声学基础课后题答案

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1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.d2MmdI2声学基础（南京大学出版社）习题11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待，其固有频率为f，质量为m,求它的弹性系数。解：由公式fo工叵得:2Mm1-2设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：（1）当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2）当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答：foJg,g为重力加速度）2l图习题12解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：

2、它受重力Mmg,方向竖直向下；受沿纯方向的拉力T,这两力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sin,受力分析可得：FMmgsinMmg-（2）外力去掉后（上述拉力去掉后），小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知:则 Mmd2 dt2d2Mmg即2这就是小球产生的振动频率ldt1-3有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置X。处，挂着一质量图习题1-3Mm,如图所示，试问：(1)当质量被垂直拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表小?(2)当外力去掉后，质量Mm在此恢复力

3、作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对Mm进行受力分析，见右图，222、22、2、X。，X。Xo,（lXo）（lx。）。）可见质量M m受力可等效为一个质点振动系统，质量M Mm,弹性系数TlXo（lX。）(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为TlX。X。)方向为竖直向下(2)振动频率为TlM |X0（l %）M(3)对分析可得，当x01时，系统的振动频率最低21-4设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在纯的X。位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移。以保持力的平衡

4、，并假定M离平衡位置。的振动位移很小,满足。条件。图习题143文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.7文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑解：如右图所示，受力分析可得0，TT，d24Tdt2l2TcosMgcos4一0Mg可得振动方程为2T2MO1-54T0l有一质点振动系统，已知其初位移为0,初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移acos(0t),速度表达式为v0asin(0t)o0,代入上面两式计算可得:0cos0t0sin0t。1c振动能量E-Mmv221-6有一质点振动系统,已知其初位移为V

5、o，试求其振动位移、速度、和能量。解：如右图所示为一质点振动系统,弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿X轴，位移为则质点自由振动方程为d2dt2o0,(其中KmMm解得aCOS(ot0),1-2220aCOS0a00v0当to0,vt0vo时，V00aCOS(0-)anv。20arctan00质点振动位移为yj(202v2cos(0tarctan-v0-)000质点振动速度为v2(2vocos(0tarctan-v0-)0021c1ccc不同振幅振动的叠质点振动的能量为E1Mmv21Mm(02；v2)1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、，1一.、力口sint-sin2t

6、,试问:2(1)在什么时候位移最大？(2)在什么时候速度最大?1-d dt2解：sintSin2t,22,_2_Sint2Sin2to令0,得：t2k或t2kdt3经检验后得：t处9时，位移最大人d1、令一2-0,得：tk或t2karccos(-),dt242k经检验后得：t工时，速度最大。1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示试证明acos(t)221sin12sin2其中aq12212cos(21),arctan-12-1cos12cos2证明：1cos(t1)2cos(t2)设A1cos12cos2,B(1sin12sin2)22，一B贝UAcostBsint=yjAbcos(t)(其

7、中arctan()A222222乂ABicosi2cos22i2cos1cos2又arctan(B)arctan(1sin2 cos wt即可证。有一质点振动系统，具固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量 Mm上附加一已知质量m,并测得由此而引起的弹簧伸长于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之22 sin wtsin2)A1cos12cos2令aAB12212cos(21)则acos(t)1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示1 cosw1t2 cos W2 t(W2W1 )试证明acos(W1t其中 a ,1 2222 1 2 cos( Wt),2sin( W

8、t) arctan12 cos( Wt)WW1 W2 .解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知,其中，WW2W10由三角形面积知,sin2sinwttg2 sinWt2sinwt1-10证由胡克定理得mg=Km&Km=mg/&文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.由质点振动系统固有频率的表达式1fKm2IMmKmmg11文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑42fo2纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一质点振动系统，具固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m,并测得由此而引起的系统固有

