考研数学强化班高等数学讲义汤家凤

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1、第一讲 极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题1求下列极限：（1）；（2）；（3）；2求下列极限：（1）；3求下列极限：（1）；（2）；（3）。类型二：利用重要极限求极限的问题1求下列极限：（1）； （2）；2求下列极限：（1）；（3）； （4）；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题1求下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）设，求。2求下列极限：类型四：极限存在性问题：1设，证明数列收敛，并求。2设在上单调减少、非负、连续，证明：存在。类型五：夹逼定理求极限问题：1求；2；3。类型六：含参数的极限问题：1设，求；2设

2、，求；类型七：中值定理法求极限：1、；2、。类型八：变积分限函数求极限：1、。2、设连续，且，则。二、连续与间断的判断1设，讨论函数在处的连续性。2讨论在处的连续性。三、连续性命题的证明1设且存在，证明在上有界。2设在上连续，任取，证明：存在，使得。第二讲 微分学第一部分 一元函数微分学内容复习（略）重点题型讲解（一）与导数定义相关的问题1设存在，求。2设在处连续，且，求。3设在上有定义，对任意的有，且，求。4设二阶连续可导，且，则。5设在上有定义，且对任意的有，又当时，有，讨论在处的可导性。（二）各类求导数的问题1设，求；2设，求；3，求；4设由确定，求；5设，求；6设，求；7设由确定，求；

3、8设在处可导，求；9求下列函数的导数：（1）设，求；（2）设，求；10设连续，且，求，并讨论在处的连续性。11设，其中二阶可导且。（1）当为何值时，在处连续；（2）求；（3）研究在处的连续性。解答：（1），于是当时，在处连续。（2）当时，即；当时，于是。（3）因为，所以在处连续。12设在上可导，在处二阶可导，且，求。13设，求，并讨论的连续性和可导性。（三）高阶导数问题1设，求；2设，求。3设，求。第二部分 一元函数微分学的应用内容复习（略）附：中值定理部分的推广1设在的邻域内阶连续可导，则有。2（导数零点定理）设，在内可导，且，则存在，使得。3（导数介值定理）设设，在内可导，且，不妨设，则对

4、任意的，存在，使得。4设，且，则有，等号成立当且仅当。重点题型讲解（一）中值定理等式的证明类型一：目标表达式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶1设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得 。2设在上可微，且，证明：存在，使得 。3设在上连续，在内可导，。证明：（1）存在，使得；（2）对任意的，存在，使得 。类型二：目标表达式中含两个中值1设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。2设在上连续，在内可导，证明：存在，使得 。3设，在内可导，且，证明：对任意的正数，存在，使得。4设，在内可导（），证明：存在，使。类型三：目标表达式中含有端点和中值1设，在内可导，且，证明：存在，使得 。类型四

5、：目标表达式为1设函数在区间上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。3设在上三阶可导，且，证明：存在，使得。4设，且，证明：存在，使得。类型五：目标表达式为（其中为常数）1设，在内二阶连续可导，证明：存在，使得 。2设在上三阶连续可导，且，证明：存在，使得。3设为个不同的实数，函数在上有阶导数，并满足，则对每个，存在满足等式。（二）中值定理不等式的证明1，在内可导，且不是常数，证明：存在，使得 。2设，在内可导，且曲线非直线，证明：存在，使得 。3，在内二阶可导，且，证明：存在，使得。4设在上满足，且在内取到最小值，证明： 。5二阶可导，且，证明：。6设在上二阶可导，对任意的（）及（），证明：

6、。7设且，证明：。8设在上有定义且，证明：对任意的，有。9设在上二阶可导，且，证明：存在，使得 。10设在的邻域内四阶可导，且，证明：对此邻域内任一不同于的，有 ，其中是关于的对称点。11设在上二阶可导，且，证明：对任意的，有。12一质点从时间开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4。（三）求中值定理中的极限问题1设二阶连续可导，且，又（）。证明：。2设，证明：。（四）与极值、最值相关的命题1设在二阶可导，满足，且，证明：。2求数列中的最大者。（五）不等式的证明问题1设，证明：当时，。2证明：。3证明：当时，有

