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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十二章 非参数回归及其相关问题第一节 参数回归问题的回顾在线性回归模型中，我们总是假定总体回归函数是线性的，即多元线性回归模型一般形式为： 总体回归函数（PRF）但是，经验和理论都证明，当不是线性函数时，基于最小二乘的回归效果不好，非参数回归就是在对的形式不作任何假定的前提下研究估计。例 设二维随机变量，其密度函数为，求.解：从例可知，仅与有关，条件期望表明Y与X在条件期望的意义下相关。由样本均值估计总体均值的思想出发，假设样本，中有相当恰好等于，不妨记为，自然可取相应的的样本，用他们的平均数去估计。可是在实际问题中，一般不会有很多的值恰好等于。这个估计式，仿佛是一
2、个加权平均数，对于所有的，如果等于，则赋予的权，如果不等于，则赋予零权。由此可启发我们在思路上产生了一个飞跃。即对于任一个，用的加权和去估计，即，其中，估计。问题是如何赋权，一种合乎逻辑的方法是，等于或靠非常近的那些，相应的权大一些，反之小权或零权。两种模式：设上的随机变量，为的次观测值。实际应用中 ，为非随机的，依条件独立，在理论上非参数回归中既可以是非随机的，也可以是随机的。而参数回归分析中，我们总是假定为非随机的。根据的不同非参数回归有两种模式。1、为随机时的非参数回归模型设，为的随机样本。存在没个未知的实值函数，使得 一般记为这里，如果，则2、为非随机时的非参数回归模型由于在实际中，研
3、究者或试验者一般可以控制X或预先指定X，这时X可能不再是随机变量，例如年龄与收入之间的关系中年龄为固定时，收入的分布是已知的，不存在X为随机变量时，估计的问题。设，为的随机样本设的随机变量，为的次独立观测值，则，。第二节 一元非参数回归核估计方法一、核估计(一) Nadaraya-Watson估计核权函数是最重要的一种权函数。为了说明核函数估计，我们回忆二维密度估计 (1)而 (2)在这个密度函数估计中，核函数必须相等，光滑参数可以不等，光滑参数不等时，有 将（2）代入（1）的分子，得 令，则 又由有对称性，则，得1式的分子为分子分母可以看出对的 估计，是密度函数估计的一种自然推广，一般也称为
4、权函数估计其中可以看出权函数完全由确定，其取值与X的分布有关，称为N-W估计。可以推得：所以，核估计等价于局部加权最小二乘法。二、窗宽的选择令根据非参数估计 当，的分子和分母中除了当的项不为零，其它均为零，故这说明当窗宽趋于0时，点的估计值趋于该点的观测值。当，的分子和分母中每一项 ，则。说明当窗宽趋于无穷时，则每一点的估计值均为Y的观测值的平均值。可见窗宽的控制是核估计精度的重要参数。太小估计线欠平滑，太大过于平滑。1、 理论窗宽的最佳选择记，当解释变量为随机的情形时，的渐近偏差和渐近方差为：估计方法 渐近偏差渐近方差N-W方法其中为解释变量的密度函数，。 估计的均方误差回归函数m(x)估计
5、的渐近方差随着窗宽见效而增大，渐近偏差随着减小而减小。所以非参数估计就是在估计的盘查和方差中寻求平衡，使均方误差达到最小。 理论的最佳窗宽。2、 样本窗宽的交错鉴定哪一个窗宽是比较恰当的，必须通过样本的资料考察，但是我们的样本仅仅有一个。在某个局部观测点，首先，在样本中剔除该观测值点，用剩余的n-1个点在处进行核估计：最后比较平方拟合误差，使最小的窗宽，则是最佳的。3、 窗宽的经验选择方法当K(.)为【1，1】上对称、单峰的概率密度时，是集中在x附近的加权平均，由于x为对称的，以为宽度，当太大时，参加的平均点多，会提高精度，但可能偏差会增大。反之小则相反。所以应该根据散点图来选择窗宽。三、核函