9、频率变为f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解：由f0Jm得Km(2fo)2Mm2Mm,一1K2由foJ行Km(2fo)(Mmm,)2IMmm上2,2上2上2联立两式，求得Mmmf02，Km4mf0f20fofofofo1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧用接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图 1-2-3解：申接时，动力学方程为Mm(dt图 1-2-4K1mK2m o,等效弹性系数为K1m K2mK1mK2mKoK1mK2md2并接时，动力学万程为MmJ(K5K2m)。，等效弹性系数为出KK1m仁。1-13有一宇航员欲在月球表面

10、用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩o100mm可称o1kgo宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg,然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s,试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为M,地球表面的重力加速度为g9.8ms2,月球表面的重力加速度为g由虎克定律知 FM Kx,又FmMg 则 K Mg 1-g 10gx 0.1T2-2JM1MM10210芋2.5kgx1又一则x0.04mx0.41.58m s2-KMgKx则gx40.04M故月球表面的重力加速度约为1.58m/s2,而该岩石的实际质量约为2.5kg

11、。aej( t (n 1)1-14试求证jtj(t)j(t2)aeaeae同时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧Km在它上面加一重物Mm,构成一振动系统，其固有频率为(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？解：固有频率fo二叵。2Mmf一KU)f0寸Km丁，故应该另外申接三根相同的弹簧;(2)MmMmKm 2Km,故应该另外并接一根相同的弹簧。f。1-16有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm,弹性系数为Km

12、。试求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为1-17原先有一个0.5kg的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2kg的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m,当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5kg质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：(1)这一系统的力学参数Km,Rm,f。；(2)当0.2kg的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；(3)在经过1s后，系统具有的平均能量。解：(1)由胡克定理知，Km=mg/e所以Km=0.2X9.8/0.04=49N/m故Rm1Ns/m2Mm(2)系统所具有的能量E1Km2-490.0420.0392J2

13、2(3)平均能量E1Km02e2t5.31103J21-18试求当力学品质因素Qm0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻0,vV0,试讨论解的结果解：系统的振动方程为：进一步可转化为，设a,2Mm设：于是方程可化为：解得：j(一2一2)方程一般解可写成：存在初始条件：t00,vt0v0代入方程计算得：v0I0,B222v02., 2:解的结果为:te t(Ae22t2 2tBe 0 )其中Av02、2 oVo2. 201-19有一质点振动系统,其固有频率为fl ,如果已知外力的频率为f2 ,试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为KM,质量抗为M

14、m已知 f0 50 Hz , f 300 HzKmMm2 0224f0(50)212224 f2(300)361-20有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m的2、0弹簧上，试问:(1)这系统的固有频率为多少？(2)如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？解：(1)考虑弹簧的质量，f0JKm-J1502.76Hz.2MmMs/320.40.3/3(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm为Mm+Ms/3.Rm 5 2Mm

15、2 0.55, f0122* 01150522.64Hz2 0.4 0.3/3(3)品质因素Qm0MmRm16.58 0.551.66,位移共振频率：frf。. 11 22.39Hz,2Qm速度共振频率：frf02.64Hz,文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持加速度共振频率：frQmfo 1112,92Hz2Qm1-21有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于2OQm13文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑解：系统每个周期损耗的能量-Rmv2T 22 mvaRm fMm发生速度共振时，ffoRmfo

16、Mm2国Rm2oQm1-22试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率fo；（2）假定f1与f2为在fo两侧，其平均损耗功率比fo下降一半时所对应的两个频率,则有Qmf2f1证明：（1）平均损耗功率为1 T-WRdtT o2 Rmva（ Rm为力阻，va为速度振幅）质点强迫振动时的速度振幅为Mm为质量,当Z=1即f(2)WrvaFaQmZoMm.z12(Z21)2Q；,（Fa为外力振幅，0为固有频率,Qm为力学品质因素，频率比Z一ofo时，发生速度共振，va取最大值,2Rmva2fo产生最大的平均损耗功率。Rmax_2_21RFaQmRm222oMm