7、。4设，证明：。5当时，证明。（六）方程根的个数讨论1讨论方程的根的个数。2设内有，且，证明：在内有且仅有一个根。3证明方程在内有且仅有两个根。（七）选择题1设在处二阶可导，且，则 （ ）（A）是的极大值. （B）是的极小值. （C）是曲线的拐点. （D）不是的极值点，也不是曲线的拐点.2设二阶连续可导，则 （ ）是的极小值；是的极大值；是曲线的拐点；不是函数的极值点，也不是曲线的拐点。3设二阶连续可导，且，则（ ）是的极小值； 是的极大值；是曲线的拐点； 是的驻点但不是极值点。4设，则函数的零点个数为 （ ）0个； 1个； 2个； 3个。5曲线的渐近线的条数为 （ ）0条； 1条； 2条；

8、3条。第三部分 多元函数微分学内容复习（一）基本概念1多元函数的极限：设的定义域为，为平面上一点，若对于任意的，总存在，当时，有 ，则称当时以为极限，记为。2多元函数的连续：设在点的邻域内有定义，若，则称函数在点处连续。3偏导数：设在点的邻域内有定义，若存在，称函数在点处对可偏导，极限记为；若存在，称函数在点处对可偏导，极限记为。4可微与全微分：设在点的邻域内有定义，记 ，若，其中为常数，则称在点处可微，称为在点处的全微分，记为 。注解：（1）若在点处可微，则；（2）若为可微函数时，；5方向导数：设在点的邻域内有定义，从点印一条射线，设，令。若存在，称此极限为函数在点处沿射线的方向导数，记为。

9、注解：（1）设在点处可微，则（其中为射线与轴正方向的夹角）。（2）设在点处可微，则，（其中为射线与轴、轴、轴正方向的夹角）。6梯度：设为二元可微函数，称为函数的梯度，记为。注解：梯度的方向即为函数在一点处方向导数最大的方向，梯度的模即为方向导数的最大值，因为（其中为与的夹角），所以当时，此时方向导数最大，且最大值为。（二）偏导数求法1显函数求偏导数；2复合函数求偏导数：（1），其中，求；（2），其中，求；（3），其中，求；3隐函数（组）求偏导数：（1）设，求；（2）设，求；（3）设，求，；（4），求及。（三）多元函数微分学在函数极值上的应用1无条件极值求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；

10、（2）由求出函数的驻点；（3）利用判别定理，设为一个驻点，令，Case I 若，则点为函数的极值点，当时，为极小点；当时，为极大点。Case II 若，则不是极值点。Case III 若，则无法确定点是否为极值点。2条件极值在下求函数的极值点与极值，采用乘数法，步骤为：（1）令；（2）由求出可能的极值点；（3）对可能的极值点进行确定。（四）多元函数微分学在几何上的应用（数学一，该内容包含在空间解析几何部分）1空间曲线的切线与法平面（1）设，取参数，对应的曲线上的点为，切线的方向向量为，切线方程为：，法平面为：。（2）设，点，则切线的方向向量为 。2空间曲面的切平面与法线设空间曲面，点，则切平面

11、的法向量为，切平面方程为：，法线方程为：。重点题型讲解（一）多元函数的概念、极限与连续1求下列极限：（1）； （2）。2讨论函数在点处的连续性。3讨论函数在点处的连续性、可偏导性与可微性。4讨论函数在点处的连续性、可偏导性与可微性。（二）偏导数的求法1设，求；2设二阶连续可微，求。3设二阶可导，二阶连续可偏导，且，求。4设，且二阶连续可微，求。5设，其中可微，求。6设，且是由确定的的函数，可微，证明： 。7设，且是由确定的的函数，可微，求。8设，且可微，证明：。9设连续可偏导，且由确定，求。10，若经过变换,其中，求原方程化成的方程形式。解答：由得，又，代入原方程得 。11满足方程，利用把函数

