大学解析几何

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1、空间解析几何基本知识一、向量1已知空间中任意两点 MxyzJ和M2（X2,y2,Z2），则向量皿側2 二（X2 -石也-yZ2 -N）TT2、已知向量 a =（印4243）、b =（d，b2,b3），则1 1 2 2 2(1) 向量a的模为21=4 a2a3T f(2) a 二b = (ai 二 bi，a2 二匕2忌 二d)T(3) a =( ,a1, a2, a3)T j3、向量的内积a bf f f ftt(i)a b a | | b | cos ： a, b(2)a b = a1 b1a2da3b3TTT TTT其中：:a,b 为向量a , b的夹角，且0_：a, b - :注意：利用向

2、量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。T T4、向量的外积a b （遵循右手原则，且T T T T T T a b_a、a b_b)a汉 b = a1 a2 a3bib2b301 _b1b2b3T T T T5、( 1) a b = a = b T T T Ta _ b = a b = 0 ：= a1b1a2b2a3b3 二 0、平面1平面的点法式方程已知平面过点P（x0,y0,z0），且法向量为n =（代B, C）,则平面方程为A（x - xo） B（y - yo） CCz-Zo） = 02、平面的一般方程注意：法向量为n =（A, B,C）垂直于平面Ax By

3、Cz D = 0，其中法向量为 n 二(A,B,C)3、（ 1）平面过原点（0,0,0） ：= Ax By Cz = 0T（2）平面与x轴平行（与 yoz面垂直）=法向量n垂直于x轴=By Cz0（如果D = 0 ,则平面过x轴）平面与y轴平行（与xoz面垂直）=法向量n垂直于y轴:二 Ax Cz = 0（如果D = 0，则平面过y轴）f平面与z轴平行（与 xoy面垂直）二 法向量n垂直于z轴二 Ax By0（如果D =0，则平面过z轴）T（3）平面与xoy面平行=法向量n垂直于xoy面：=Cz D = 0T平面与xoz面平行:二法向量n垂直于xoz面：=By D = 0一T平面与yoz面平行

4、二 法向量n垂直于yoz面:二 Ax亠D = 0 注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点P（x0,y0,z0）且方向向量为Tv =(V|,V2,V3)直线方程x X。y - y。_ z - zV2V3注意：方向向量V = （v1 ,v2, v3）和直线平行2、直线的一般方程jAix + Biy+Ciz + Di _0 ，注意该直线为平面Ax + B2y+C2z + D2 =0A1x B1 y C1 z D1 = 0和 A2x B2y C2z D2 = 0 的交线3、直线的参数方程X = Xov1t* y = yo ftZ =Zo +V3tT4、(1 )方向向量V= (0,V2,V3

5、)，直线垂直于(2)方向向量v = (v1,0,v3)，直线垂直于y轴(3)方向向量v =(v1,v2,0)，直线垂直于z轴T_5、(1 )方向向量v =(0,0,v3)，直线垂直于xoy面(2) 方向向量v =(0,v2,0)，直线垂直于xoz面(3) 方向向量 v =(w，0,0), 直线垂直于 yoz面应用一、柱面1设柱面的准线方程为J1y，z) 0，母线的方向向量v=(vv2,v3)，求柱面方程f2 (x, y, z) = 0方法：在准线上任取一点皿仪“力乙)，则过点 皿(治，,乙)的母线为Z -乙v3f2（xy1,Z1）= 0（ 2）（3）X - X1 _ y - y1 v1v2又因

6、为“（xyzj在准线上，故（人”仆乙）=0（1）x - X1_ y - y1 _ z - Z1二tv1 v v3由(1)、(2)、(3)消去X1.y1.Z1求出t，再把t代入求出关于x, y,z的方程F(x, y,z)=0, 则该方程为所求柱面方程例1:柱面的准线为丿2 + 2 + 2 1、2：2+!二=2，而母线的方向为v=T0求这柱面方程。解：在柱面的准线上任取一点M (X1, y1, Z1)，则过点M (捲，y1,乙)的母线为x - Xiy - yiz - 乙一1 一 0 一 1即 Xi =x t , % =y , Zi =z t(i)2 2 2 2 2 2又因为 “(xyzj 在准线上

7、，故 xi +yi +4=i (2), 2xi +2yi +zi =2 (3)由(i) (2) ( 3)得 x2 y2 z2 2xz -i =02、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径方法：在圆柱面上任取一点 Mo(xo，y,zo)，过Mo(xo,yo,zo)点做一平面垂直于对称轴， 该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点Mi(Xi，yi，zi)，则|MoMi|为圆柱的半径例2:已知圆柱面的轴为 x = 士1!=，点Mi(i，-2，i)在此圆柱面上，求这个圆i -2-2柱面的方程。解：设圆柱面上任取一点 Mo(xo，yo，