17、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.WR =1WRmax2F 2q24QT(1):Mm由式(2)得z (z2 1)Qm解得z2z (Z1)Qm 解得 Z1.1 4Qm2Qm取Z1则 Z2 Z1Q?”f1fo-21,1 4Qm2Qmf2 f11foQm取Z21 4Qm201、 1 4Qm2Qm1c11F2Q2c则:Rmv2=1(IRmF)即2v2=2220Mm把va,FaQmZ之2，带入式(J，则Z2(Z21)2Q；Q)0MmZ2(Z21)气:41文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑1-23有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的

18、弹簧上，设系统的力阻为2Ns/m,作用在重物上的外力为Ff5cos8tN。(1)试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；(2)假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N,那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？Rmdr KmFf,得d2解：(1)由强迫振动万程Mm一三dt2则位移振幅a.(KmFa2222wMm)wRm0.0369m速度振幅va0.296m/s加速度振幅-2aawa2.364m/s2平均损耗功率P12_2RmvaO.0876(2)速度共振时1f。1Km2Rm(Rm)23.158Hz2Mm则位移振幅aFa22Km

19、wMm)22wRm0.126m速度振幅vawa2.495m/s加速度振幅aa249.6m/s2平均损耗功率226.225(w)1-24试求出图1-4-1所示单振子系统，在t0,初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论0两种情形下，当0时解的结果。解：对于强迫振动，解的形式为:其中aFaZm初始条件:0,代入得:解得:.2(cos22)(sin)2cossin02(cos)2自：t,cos(0t0)acos(0时,Rm0,0Xmarctan-,Rm2a(sin0tcost)o0时,达到位移共振。1-25有一单振子系统，设在其质量块上受到外力Ff.21sin一20t的作用，试求其稳态振动的位

20、移振幅。解：此单振子系统的强迫振动方程为d2d1Mm工RmKm二dtdt2(1)d2Mmdt2dRmdtKm1一cos0t2(2)由式（1）得12KmFejt代入式（2）得oRmj(oMmKm)012 oR10Rm(oMmKm)2201-26试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表小式解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为:该方程式稳态解的一般形式为aejwt,将其代入上式可得:其中IaI2K1K22(R1R2)2M12arctanK1K2R1R2故质量块的稳态位移表示式可以写为:|aIcos(wt-0).1-27设有如图所示的耦合振动系统，有一外力F1Faejt作用于质量M1上

21、。M1的振动通过耦合弹簧K12引起M2也随之振动，设M1和M2的振动位移与振动图1-4-1速度分别为1,V1与2,V1。试分别写出M1和M2的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时V1Z2 Z12乙Z2(Z1Z2)Z12F1 与 v2ZF1乙Z2 (Z1 Z2)Z12其中K1乙j(M1TR,Z2K2j( M2 ) R2,Z12jKl2o设：1Aejt,2Bejtv1V1ejt,v2V2ejt于是方程可化为：设：K1K2jK12Z1j（M1）R1,Z2j（M2）R2,Z12对上面的两个方程整理并求解可得1-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：FaApa,其中

22、A为常数，Pa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式（动圈式），并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：压差式传声器产生的作用力振幅为FaAPa，其中A,Pa为常数，则Fa随变化。电动换能方式传声器，具开路电压输出为EBlv,要使E均匀恒定，则要v恒定系统处在质量控制区时Va犯,此时Va与频率无关，故MmMm在一较宽的频率范围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式（电容式），其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状

23、态？为什么？解：传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系：只有在力阻控制区，FaAPa即在此控制区，输出电压E与频率无关。传声器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30有一小型动圈扬声器，如果在面积为S0的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为Rr0C0S0（参见5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么?解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为W1Rv：=2a-0C0S0V22其中0,C。，S0均为常数，要使W均匀，则v2应不受的W影响。故振动系统应工作在力阻控制区，此