12、变成，且满足，求常数。解答：，代入上述关系式得 ，即，则，于是，从而。（三）偏导数在极值上的应用1求由方程所确定的函数的极值。解答：由得，代入原方程得，所以驻点为。在处，函数在取极小值；在处，函数在点处取极大值。2求在区域上的最大值与最小值。解答：由得，根据判别法知为极大值。令在上，因为，所以单调减少，故最大，。在上，令，得，分别为在上的最大值与最小值。类似可得在上的最大值与最小值分别为与，在上的最大值与最小值分别为与，综上所述，与分别为在上的最大值与最小值。3求函数在区域上的最值。解答：（1）在内，由得。（2）在上，令，由得，因为，所以函数在区域上的最大值为，最小值为。4求椭球内接长方体的最

13、大体积。解答：设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为，则。令，由得，则最大体积为。（四）偏导数在几何上的应用1求曲线在点处的切线与法平面。2过直线作曲面的切平面，求此切平面方程。解答：，则，过直线的平面束为 ，其法向量为 。设所求的切点为，则有，解得或者，故所求的切平面方程为或者。3曲面上一点的切平面为，若过的曲线在的切线为，求平面。解答：切线的方程为，曲面上点处的法向量为 ，则切平面方程为，即。因为，而，所以，解得切点的坐标为或者，故平面或者。4设曲面，平面。（1）求曲面上与平行的切平面； （2）曲面与平面之间的最短距离。解答：（1）上处切平面法向量为，平面的法向量为，由得或，代入得，则，切平面

14、方程为或者。（2），所以曲面与平面之间的最短距离为。（五）方向导数与梯度1设是曲面在点处指向外侧的法向量，求在点处沿方向的方向导数。解答：令，则，取，则，而，所以。第三讲 积分学第一部分 不定积分内容复习（略）重点题型讲解（一）积分概念与直接积分法1设的一个原函数为，求。2。3。（二）换元积分法1计算下列不定积分（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）。2计算下列不定积分（1）； （2）；（3）； （4）。（5）； （6）；3计算下列不定积分（1）； （2）。4计算下列不定积分（1）； （2）；（3）；5计算下列不定积分（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；

15、（7）； （8）；（9）；（10）。（三）分部积分法计算不定积分1；第二部分 定积分及其应用内容复习（略）重点题型讲解（一）基本不定积分的计算1计算下列定积分（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）。2计算下列定积分（1）； （2）； （3）；（4）设，且，求；（5）设，求；（6）设可微，且，求。3设，求。4设为连续函数，且，证明：（1）若为偶函数，则也是偶函数；（2）若为非增函数，则为非减函数。5设为可微函数，为其反函数（），且，求。6设，（1）求； （2）求及。7设，且，证明：函数在内至少两个零点。（二）定积分等式的证明1设，证明：。2设，证明：。3设在上连续，证明：存

16、在，使得 。4设为偶函数，（1）证明：； （2）计算。5设是连续函数，证明：。6设，证明：存在，使得。7设，证明：。8设在区间上可导，证明：存在，使得 。9设为以为周期的连续函数，证明：。10设在上二阶连续可导，且。（1）写出的带拉格郎日余项的一阶马克劳林公式；（2）证明：存在，使得。11设在区间上二阶连续可导，证明：存在，使得 。（三）定积分不等式的证明1设，证明：。2设对任意的，有，证明： 。3设，证明：。4设且单调增加，证明：。5设在上连续且单调减少，证明：。6设且单调减少，证明：对任意的，有。7设在区间上连续可导，且，证明：。8设在上连续可导，且，证明： 。9设在上连续可导，且，证明：

