高中数学第一章导数及其应用..函数的极值与导数学案含解析新人教A版选修

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1、1.3.2函数的极值与导数学习目标1了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用2掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件知识链接在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数yf(x)在点xd处的函数值f

2、(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd的附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.类似地，函数yf(x)在点xe处的函数值f(e)比它在xe附近其他点的函数值都大，f(e)0；在xe附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0. 预习导引1极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值

3、都大，f(b)0；而且在点xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值要点一求函数的极值例1求函数f(x)x34x4的极值解f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)0得x2或x2；由f(x)0得2x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情

4、况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)由表可知：当x2时，f(x)有极大值f(2).当x2时，f(x)有极小值f(2).规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值跟踪演练1求函数f(x)3ln x的极值解函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，

5、f(x).令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)3因此当x1时，f(x)有极小值f(1)3.要点二利用函数极值确定参数的值例2已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值解(1)f(x)3ax22bxc.x1是函数f(x)的极值点，x1是方程f(x)0的两根，即3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系，得又f(1)1，abc1. 由解得a，b0，c.(2)由(1)知f(x)x3x，f(x)x2(x1)

6、(x1)，当x1或x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0，函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数，当x1时，函数取得极大值f(1)1，当x1时，函数取得极小值f(1)1.规律方法(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性跟踪演练2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值解因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解之得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x

7、1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.要点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(

8、x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根所以，a的取值范围是(54，54)规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数跟踪演练3若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围解f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上是增函数f(x)的极大值为f(

9、1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0或4k0(如图所示)或即k4或k4.k的取值范围是(，4)(4，)1下列关于函数的极值的说法正确的是()A导数值为0的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值C函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案D解析由极值的概念可知只有D正确2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点答案C解

10、析在xx0的两侧，f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点3已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a6Ca1或a2 Da3或a6答案D解析f(x)3x22ax(a6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a3.4设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_答案9解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9.1在

11、极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.一、基础达标1函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf(x)的图象如图，则函数yf(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A1个 B2个 C3个 D4个答案A解析当满足f(x)0的点，左侧f(x)0，右侧f(x)0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点2“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值

12、”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立故选B.3若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9答案D解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.4函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值答案C解析由

13、y3x26x90，得x1或x3，当x1或x3时，y0，当1x3时，y0.故当x1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值5函数f(x)x33ax23(a2)x3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20，函数f(x)有极大值和极小值，方程x22axa20有两个不相等的实数根，即4a24a80，解得a2或a1.6若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是_答案(1,4)解析y3x23a，当a0时，y0，函数yx33axa为单调函数，不合题意，舍去；当a0时，y3x23a

14、0x，不难分析，当12，即1a4时，函数yx33axa在(1,2)内有极小值7求函数f(x)x2ex的极值解函数的定义域为R，f(x)2xexx22xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且为f(0)0；当x2时，函数有极大值，且为f(2)4e2.二、能力提升8(2014新课标全国)设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，) B(，4)(4，)C(，2)(2，)

15、D(，1)(1，)答案C解析由f(x)sin的图象知，在xx0处，f(x0)，或f(x0)，即f(x0)23，又k(kZ)，得x0m(kZ)，|x0|，xf(x0)23，34，m2或m2.故选C.9(2013福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点答案D解析x0(x00)是f(x)的极大值点，并不是最大值点故A错；f(x)相当于f(x)关于y轴的对称图象的函数，故x0应是f(x)的极大值点，B错；f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象的

16、函数，故x0应是f(x)的极小值点跟x0没有关系，C错；f(x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图象的函数故D正确10如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断正确的是_(填序号)答案解析函数的单调性由导数的符号确定，当x(，2)时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上是增函数，在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择.由于函数在x2的左侧递

17、增，右侧递减，所以当x2时，函数有极大值；而在x的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x的左右两侧均为增函数，所以x不是函数的极值点排除和.11已知f(x)x3mx22m2x4(m为常数，且m0)有极大值，求m的值解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，则xm或xm.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(m)m3m32m34，m1.12设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f(x)3x22x1.令f(x

18、)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0或f(x)极小值0，即a0或a10，a或a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点三、探究与创新13(2013新课标)已知函数f(x)exln(xm)

19、(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.(1)解f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.函数f(x)ex在(1，)单调递增，且f(0)0，因此当x(1,0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)单调递减，在(0，)单调递增(2)证明当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)ex在(2，)单调递增又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.11