24、时va反（其中Fa为频率恒定的外力，Rm也包Rm定）1-31有一如图所示的供测试用动圈式振动台，台面Mm由弹簧Km支撑着，现欲在较宽的频率范围内，在首圈上施加对频率恒定的电流时，能使台面Mm产生均匀的加速度，试问其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：音圈通以I电流时，在磁场下产生电动力FBIL,由FMma可见,只有在质量控制区a二时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。Mm1-32有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量Mm=1.5X103kg,台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧串联而成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600kg时，产生的位移3cm,试求该隔振系统的固有

25、频率，并问当外界基础振动的位移振幅为1颁、频率为20Hz时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？解：每只弹簧的劲度系数K=600X9.8/0.03=1.96Xl05Wm每组弹簧的总劲度K=K/2则固有频率f02.57 Hz由振动方程MmKm（0）0,将 aejwto aejwt代入得,K aK w2M0.0168 mm四组弹簧并联后的劲度K2=4Ki=2K=3.92X105N/m1-33设有如图所示的主动隔声系统，有一外力50=5106作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力F与Fo的振幅比.解：对质量块进行受力分析，可得质量块Mm的振动方程为:其稳态解的一般形式为a COS（ t ）.其中aFio

26、Fio|Zml .Rm2KmM marctanRm弹簧传递给基础的作用力为F Km KmaCOS（t ），则 Fa aa.由此传递给基础的力F与F。的振幅比Df 三KmFio1-34有一振动物体产生频率为f，加速度振幅为aio的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为fo,力学品质因素为Qm,音圈导线总长为l,磁隙中的磁通量密度为Bo试求该加速度计的开路输出电压将为多少?解：动圈式加速度计测量由QmMm得Rm0MmQm由foKm27t.MmKm 4 2f02Mm则EaM ma10Bl Zm=B1a10Mm1Rm ( Mm K)2 2=Bla10Mm1O-K22Rm

27、2Mm2KmMm，Blao=12244o4f02Q2216fo-T2-8f02Qm1-35设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成FfFa(1hsin1t)sint,其中h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。解：外力表达式为FfFa（1hsint）sintj（ t 一）用指数形式表示外力为FfFae22Fahej（2i)t2Fahej(i)t振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为MmKm其中:arctanRm(1)Mm 4 arctanRmL；(1)Mm KarctanRm2Ke 2Rm ( M m )；Z2Rm (1)Mm 旦H2 ；1R；(K

28、m 21)Mm-m-2 o11-36FfFa(1设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为2t)(kT t (1 k)T,k 0,1,2,“|)试求振动系统的位移。解：质点的振动方程为MmJRm dt dtKmFf (t)Fa(1 )(1)其中式(2)又 FF(t)An cosn tBn sin nt,2jtT(2)1 TAoT 0 Ff (t)dt 0也可表小为FfFn cos(n tn)(3)其中Fn2Fa n arctann把式(3)表示成为复数形式FfFnej(n n 0t n)则式(1)可写成 Mm J2Rm -dt dtKmj(n t n)F nen 0(4)其中Zn

29、n ,代入式（4）可得jXnRmj(n MmKm取的实部得Fn .cos(n0 n Zn_2Fa_ n 0 n2 |Zncos(n式中 ZnRm (n Mm -m)2n1-37设有如下形式的外力作用于单振子的质量上，试求振动系统位移解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得其中 Fn . An22Bn , n arctanBAn由止匕FnA0BnF1Fnj(n t n)en 0jn Zn1 T2TBn,T0 Ff (t)dt 0,T0 Ff cosnwtdtf (t) sin nwtdt0,1)n4Fa n0n为奇数n为偶数万（n为奇数），即4 Fa,F3a,F5,FnFa；由（1-5-14）得质

30、点振动系统得位移4Fa-CoS(wt1)-乙94FaZ3cos(3wt 34FaZncos(nwt n )（n为奇数）习题22-1有一质量为m,长为l的细弦以F的张力张紧，试问:(1)当弦作自由振动时其基频为多少？(2)设弦中点位置基频的位移振幅是B,求基频振动的总能量(3)距细弦一端1/4处的速度振幅为多少？解：(1)简正频率fn口,I,且线密度m21.1基频f12rp2、m(2)基频振动的总能量E116T 01 216TB21 2(3)弦的位移的总和形式(t,x)Bn sin knxcos( nt n)速度表达式为v(t,x) (BnnSinknx) sin( nt n)距一端0.25m处