17、，其中。10设在上连续可微，且，证明： 。11设在上连续可微，证明：对任意的，有 。12设有界，且连续，对任意的有，证明： 。13设连续可导，且，（1）求；（2）证明：。14设，证明：。（四）广义积分1； 2； 3；4。 5。 6。 7。（五）定积分的应用1设为区间上的非负连续函数。（1）证明存在，使得在区间上以为高的矩形面积，等于区间上以为曲边的曲边梯形的面积。（2）设在内可导，且，证明（1）中的是唯一的。2求由圆与抛物线所围成平面图形的面积。3求双纽线所围成的面积。4求由曲线与轴围成的部分绕直线旋转一周所成的几何体的体积。5设满足，由及轴（）所围成的平面区域为，若绕轴旋转一周所围成的几何体

18、体积最小，求：（1）曲线的方程； （2）曲线的原点处的切线与曲线及直线围成的图形面积。6为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口。设井深30米，都自重400牛，缆绳每米重50牛，抓斗盛污泥2000牛，提升速度为3米/秒,在提升过程中,污泥以20牛/秒的速度从抓斗中漏掉。现将抓斗从井底提升至井口，问克服重力做功多少？第三部分 二重积分与三重积分内容复习（略）重点题型讲解（一）重积分基本概念与性质1设连续，其中，求。2设，求。3设在有界闭区域上连续，且，证明：存在，使得 。（二）二重积分的常规计算1交换积分次序。2、计算。3改变积分次序并计算。4计算，其中由与围成。5计算，其中由及围

19、成。6计算，其中。（三）奇偶性计算1计算，其中是由及围成的区域。2计算，其中。3、设连续，区域由围成，计算 。（四）三重积分的常规计算1计算，其中由围成。2，其中由。3求，其中是由绕轴旋转一周所得曲面与围成的几何体的体积。4求，其中是由绕轴一周所得旋转题介于与之间的几何体。5，其中。6设可微，且，求，其中。（五）三重积分对称性及奇偶性的计算1求，其中。（六）重积分等式与不等式的证明1设，证明：。2设且，证明：。（七）重积分的应用1半径为的球面中心在定球面上，问为何值时，在定球面内的面积最大？2高度为（其中为时间）的雪堆在融化过程中其侧面满足，已知体积减少的速度与侧面面积所成比例系数为，问高度为

20、的雪堆全部融化需要多少时间？第四部分 曲线与曲面积分内容复习一、曲线积分（一）对弧长的曲线积分1问题的产生曲线段的质量问题设为曲线段，其线密度为，求其质量。（1）任取；（2）；（3）。2对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）称为函数在曲线段上的对弧长的曲线积分（课本的概念简单了解）3对弧长的曲线积分的性质（1）；（2）；（3）；（4）（曲线段的常数）。4计算方法定积分法（1）设，则，于是。（2）设，则，于是。例题1 计算，其中。例题2 计算，其中。（二）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）1问题的产生功（1）理想状态（2）一般状态2对坐标的曲线积分（第二类曲线积分），称为函数在有向曲线段上对坐标的曲

21、线积分（课本定义了解即可）。3性质：。4计算方法方法一：定积分法（1）设（起点，终点），则；（2）（起点，终点），则。方法二：格林公式定理 设为连通区域（单连通或多连通，单连通边界正向为逆时针方向；多连通区域边界正向是外圈为逆时针，内圈为顺时针），其边界为，在区域上一阶连续可偏导，则有 ，其中边界时正向是取正号，边界为负向时负号。方法三：曲线积分与路径无关的条件在单连通区域上，在计算曲线积分时，有时起点和终点相同但路径不同，则曲线积分的结果不相等，有时起点和终点相同，而路径不同，但曲线积分的结果相同，这就是曲线积分与路径无关的问题，在单连通区域上，与路径无关的等价命题有（1）对中任意的封闭曲线