8、zo)，过点Mo(xo,yo,zo)且垂直于轴的平面为(X - X。)- 2(y - y0)- 2(z - z0)= 0轴方程的参数式为 x二t , y =i -2t , z - -i -2t代入平面方程得xo 2yo 2zot9故该平面和轴的交点为(x -2y -2z，2 4y 4z。，- 9 - 2x。4y 4z)9995过点Mj (i，-2，i)和轴垂直的平面和轴的交点为(一一)33 3因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得2 2 28x 5y 5z 4xy 4xz8yz T8y i8z99 = 0注意：也可找圆柱面的准线圆处理例3 :求以直线x=y=z为对称轴，半径 R=i的圆柱面方

9、程解：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为(x -X。)(y -y) (z -z) =0轴方程的参数式为 x=t,y=t,z=t代入平面方程得丄X0+ y0+ z0t3X0 y0z0 X0 y0z0x y z、故该平面和轴的父点为Mi(-,-,-)333则M0Mj的长等于半径 R=1故利用距离公式得(X。_ X。； Z0)2. (yoX。” Zo)2.(ZoXo yo Zo 2)=1即所求方程为（2x。- y。-Z。）2 （ -x。- 2y。-Z。）2 （-x。- y。- 2z。）2 二 9二、锥面锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生

10、的曲面。这些直线是母线，定点为顶 点，定曲线为准线。i设锥面的准线为丿fi（X,y,Z）=，顶点为皿。&。山。），求锥面方程f2 （x, y, z） = 0方法：在准线上任取一点Mi（xyi, Zi），则过点Mi（%, yi, Zi）的母线为(i)x -x。y - y。z - z。Xi - Xoyi - y。Zi - Zo又因为“（xyzj在准线上，故fi(Xi,yi,Zi) =。( 2)f2(Xi,yi,Zi) =。( 2)由（i）、（2）、（3）消去xi,yi,zi求出关于 x,y,z的方程F（x,y,z）=。，则该方程为所求锥面方程2 2H 一例i锥面的顶点在原点，且准线为2.2 - i

11、，求这锥面方程。a bz = c解：在准线上任取一点 Mi（Xi,yi,Zi），则过点Mi（Xi,yi,Zi）的母线为Xiyi zi2 2又因为M （xi, yi, Zi）在准线上，故 智牛 =i且召二ca b2 2 2上面三个方程消去Xi, yi ,Zi得笃 与一务=。a b c2、圆锥面T已知圆锥面的顶点 皿。仗。，丫。，乙。），对称轴（或轴）的方向向量为V = （vi,v2, v3），求圆 锥面方程方法：在母线上任取一点M (x,y, z)，则过该点的母线的方向向量为n = (x -Xo, y - y,z -z)利用v和n的夹角不变建立关于 x,y,z的方程，该方程为所求例2求以三根坐标

12、轴为母线的圆锥面的方程。(x y z)2=x2 y2 z2)解：在坐标轴上取三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，则过三点的平面为x y z =1故对称轴的方向向量为(1,1,1)，一条母线的方向向量为 (1,0,0)，则母线和对称轴的夹角为 1 11010 = 31 cos，即cos= 3在母线上任取一点 M (x, y, z)，则过该点的母线的方向向量为；二(x, y, z)x y z = x2y2 z23cosj所以(x y z)2 = x2 y2 z2例3圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面2x，2y-zT=0，母线和轴成30，求圆 锥面方程解：在母线上任取一点M

13、(x, y, z)，轴的方向向量为(2,2,-1),母线的方向向量为Tn = (xTy-z-3)则 2(x-1)2(y-2)-(z-3)*x-1)2 (y-2)2 (z-3)2 -9cos300即 4(2x 2y -z -3)2 =27(x -1)2 27(y -2)2 27(z -3)2三、旋转曲面设旋转曲面的母线方程为1(x,y,z)，旋转轴为 匚些=上电=三工0，求旋转2(x,y,z)=0XYZ曲面方程方法：在母线上任取一点M1 (为，如，乙)，所以过 M1 (为，如，乙)的纬圆方程；X(x-xJ+Y(y-yJ+Z(z-乙)=0丄xx。)2 十(y y。)2 +(z z0)2 =(% x