31、的速度振幅VaBn 2盛产吟4)2-2长为1的弦两端固定，在距一端为X。处拉开弦以产生0的静位移，然后释放。(1)求解弦的振动位移;(2)以x。1/3为例，比较前三个振动方式的能量。解：弦的振动位移形式为:其中kn n 1Bn COS n ，DnBn sin(1)由初始条件可得：(t0)0一 xx04(11 xx)(0 xXo)(x x 1)Cn又Dn2121 n0(x)sin knxdx10v0(x)sin kn xdx则Cnx00xsinknxdx xOk(lx)sinknxdx2 0l2, npsinx02%(l %) l则sin(2)En22 2n c4lBn22n T4lBn2当x0

32、1l3时,BnCn0 l_ (l _) 33n sin 一lnsin 3则Ei工94l.、2sin )3243T 216 2l2-3长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度vo敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。解：弦的振动位移表达式为可得速度表达式为由题可得初始条件:t0 0；2v0 xl2v02v0x l,0,2通过傅立叶变换可得:Cn0;Dn4v0 3 ( sin kl kl n位移表达式为(t,x)Dn sinknxsin nt n 1其中Dn4v03 ( sin kl kl3 32s畤)2-4传给长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度V0敲击弦的中心，试证明外力弦的初动能等于弦作自由振动时所

33、有振动方式振动能的总和。解：初始条件(t0)0v0弦的总位移为(t,x)sinknX(Cncosn1ntDnSinnt),nc其中CnBncosn,DnBnsinn,(nK又Dn2l20v0(x)sinknxdx=n1nl0vosinknxdx=2voI(1cosn)1 4vol25 c，又弦振动时的总能量为E Enn 12.,T 2 2c2、_ 4Tvl 小 11(77 n - Bn) =2 2 (1 二工n 1 4lc 9 25|)_ 4Tv2l一2 2 c2(T)_ Tv2l _ Tv2l2 c2 * * * *=如(|当n为偶数时，D2D4D60当n为奇数时，Di犁，D314v0l,D

34、5c9c故BnDn,n0122=-mv0=Ek0(c21外力传给弦的初始动能为Ek0=2 和 T 一1 T 一2F 。mv22(即认为没有反射波回2-5设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远来)，假设在离固定端距离l处，施加一垂直于弦的力FFaejt,试求在xl力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。提示：在弦的力作用点处，应有连接条件:ira.x00解：（1）由题意可知其初始条件和边界条件为2M2t2弦的振动位移为（t,x）(AcosuxcBsinux)cos(ut)(其中un2fn)cx00时,得A0则(t,x)带入边界条件可得:TBucosulcos(utcutan-lccTMcuBsi

35、nuxcos(ut)c、2u)MBusinlcos(ut)c（其中cT,弦的质量为Ms,线密度为）M3,则rtanr,这就是弦作自由振动时的频率方程。M系为(2)Mmm时1,故可近似为tanrtanr可简化为.求解这一代数方程，可得近似关(x21)且1MsM1M3MMs17,MsMs3ulcJfnc,Ms则foMsMsMs3(其中KmMs2-7长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移b,然后释放.试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为(t,x) (AcoskxBsin kx) cos(t ).由棒一端

36、固定一端自由的边界条件得由(1)式Acos(wt)0A=0.由式1、kBcosklcos(wt)0coskl0kn(n-)-p(n1,2,3,).由此各阶简正频率对应的位移表达式为n(t,x)Bnsinknxcos(ntn).棒的总位移为各简正频率位移之和，即(t,x)Bn sin knxcos( nt n).n 1棒的初始条件为由(4)sinn0nn由Bn cos( n)l0 0(x)sinKxdxBn2 0(n-)2幅最小的位置变到何处？).解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为(t,x)(AcoskxBsinkx)cos(t由棒两端自由的边界条件得由式Bk cos(wt )0 B