22、，有；（2）在内恒有（柯西黎曼条件）；（3）存在，使得。若曲线积分与路径无关，则。补充：全微分方程及解法对微分方程 （*）若，称为全微分方程，由曲线积分与路径无关的条件，存在，使得，从而，于是原方程的通解为 ，其中。方法四：两类曲线积分之间的关系（1），其中为有向曲线切向量的方向余弦；（2），其中为有向曲线切向量的方向余弦。二、曲面积分（一）对面积的曲面积分（第一类曲面积分）1问题的产生空间曲面的质量设为空间的有限曲面，其面密度为，求其质量。（1）任取；（2）；（3）。2对面积的曲面积分 称为函数在曲面上对面积的曲面积分（课本定义了解即可）。3性质：（与定积分类似，略）4计算方法二重积分法对，

23、不妨将向面投影（也可向其他平面投影，要视二重积分的计算）。（1）；（2）；（3）。（二）对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）1问题的产生流量设为有侧的有限曲面，速度场为，求单位时间内流入指定侧的流量。（1）任取，其中；（2）；（3）。2对坐标的曲面积分的定义称为函数在有侧曲面上对坐标的曲面积分，以此类推。3性质：。4计算方法方法一：二重积分法（以为例）（1）；（2）（当曲面的侧为上侧时去正号，当曲面的侧取下侧时取负号）（同理可研究其他两种情况）方法二：高斯公式定理 设为有侧曲面，为其围成的几何体，且在上一阶连续可偏导，则有 。（其中曲面取外侧时取正号，曲面取内侧时取负号）方法三：两类曲面积分之间

24、的关系，其中为曲面上一点的法向量的方向余弦。三、斯托克斯公式定理 设为空间有侧曲面，其边界曲线为，的方向与的侧按右手准则确定，函数在包含的区域内一阶连续可偏导，则有 。四、几个概念1梯度：设，则；2旋度：设，则。3散度：设，则。重点题型讲解（一）曲线积分部分1。2，其中为从点的弧段。3，其中的圆周从点到点的一段。4求。解答：，因为，且在除原点的区域上连续可偏导，所以在除原点的单连通区域上曲线积分与路径无关，取的上半椭圆且方向为逆时针，则有 ，即，而，所以。5其中是从点的直线段。解答：，因为，所以曲线积分与路径无关，取路径，则有。6（其中为常数），一周的任意正向闭曲线，求。7位于，质点沿从点。解

25、答：，质点的引力为 ，则，令，因为，所以曲线积分与路径无关，从而。8在力，质点从原点沿直线运动到椭球上第一卦限的点，问当。解答：，令，由得，则。（二）曲面积分部分1计算下列曲面积分：（1）；（2）。2，其中，。解答：，则，则，。3。4。5计算所围成的曲面的外侧。6。7求的上侧（）。曲线与曲面积分部分8。解答：，因为，所以。9求的交线，从轴正向看是逆时针。解答：，由Stokes公式得 ，因为，所以，因为，所以。第四讲 空间解析几何内容复习（略）重点题型讲解1求经过平面的交线，且与平面垂直的平面方程。2求过直线的平面方程。3求经过点及直线交点的平面方程。4设空间点，平面，求一条经过点与平行且与相交

26、的直线方程。5求直线，并求其介于与之间的几何体的体积。6求两异面直线之间的距离。第五讲 级数内容复习一、常数项级数（一）基本概念与性质1定义（1）级数设为一个数列，称为常数项级数（即所有项之和或全部和）（2）收敛称为级数的部分和，所极限存在，称级数收敛，设，即。2性质（1）设，则，。（2）设，则，特别地，若，则与敛散性相同。（3）添加、减少、改变级数的前有限项，不改变级数的敛散性（若级数收敛，则级数的和可能产生改变）。（4）若级数收敛，则任意添加括号后的级数收敛，且收敛于相同的和，反之不对。（5）（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则，反之不对。例1 发散，而。例2 判断级数的敛散性。3两个特殊