14、。)2 +(% y。)2 +(乙一z。)2 又因为皿1(为，力，乙)在母线上，有f1(X1,y1,zJ =0f2(X1,如，乙)=0由上述四个方程消去 Xi,yZi的方程F(x,y,z)=O为旋转曲面例4求直线 .口 绕直线| : x= y = z旋转一周所得的旋转曲面的方程。2 1 0解：在母线上任取一点 Mi(Xi，yi，zJ，则过Mi(Xi,yi,zJ的纬圆方程；(x Xi) +(y yi) +(z Zi) =02 2 2 2 2 2x + y +z =xi + yi + zi又因为Mi&iyiZi)在母线上，有 =2 i 0由上述方程消去xi, yi, Zi的方程得9x2 9y2 -

15、9z2 =5(x y i)29四、几种特殊的曲面方程1母线平行于坐标轴的柱面方程f(x v) = 0设柱面的准线是xoy平面上的曲线丿 ，则柱面方程为f(x, y)=0z=og (x z) = 0设柱面的准线是xoz平面上的曲线 7，则柱面方程为 g(x,z) = 0y = 0h( y z) = 0设柱面的准线是 yoz平面上的曲线丿 八丿，则柱面方程为h(y,z) = 0x =0注意：(i)母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母(2) 准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、抛物线柱面例求柱面方程厂 2y = 2z(i)准线是y，母线平行于x轴-X = 0解：

16、柱面方程为y2 =2z2 2z2 =i(2)准线是 49 乙 ，母线平行于y轴)=3解：柱面方程为x2 =4z22 2 2 + y_=i(3)准线是 499 ，母线平行于2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面i06设母线是(x，y) =,旋转轴是x轴的旋转曲面为 f (x,土Jy2 + Z2) = 0 ；旋转轴是 y 轴 z = 0的旋转曲面为f (二. x2 z2, y) = 0(同理可写出其它形式的旋转曲面方程)注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。2 2例方程上 z x=0是什么曲面，它是由 xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的2 22解：xoy面

17、上的 L _ x =0绕x轴旋转而成的23、平行于坐标面的平面和曲面f (x, y, z) = 0的交线方程平行于xoy面的平面 z = h和曲面f (x, y, z) =0的交线为f (x,y,h) = 0 z = h平行于xoz面的平面 y = h和曲面f (x, y, z) =0的交线为丿平行于yoz面的平面x=h和曲面f (x, y, z) = 0的交线为丿f(x,h,z) =0y =hf(h, y,z) =0x = h例求曲面和三个坐标面的交线(1)x2 亠 y2 T6z2 = 64解:x2 y2 = 64z = 0x2 +16z2J =x2 4y2 _16z2 = 64(2)解：注

18、意在yoz面上无交线(3) x2 9y2 =10z解：在xoy面上交于一点(0,0)五、求投影1求点在平面上的投影、求点到平面的距离、y216z2 = 64x = 0求关于平面的对称点方法：(1)过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量(2)求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影(1)求点A(3,1,-1)在平面3x y 20上的投影求点A(1,2,-5)到平面x - y z-10 =0的距离，并求该点关于平面的对称点坐标”3x-2y +2 = 0 y且与点M (1,2,1)的距离为1的平面方程-X _2y _z +6 = 0(2)(1)求过直线丿2、求点在直线上的投影、求点

19、到直线的距离、求关于直线的对称点 方法：(1)过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量(2)求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影例6( 1)求点A(1,_1,0)到直线的距离，该点在直线上的投影2 0 12y_3z_3=0“壬y的距离K _ y = 0(2)求点M (1,-1,0)到直线丿3、直线在平面上的投影方法：(1)过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面 法向量的外积(2)(2)联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影2x-4y+z=0y在平面4x-y+z-1 = 0上的投影直线的方程、3x - y -2z - 9 = 04y 7z

20、 = 5，在xoz面上的投影为丿x =0(1)求直线直线在yoz面上的投影为直线在xoy面上的投影4、曲线丿广f(x,y,z) =0在坐标面上的投影柱面及投影、g(x,y,z) =0方法：(1)消去z得hjx, y) = 0，则=hl (x, y) = 0为曲线在xoy面上的投影z = 0(2)消去 x 得 h2(y,z)=0h2(y,z)x =0=0为曲线在yoz面上的投影(3)消去 y 得 h3 (x, z)=0=0为曲线在xoz面上的投影例(1)求球面x2 y2_ 2 22y z2 . o 2y 3z(2)把曲线丿z2=9与平面x z =1的交线在xoy面上的投影柱面及投影4x = 4z

