高考专题讲义：函数的图像

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1、2015年高考函数的图像专题讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰 图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据。在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度。主要以选择题、填空题的形式出现，属于中偏高档题。主要考查形式有：知图选式、知式选图、图像变换（平移、对称、翻折、伸缩变换），以及自觉的运用图像解题。因此要注意识图、读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用。笔者以近几年高考题为载体，结合自己的教学经验整理如下，不足之处敬请斧正！备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数

2、2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考查函数图象的判断及应用1.对图象的判断主要有以下两种：(1)根据所给函数解析式，利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变化规律，根据图象变换得出所求函数的图象，如2012年四川T5，新课标全国T10等(2)根据函数的性质(如：奇偶性、单调性、周期性等)或函数图象的特殊点得出所求函数的图象，如2012年山东T9等2.图象的应用主要有以下几个方面：求函数的值域、单调区间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等，如2012年福建

3、T15，天津T14等.归纳知识整合1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b.(2)伸缩变换：yf(x) yf(x)；yf(x)yAf(x)(3)对称变换：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)(4)翻折变换：yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|.探究1.函数yf(x)的图象关于原点对称

4、与函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称一致吗？2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称有何区别？提示：一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事函数yf(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称3若函数yf(x)的图象关于点(a,0)(a0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a个单位即可；解析式变为yf(xa)自测牛刀小试1(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程s看

5、作时间t的函数，其图象可能是()2函数yx|x|的图象经描点确定后的形状大致是()3函数yln(1x)的图象大致为()4已知下图(1)中的图象对应的函数为yf(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是_(填序号)yf(|x|)；y|f(x)|；yf(|x|)；yf(|x|)5(2012镇江模拟)函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0，且a1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是()图11 A B C D 寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法(1)知图选式：从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图象的变化趋势

6、，观察函数的单调性；从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观察函数的周期性利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项(2)知式选图：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；结合图像的特殊点（极值点、与坐标轴的交点等）。从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口强化训练：2函数y2sin x的图象大致是()3(2013杭州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解

7、析式可能是()Af(x)x22ln |x| Bf(x)x2ln |x|Cf(x)|x|2ln |x| Df(x)|x|ln |x| .2014年浙江卷 在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图像可能是() AB CD考点三：函数图象的应用 例4(2012天津高考)已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_互动探究：若将“ykx2”改为“ykx”，k的取值范围是什么？ 例5：2013江西卷 如图13所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧F

8、G的长为x(0x0，且a1，f(x)x2ax，当x(1,1)时，均有f(x)x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacb Dbac6设函数f(x)其中x表示不超过x的最大整数，如1.52，1.51，若直线yk(x1)(k0)与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是()A. B.C. D.7.2013四川卷 函数y的图像大致是() 二、填空题8函数f(x)的图象如图所示，则abc_.9(2013盐城模拟)若关于x的不等式2x2|xa|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是_10已知函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x1)，且x1,1时，f(x)x2，则函数

9、yf(x)与ylog5x的图象交点的个数为_三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)11已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求当x1,5)时函数的值域12当x(1,2)时，不等式(x1)20时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，2,1，由此可得仅函数f(x)x2ln |x|符合条件例：答案(0,1)(1,4) 互动：解：函数可表示为y图象为如

10、图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交点，则k(0,1)(1,2)变式5：6. 解析：由题知，当x(1,1)时，f(x)x2ax，即x2ax.在同一坐标系中分别作出二次函数yx2，指数函数yax的图象，如图，当x(1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需a2且a1.故实数a的取值范围是a1或1a2.答案：(1,2 典例5：D解析 设l，l2距离为t，cos x2t21，得t.ABC的边长为，得BE(1t)，则y2BEBC2(1t)2，当x(0，)时，非线性单调递增，排除A，B，求证x的情况可知选D.典例6：解析由题意知y的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对

11、称，又y2sin x的周期为T2，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在2,4上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x1x2x8428答案D变式：1.2.答案：acb检测题答案1-7：D C.解析：选D依题意作出函数f(x)与直线y(x1)，y(x1)的部分图象，如下图所示从图象中我们可以看出当k时，函数f(x)与直线y(x1)的图象有三个交点，当k时，函数f(x)与直线y(x1)的图象有两个交点，所以当k0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a2.结合图象可知，实数a的取值范围是.10.11.解：(1

12、)f(4)0，4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|4x|f(x)的图象如图所示(3)f(x)的单调递减区间是2,4(4)由图象可知，f(x)0的解集为x|0x4(5)f(5)54，由图象知，函数在1,5)上的值域为0,5)12.解：设f(x)(x1)2，g(x)logax，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，要使x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需函数f(x)的图象在g(x)的图象下方即可当0a1时，如图，使x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f(2)g(2)，即(21)2loga2，解得1a2. 综上可知，1a2.13.解：(1)设P(x0，y0)是yf(x)图象上任意一点，则y0f(x0)又P点关于xm的对称点为P，则P的坐标为(2mx0，y0)由已知f(xm)f(mx)，得f(2mx0)fm(mx0)fm(mx0)f(x0)y0.即P(2mx0，y0)在yf(x)的图象上yf(x)的图象关于直线xm对称(2)对定义域内的任意x，有f(2x)f(2x)恒成立|a(2x)1|a(2x)1|恒成立，即|ax(2a1)|ax(2a1)|恒成立又a0，2a10，得a.备选题：1.解：(1)函数化为y图象如图(1)所示(2)yx22x3yx22|x|3y|x22|x|3|.图象变换如图(2)所示20