27、的常数项级数（1）级数 。（2）几何级数 （）。（二）正项级数敛散性判断1定义对，若一切的，称为正项级数。特点：单调增加，若存在，使，则存在，从而收敛，于是有如下的正项级数收敛判别法：2判别法（1）方法一：比较审敛法定理1（基本形式）设与皆为正项级数，1）若且收敛，则收敛；2）若且发散，则发散。例子：判断的敛散性。定理（极限形式）设与皆为正项级数，若，则与敛散性相同。例子 判断的敛散性。（2）方法二：比值审敛法定理2 设为正项级数，则当时级数收敛；当时级数发散；当时级数的敛散性不确定。例子 判断的敛散性。（3）方法三：根值审敛法定理3 设为正项级数，则当时级数收敛；当时级数发散；当时级数的敛散

28、性不确定。例子 判断的敛散性。（三）交错级数及审敛法1交错级数的定义或（）称为交错级数。2判别法定理 对交错级数（），若满足（1）单调减少；（2），则级数收敛。注解 单调减少条件不可少。例1 中，取，判断的敛散性。解答 因为当时，所以，从而，即为交错级数，又，但，因为收敛，而发散，所以发散，根本原因在于没有单调性。例2 设收敛，问是否收敛？例3 若为正项收敛级数，问是否收敛？例4 设单调减少且，若交错级数发散，判断级数的敛散性。（四）一般常数项级数的条件收敛与绝对收敛1定义若收敛，而发散，称条件收敛；若收敛，称绝对收敛。2绝对收敛与条件收敛的关系定理 若绝对收敛，则一定收敛。二、幂级数（一）基

29、本概念1幂级数或称为幂级数。2收敛半径对幂级数，若存在，当时，绝对收敛；当时，级数发散，称为级数的收敛半径。（二）收敛半径的求法及收敛域1收敛半径的求法（1）方法一：对，设，则（注意时；时）（2）方法二：对，设，则（注解同上）2求收敛域的例子（1）求的收敛域。（2）求的收敛域。注解（1）对，若，则。同样，若幂级数相邻两项次数跨度为3，则取倒数的同时要开3次方。（2）若在处条件收敛，则。（三）函数展开成幂级数1方法一：公式法（直接法） ，级数称为函数的泰勒级数，当时，称为函数的马克劳林级数。记住：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。2方法二：间接法定理1 设的收敛半径为，则当

30、时，且两个级数的收敛半径相同。定理2设的收敛半径为，则当时，且收敛半径相同。（四）幂级数的和函数及特殊常数项级数的求和重点题型讲解（一）常数项级数问题1判别下列级数的敛散性：（1）；（2）。解答：（1）由，得，因为，所以原级数收敛。（2），因为，所以原级数收敛。2判别下列级数的敛散性：（1）； （2）； （3）； （4）。3判断级数的敛散性。解答：设，当为偶数时，；当为奇数时，从而级数为交错级数，又，所以收敛。4判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛？解答：（1），因为，所以。令，因为，所以单调减少，又，故条件收敛。5设中哪个一个收敛？6设都收敛，且有，证明：收敛。7设偶函数，且，证明：绝对收敛。

31、8设，证明：（1）若收敛，则收敛； （2）若发散，则发散。（二）幂级数问题1求下列幂级数的收敛区间：2求幂级数的收敛区间。解答：，对，收敛区间为；对，收敛区间为，故原级数的收敛区间为。3求下列幂级数的收敛区间与和函数：（1）； （2），并求； （3）。4求下列幂级数的收敛区间与和函数：（1）； （2），并求； （4）。5将展开成的幂级数。7将下列函数展开成的幂级数：（1）； （2）； （3）。8设，且满足，证明：当时级数收敛并求其和函数。解答：因为，所以，当时，则，故当时，级数收敛。令，则，则。9求下列常数项级数的和：（1）； （2）。（三）傅里叶级数问题1将函数展开成傅里叶级数。解答：显然在