21、的方程用母线平行于 x轴和z轴的两个投影柱面方程表8x 二 12z2 2解：消去x得母线平行于x轴的投影柱面方程 y - z = 4z ；消去z得母线平行于z轴的2*2投影柱面方程y2，4x=0，因此曲线可表示为y 十 z = 4z、y2 +4x = 0五、求平面方程1、过直线Axfy+C0的平面方程可设为A2x + B2y +C2z + D2 = 0（Aix B1 y C1z DJ - A2xB2y C2z D2） = 0如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理例（1 ）在过直线x+y+z+4=0X + 2y + z = 0的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。（2） 平面过0

22、Z轴，且与平面y - Z = 0的夹角为600，求该平面方程（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角）（3）求过点M （1,0, -1）和直线 匚2二 口二口 的平面方程2 0 1x+2z4=0x y4 = 0（4） 过直线丿作平面，使它平行于直线丿 y、3y_z+8=0、y z_6=02 2 2（5）过平面2x y =0和4x 2y 36的交线作切于球面 x y - z =4的平面（6）求由平面2x-z T2=0, x 3y，17=0所构成的两面角的平分面方程2、利用点法式求平面方程T注意：（1）任何垂直于平面的向量n均可作为平面的法向量（2）和平面Ax By Cz D =0平行

23、的平面可设为 Ax By Cz D0TT（3） 如存在两个向量 a = （a1, a2, a3） b =（0小2,4）和平面平行（或在平面内），则平Tka3bs，口二二口，求过两直线的平面-11-12T T T面的法向量为 n = a b =a1b1a2b2x 1例（1）已知两直线为yT1方程（2）求过A（8,-3,1）和B（4,7,2）两点，且垂直于平面 3x，5y-z-21 =0的平面(3) 平面垂直于向量(2,1,2)且与坐标面围成的四面体体积为9,求平面方程222X = 0(4)已知球面x + y + z _2x+4y_6z = 0与一通过球心且与直线丿垂直的y _ z = 0平面相交

24、，求它们的交线在 xoy面上的投影3、轨迹法求方程方法：(1)设平面上任点 M(x, y,z) (2)列出含有x,y,z的方程化简的平面方程例求由平面x-y 3z1 = 0和x y-3z-2= 0所构成的二面角的平分面的方程六、求直线方程 1、把直线的一般方程化为点向式方程 方法：已知直线方程为x+B+GZ + D, =0，则该直线的方向向量为A2x + B2 y + C2 z + D2 = 0在直线上任取一点AiA2BiB2C1C2(V1 , V2 , V3)(X0, y0，z。)，则直线方程为X - X。Viy - y。_ z - zV2V32x + y + z5=0例化直线的一般方程丿y

25、为标准方程、2x + y_3z_1 =02、根据直线的方向向量求直线方程例(1)过点M (0,1,2)，且平行于两相交平面 x - y 3z 1 = 0和x y - 3z - 2 = 0的直线方程x +2z 1= 0(2求过点M (2,4,0)，且与直线丿平行的直线方程y 3z _ 2 = 0(3)求过点M (1,0,-2)，且与平面3x 4y - z 6 = 0平行，又与直线垂直的直线方程 注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂向向量頁直线平行丁，则 m1m2匕m3，其中n3(m1,m2,m3)和X X0 y y。z Z0和 xX1y y1_ z Z1

26、相交，m1m2m3r)2X1 -X0% - yZ1 Z0m1m2m3=0 且 m1m2m3n3r)2x X。y y z z-和1 y - %_ Z_Z1异面,m1m2m3r)2直均可确定直线的方向向量3、利用直线和直线的位置关系求直线方程(2)两直线A =(3)两直线注意：(1)匕)为直线的方则其中公垂线的方向向量为vm1m2m3=(v1 ,v2, v3)，则两异面直线的距离为n1d二口 ；公垂线方|v|x xy y。Z Zgm1m2m3X XjZ_Zin1n2n3=0ViV2V3例( 1)求通过点M (1,1,1)且与两直线 D 旦和 口1232方程解：设所求直线的方向向量为(a,b,c)，

27、已知两直线的方向向量为 (1,2,3)、(2,1,4)，且分1110-1-2则123=0,即卩 a-2b+c=0 ；214abcabc别过点(0,0,0)、(123)=0，即卩 a 2b-c=0故 a = 0, c = 2b，故(a,b,c) =(0,1,2)所求直线为匸10（2） 已知两异面直线 丄和 二红1二，求它们的距离与公垂线方1-10 1 1 0程x +2 v 1 z 3（3） 求与直线平行且与下列两直线相交的直线871z=5x - 6 z=2x-4丿和丿z = 4x 十 3 z = 3y + 5上3二二2垂直的直线方程3-2x(4)求过点P(1,_2,3)与z轴相交，且与已知直线-