37、 = 0.由(2)式kAsin kl cos(wtsin kl 0knn (n 1,2,3,) lfnn knC nc2-丁力(1)棒作纵振动的基频为c2l16.85 10102 12.7 1032520 Hz.该简正频率下的位移表达式为:1 (t, x)Ai cosk1xcos( 1t 1).一一1当coskx0,即x(n1)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为0,l,得知x-0.5m的点位移振幅最小.2(2)当在一端负载时，由(2-2-25)得到吐Mm0.2,即tank0.2k,klm利用数值方法可以求得k1=2.65.该简正频率下的位移表达式为：1(t,x)A1cosk1xcos

38、(1t1).(n1)当coskx0,即x2时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围2.65为0,l,得知x1=0.59m的点位移振幅最小.2-9有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。(1)试求棒作纵振动时的频率方程；(2)如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？解：(1)棒的位移方程为由边界条件得：故频率方程为：ctgklMklm(2)将2-8参数代入得由牛顿迭代法知：ki=1.3138WJf1kc1.05103(Hz)2基频振幅为：1Bsink1x,(0x1)当x=1时，sinkj达到最大，即振幅最大2-10试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2

39、模式的自由纵振动时,它们的位移振幅随位置x的分布图。解：两端自由的棒：两端固定的棒：2-11设有一长为l,两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为0xcos-px,初速度V0x0。求该棒振动位移表示式。解：棒做纵振动时，其方程的解为：x00B0fnnc两端自由，即不受应力作用，x21xl0k1nknx所以，AnCOSknxCOS(nn)n1即A,cos11Al1,An0,(n2,3,)所以cosxcos(-t)112-12设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x0处，而自由端取在xl处。试求该棒作自由振动时的简正频率,并与(2-2-20)式作一比较。附：c

40、fn(2n1)-(n1,2,3,)。(2-2-20)4l解：棒的振动位移表达式(t,x)(AncosknxBnsinknx)cos(t)边界条件：x00；Xl0,代入位移表达式解得：An0；kn2n 1 o2l于是可推出cfn(2n1)(n1,2,3,)。4l若将自由端置于原点，固定端置于xl处，同样能得出与(2-2-20)相同的结论。2-13长为l的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用(FFacost)0(1)试求棒作纵振动时的位移表达式；(2)证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为KmES。l解：棒纵振动位移的一般表达式为：(AcoskxBsinkx)cos(

41、t)满足边界条件:ES(7xFA cos tBA 0FaESkcosklcos tcos( t )所以,FaESkcosklcos tcos( t )sin kl cos(sinkx ESkcoskl当频率较低或棒很短时，即kl1 时，coskl 1 , sinkx kx klESk 1klESlESl即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为ESl2-14长为l的棒一端钳定一端自由在进行横振动,设已知基频时自由端的位移振幅为0,试求以来表示的棒的基频位移解：设棒在x0端钳定，xl端自由，于是边界条件可写为:0,x0 0,23-2-xl0,3xl0xx代入横振动方程可得AC,BD,并有如下关系

42、设一l,并用简正值(n=1,2,3,)代表的一系列根值。sinnshn.BnAn-，cosnShn1cosnchn自由端基频位移振幅AX。)基频位移i(t,x)AiY(x)cos(iti),其中：Y1(x)(ch-xcosx)sn_1一sh-1(shxsinx)llcos1chillo(cosichi)Aio2(shisini1)2-15长为l的棒一端钳定一端自由,如果初始时刻使棒具有位移t0:x,试解棒作横振动的位移表达式。解：初始条件和边界条件为：x00(1);0(2)xx020 (3)；x x l0 -x (5)；30(4)xxl-0(6)tt0棒作横振动的总位移位为：(t,x)Acos