32、上满足收敛定理条件，将函数进行周期延拓，因为为偶函数，所以，（），当时，级数收敛于，故（，且）。2将函数展开成以2为周期的傅里叶级数并求。解答：在上满足收敛定理的条件，且为偶函数，则，（），（），则（），取，则，。3将函数展开成以4为周期的余弦级数。解答：将进行偶延拓和周期延拓，则，则（）。第六讲 微分方程内容复习（略）注：欧拉方程及解法1定义：称为欧拉方程。2解法：令，则，代入原方程即为高阶常系数线性微分方程。重点题型讲解1求下列微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）（5）。2求下列微分方程的通解：（1）；（2）；解答：（2）由得，则。3求微分方程满足初始条件的特解。解答：令，则

33、，则原方程化为，解得 。因为，所以，即，从而，再由得，所求解为。4求微分方程的通解。解答：由得，解得，故原方程的通解为 。5求微分方程满足初始条件的特解。解答：令，则有，解得，因为，所以，即，积分得，因为，所以，从而，再积分得，由得，所求解为。6设二阶常系数线性微分方程有一个特解，求及该方程的通解。解答：因为为方程的一个特解，所以为对应的齐次方程的两个解，且原方程有一特解，于是原方程的特征方程为，从而，把代入原方程得，即原方程为，通解为 。7求具有特解的三阶常系数齐次线性微分方程。8求微分方程的通解。9求微分方程的通解。10求微分方程的通解。11求微分方程的通解。解答：令，原方程化为，解得，从

34、而原方程的通解为。12在平面的第一卦限内求一曲线，使由其上任一点处的切线、轴及线段所围成的三角形面积为常数，且曲线经过点。解答：设所求曲线为，该曲线在点处的切线为，该切线与轴交点为，则有 或，解得，因为曲线经过点，所以所求曲线为。13在上半平面内求一条上凹的曲线，其上任意一点处的曲率等于此曲线在该点法线段长的倒数（为法线与轴的交点），且曲线在点处的切线与轴平行。解答：曲线在处的切线方程为，坐标为，于是，由题意得，令，则，代入原方程得，解得，因为，所以，动而，解得。14过点求一条曲线，使曲线上任意一点的切线与轴的交点到的距离等于该切线在轴上截距的绝对值。解答：，则或，解得 。15设物体从点出发，

35、以速度大小为常数沿轴正向运动，物体从点与同时出发，其速度为，方向始终指向，建立物体运动轨迹所满足的微分方程及初始条件。解答：设时刻物体位于，则有 ，整理得，两边对求导数得。因为，所以，代入原方程得 ，初始条件为。16一半球体的雪堆，其体积融化的速度与半、球表面积成正比例，比例系数为，设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，设半径为的雪堆在开始融化3小时内融化其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？解答：在时刻雪堆体积为，侧面积为，根据题意得，即，解得，因为，所以，即。因为，所以，从而，令，得，即雪堆全部融化需要6小时。17某湖泊水量为，每年排入湖泊内含污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖泊的水量为。设1999年湖泊中污染物的含量为严重超过国家标准，为治理污染，从2000年起，限制排入湖中含污水浓度不超过，问需要多少年时间，湖泊中的含量降到内？解答：设从2000年处起第年湖中污染物的含量为，浓度为，在内，排入湖泊中污染物为，流出湖泊的污染物含量为，则，解得，由，得，从而，令得，即最多经过年湖中的含量在以下。18求可微函数满足。解答：，解得，由得，从而所求函数为。19设可微，且对任意的有，又，求。解答：令，则。因为，所以，解得，由得。20设满足，且，求。解答：，则，解得 。21设是以为周期的二阶可微函数，且，求。解答：由，得，因为函数以为周期，所以。