广为为结结论论（说明说明列列），只只有有因因但但从从而而有有，则则线线性性无无关关若若向向量量组组有有，）记记（mBmBRmBRmARABRARbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),(2 1)1(1 .B)(线线性性无无关关，因因此此向向量量组组故故mBR .,12 结结论论也也成成立立个个分分量量维维）而而言言的的，若若增增加加多多即即维维数数增增加加）是是对对增增加加一一个个分分量量（结结论
11、论（说明说明.,)(,.)(),(,3 212121线线性性相相关关个个向向量量故故则则若若，有有构构成成矩矩阵阵维维向向量量个个）（mmmnmmmARmnnARAnm .)(1)(. 1)(;)().()(),(),()4( 2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm ，即即有有所所以以组组线线性性相相关关，有有因因组组线线性性无无关关，有有因因有有记记 .),( ,)()( 21一一线线性性表表示示，且且表表示示式式唯唯组组能能由由向向量量有有唯唯一一解解，即即向向量量知知方方程程组组由由AbbxmBRARm . 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联
12、系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）. , )3(0 )2( 0 )1(:两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者者线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是，两两个个向向量量；线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量；线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量试试证证明明 kk 证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性.,0,0, 即即可可令令则则不不妨妨设设得得使使存存在在不不全全为为零零的的数数线线性性相相关关xykxyxyxyx 必要性必要性., 0)(1, 线线性性相相关关知知由由定定义义则则有有不不妨妨设设 kk
同济大学线性代数课件：4-2 向量组的线性相关性