43、hxBsinhxCcosxDsinxcos(t)(7)把(1)、(2)代入(7)得AC,BD贝U(t,x)A(coshxcosx)B(sinhxsinx)cos(t)(8)把(5)、(6)代入(8)得即sin0即n2-16长为l的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。解：棒作横振动的位移方程为:32由边界条件得：1x00,x30,x要使方程有解，则ch l cos l vvshl sin lw sh-lv,w. ch lvsin l v w.cos l v=0ch - l cos l 1vv2-17长为l的棒两端钳定，求棒作横振动的振动频率方程解：由(2-2-57)式得棒的横振动一般表达式为其中

44、c ck ,由棒两端钳定的边界条件得由A= - C B= - D由(2)A sinh l sin lB cosh l cos l 0这是一个二元一次方程组，若 零,即A, B为非零解，则它们的系数行列式应等于由此可化得 cosh l cos l1 ,这是一频率方程，可用图解法求解。设T表示方程的一系列根，此时简正频率fn畀n22-19已知铝能承受最大张应力为P,密度为，如果现在用这种材料制成厚度为h的膜，试求膜能承受的最大张力为多少？如果将其绷在半径为r的框架上，试问这种膜振动的基频最高能达到多少？解：膜能承受的最大的张力TPh,当半径为r时，膜的基频达最大，大小为2-21求解周界固定的矩形膜

45、作自由振动时的简正频率以及简正振动方式,如果膜的边长为1:2,试计算最小四个泛频与基频的比值。222解：膜的振动方程为：J2xyct设：(x,y;t)a(x,y)ejt代入方程(*)得：a(X,y)a(x,y),a(x,y)xyc2-23设有一圆环形膜，具在外周ra与内周rb处固定，试证明该圆环膜自由振动的频率方程为其中yka,ykb。证明：圆环形膜的振动方程为：(t,r)R(r)ejt其中R(r)AJ0(kr)BJ0(kr)。由外周ra与内周rb处固定得边界条件|ra0,|rb0,代入方程得AJ(ka)BN(ka)0,AJ0(kb)BN(kb)0,整理得J0(ka)N0(kb)N0(ka)J

46、0(kb)0。从而可得该圆环膜自由振动的频率方程为其中yka,ykb。习题33-1如图3-4-2所示的隔振系统，试画出其阻抗型类比线路图，并运用线路图来讨论此系统的隔振性能。图3-4-2V弑用=。解：阻抗型类比线路图如（C）图所示。下面分析一下系统的隔振性能，利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有在Mm后面的分支点有合并两式即得经整理得3-3试画出如图（a）所示的弹簧并联相接的力学系统的导纳型类比线路图,并从线路图求出系统的等效弹性系统。Ci)图解：导纳型类比线路图如（b）习题3-3图所示。卜面分析一下系统的隔振性能,利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有在Mm后面的分支点有合并两式即得经整理得3

47、-5试画出如图(a)所示力学系统的导纳类比线路图(力阻都忽略不计)。图习题3-53-7(a)图中示意画出了自行车的简化力学模型，如果由于路面不平整，使一只轮胎得到一垂直方向的速度VVaCOSt,试画出该系统的导纳型力学类比线路图。人4W V圉习题3-7一，3-9有一简单的护耳罩结构如M(a)所示，耳罩与人头之间形成一体积为V的空腔，耳罩的质量为Mm,有效面积为S,它与人头之间以弹性系数为Km的软垫接触，假设耳罩外有一声压为p的声波作用，在耳罩内产生的声压为pv,试求出耳罩的传声比包,并分析护耳罩的传声规律。P3-11有一耳机，其振膜的固有频率原设计在f测试时将耳机压紧在一个文档来源为：从网络收