28、4习题1、已知柱面的准线为丿 2 2 2(x 1)(y 3)(z 2)25且(1)母线平行于x轴(2)x+y_z+2=0母线平行于直线 x = y,z = c，求柱面方程2、已知柱面的准线为丿*2丄2X = V + zy母线垂直于准线所在的方程，求柱面方程x = 2z3、 求过三条平行线x=y = z, x 二丫二乙- x-1 = y，1 = z-2的圆柱面方程24、 求顶点为原点，准线为 x -2z 1 = 0, y - z 1 = 0的锥面方程5、 顶点为（3, T, -2），准线为x2 y2 - z2 = 1, x - y z = 0，求锥面方程6、顶点为（1,2,4），轴垂直于平面 2

29、x 2y 0，且过点（3,2,1），求该圆锥面的方程7、求下列旋转曲面方程（1）直线1=VL=1绕直线x=JL=l旋转1-121-12(2)直线x =2 ：z -1绕直线-:二丄z -1旋转2 1-11-12(3)直线x -1y z绕直线z旋转1-332z = x(4) 曲线绕直线z旋转2*2 彳x + y =18例求曲面和三个坐标面的交线2 2 2 2 2 2 2 2(1) x 4y -16z = 64(2) x -9y =10z (3) x 4y - 16z = 0x - y - 4z +12 = 0 站9 (1)求点P(2,0,-1)关于直线丿的对称点2x + y -2z + 3 = 0

30、2x -2y + z+ 3 = 0(2)求点A(2,3,_1)到直线丿 丫的距离，3x 2y +2z +17 = 010求直线 匸1=匸1在平面x - y 2z0上的投影直线的方程1 1 -12 丄 2cx + y -z =0Z + X = 1X +2y +6z =5 $ 2y 10z =711求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影x2 +z2 -3yz-2x+3z-3 = 0 y - z +1 = 0z = x + y2小Z =2yx +2y z 6 = 0一_12（ 1 ）过直线丿作平面，使它垂直于平面 x+2y+z = 0X _2y + z = 0（2）求过点M（3,1,-2）和直线 匚3二

31、乞_卫=?的平面方程0 2 1（3）求过两平面3x-y - 2z-2 = 0、x y-4z-3=0交线且与平面 x y 2z 0垂直的平面（4）求过点M （2,0,-1）和直线 口 二卫二 口 的平面方程2-13x_2v+3z+12x y + z 3 = 0（5） 过直线乞=匕亠且与直线丿y垂直1-5-1jX+2y_z_5 = 0（6）过直线 乞已二 匸2且与平面3x 2y -z-5=0垂直的平面2-32x - 1z 亠 3在过直线y -1的所有平面中找出一个平面，使它与原点的距离最远0 12 2 22x -5y -8z + 5 = 0(X + 2y +5z _2 = 0的平面方程13（ 1）

32、求平行于平面 x 2y 3z 0且与球面x y z =9相切的平面方程(2)求过两直线jBx y+z1-0公 + z + 3 = 0（3）求和平面x -2y 4z二2平行，且距离为 3的平面(4)求和两直线匸1 =z，-1 1仝兰-仝=口 平行且与两直线等距离的平37面方程(5)求过点M (0,1,2)，且垂直于平面x 2yz-1=0与x-z，3 = 0的平面方程14 (1 )求由平面x，2y-2z，3=0和3x-4y-1二0所构成的二面角的平分面的方程(2)动点与点(1,0,0)的距离等于这点到平面x=4的距离的一半，求动点轨迹。x2y 3z4 = 015化直线的一般方程为标准方程x _2y

33、 _z = 016( 1)过点 M (1, -5,3)且与 x, y,z三轴成 600,450,1200 的直线(2) 过点M(1,0,-2)且与两直线 口 =三和彳二 =三垂直的直线1 1-11-10(3) 过点M(2, 3,-5)且与平面6x-3y-5z，2=0垂直的直线17( 1)在平面x + y+z+1 =0内求垂直相交于直线y1的直线方程x 2z = 0X一心，相交-2 1(3)求通过点 M(4,0,-1)且与两直线都相交的直线4(2)求过点P(1,0,-2)而与平面3x - y 2z 0平行且与直线4的直线方程方程(4)(5)求过点P(2,1,0)而与直线 口二二三空垂直相交的直线方程32-2口和二口二的公垂线方程1 0 1求两异面直线(6)-1(7)求与直线x 2y1平行且与下列两直线相交的直线=5t 10=4t 一7-2t -3y = 3t 5 和 y zz