48、集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.模仿人耳体腔体积为V的小盒子上进行，如图所示。求这时系统的固有频率，设振膜有效质量为 m,有效面积为S。图习题3-113-14试画出如图（a）所示带通声滤波器的类比线路图，并求出其截止频率，r图3-16如图为一压强式电容传声器 结构示意图，背电极上打有许多小孔， 构成声阻尼元件Ma1, Ra1 ,试画出其 类比线路图。3-18号筒式扬声器的简单结构如图（a） 所示，有动圈式换能得到的交变力 F作用在 振膜上，振膜的质量、力顺及面积分别为Mm, Cm和S, Ca1和Ca2分别为前室和后室的声容，So为号筒吼部面积，假设已知吼部振膜图习题3-18C的声辐射

49、阻抗为Rra ,试画出号筒式扬声器的类比线路图So习题44-1试分别在一维及三维坐标里，道德质点速度 v的波动方程解：小振幅声波一维波动方程：,1一 一由（3）得 rP代入（2）得CoV 1 0 -2xc0(4)(4)对x求导，得22 V0c0 -2 x(5)(1)对t求导，得2V0-tr(6)(5)与(6)相加，得2V-2 x1-2 Co三维波动方程:推导方法与一维相似，得4-2如果媒质中存在体积流源,单位时间内流入单位体积里的质量为(：0q(x,y,z,t),试导出有流源分布时的声波方程.解：由于媒质中存在体积流源，媒质的连续性方程发生改变首先考虑在一维x方向上的连续性方程由质量守恒可得(

50、Vx)x0qx) Sdx(Vx)xoqx-t63文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑将其扩展到三维的情况div(0)0qt再由媒质的运动方程和物态方程得0gradp2PCoXt(1)式两边同时求导得div( 0 ) div(-J) 0 tt2将(2)式和(3)代入上式得可记为2 一一1 pq、div( 0).C0tt上式即为有流源分布时的声波方程.4-3如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体力为 试导出有体力分布时的声波方程。F(x,y,z,t),解：体力影响运动方程：首先考虑一维情况，取一足够小体积元Fi= (P0+p) S+FxSdx, F2= - (P0+p+dp)

51、S-Fx+dxSdx则合力为(-pSdx x再推广至三维情况，Sdx),由牛顿第二定律，得 x并考虑小振幅声波，得另两个方程仍为:由以上三式可推出:div( 0v)212p(p F )2 -22C0t4-4如果在没有声扰动时媒质静态密度是不均匀的,0 (x, y, z),试证明这种情况下的声波方程为21 pp 2- gradp grad (lnC0t0)0证明：在密度不均匀的条件下的三维声波方程为:dv .正 gradp(Ddiv( v) vgrad (2)pc2(3)在小振幅的情况下，经线性规划，dv 0 dt(1)式和(2)gradp式的三维线性方程可化为(4)(5)div(0V)vgra

52、d0(3)式不变，其中的系数c2是决定于媒质平衡态参数的一个常数将(3)式对t求导并代入(5)式得:(6),1pdiv(0v)vgrad0-C0t(6)式对t求导得:vx v .div( 0 ) gradJ 2 Pc2 t2(4)式代入上式，且div(gradp)2p4Tgradpgrad(ln。)C0t其辐射声波波4-5一无限长圆柱形声源沿半径方向作均匀胀缩振动时,阵面是圆柱形的，设径向半径为r、单位长度圆柱形波阵面面积为S2r,试求出这种声场里声波方程的具体形式。解：因为为无限长圆柱，产生无限的均匀圆柱声场(即波振面的形状在传播过程中保持一定，且传播方向不变沿r方向)，所以仅取单位长度的被一很小的立体角所割出的空间作为研究对象。在r处，其波振面面积为S2r,单位时间内流入质量为vS。在rdr处，v,S发生变化，单位时间内流出质量为所以单位时间流入体积元的质量为(vS),(vS)rdrj3dr,r因为传播仅在r方向，而且仅考虑小振幅情形，此时运动方程为又因为该体积元内质量近似等于Sdr,单位时间内质量变为(Sdr),t由质量守恒定律有qS)drr因为 0,所以式可以写为(vS)r式两边同乘2 (变为v-S)rCt2-又物态