6、数的选择因为估计方法 渐近偏差渐近方差N-W方法所以渐近均方误差为：其中和是与核函数无关的量，对MSE求h的导数，则最佳的窗宽为：将代入MSE，得最优的核函数是使达到最小的核函数。四、核估计的性质（略）作为估计量，非参数回归函数核估计有一些优良性质。第三节 一元非参数回归模型的局部估计一、 局部多项式回归局部多项式估计（Loess）是另一种非参数回归的曲线拟合方法。它在每一自变量值处拟合一个局部多项式，可以是零阶、一阶、二阶，零阶时与核估计相同。为了研究某经济变量的变化规律，一个常用的方法就是找出影响的相关经济变量，回归表达式未知，为被解释变量，为解释变量。，其中为随机误差项。假设有样本，在处
7、相应阶导数存在（可取），我们要估计。如果假定在处p阶导数存在，则将在的某领域按泰勒级数展开记，原模型为 上式为一个多项式回归模型，且对的估计依赖于其局部的点。从模型我们可以看出，是在处的观测值；是在处的斜率。根据加权最小二乘法可以估计核权局部回归。注：因为样本回归函数为 两边同乘以X的转置，得 即 得参数（向量）的最小二乘估计为： 局部多项式拟合从理论和实践上都很吸引人。第一，传统回归分析方法将经济变量局部上的变异掩盖了，因此无法反映经济现象的结构变化。而局部回归的结果能够动态地反映经济现象的结构变化。第二，局部回归分析的方法假定变量间的关系未知，所以更加符合实际情况。窗宽参数h在局部回归中起
8、到了相当重要的作用。太大的窗宽将使与距离较远的观测点也参与局部回归分析，也就造成局部回归的偏差大；太小的窗宽将使与较近的点没能参加局部回归分析，造成估计的随机偏差大。因而寻求一个合适的窗宽是局部回归分析的最重要的任务之一。窗宽选择的常用方法之一是交叉核实。最小的窗宽。其中是剔除该观测点，估计的估计值。核函数为一个对称的概率密度函数，核权函数在局部回归中起到光滑的作用，使所得的曲线更能反映变量之间的实际经济关系。在进行局部回归分析之前，对于不同的观测点X将赋予不同的权数，即不同的观测点在处局部回归时的重要程度不同，靠得近的点赋大权，相反赋小权。 SAS/INSIGHT缺省使用一阶（线性）局部多项
9、式。改变Loess的系数alpha可以改变曲线的光滑度。alpha增大时曲线变光滑，而且使用一阶或二阶多项式时曲线不会同时变水平。固定窗宽的局部多项式是另一种局部多项式拟合方法。它有一个光滑系数c第四节 k近邻估计一、k近邻均匀核权估计例 一个特殊的非参数回归k近邻估计在RP上引入一个距离函数，即任取u和v，表示两点的距离。这个距离可以是欧氏距离或马氏距离。对指定的X，到X的距离的大小按升序排列，得称为X的第k个近邻。然后指定n个常数满足：，则称为的近邻估计。为光滑参数。一种最常见的近邻权是：给定一个K，位次在K和K以前的，权数为1/K，K+1以后的权数为零。称为均匀核权估计。 定义 令 （定
10、义一种距离）（可以认为R(x)为x的第k个近邻离x的距离。）（可以认为某个Xi距x的距离除以R(x)）定义 为K近邻估计的核权函数。 K近邻权常常以的核函数为：二、k近邻估计 回归函数的K近邻估计为渐近偏渐近方差随机设计三、非参数回归模型的稳健估计（lowess）Lowess（Locally Weighted Scatter Plot Smoothing）称为局部多项式加权散点图平滑。众所周知，异常点将造成线性回归模型最小二乘估计失去应用的价值。因而有必要改进局部新型拟合方法以降低异常点对估计结果的影响。稳健估计方法的基本思想是先用局部线性估计进行拟合，然后定义稳健的权数并进行平滑。1) 对模型进行局部线性或多项式回归估计，得到的估计，使得达到最小。其中是k近邻权，最佳窗宽由交错鉴定法确定。2) 计算残差。其中是在x邻域进行局部多项式回归的常数项的估计量。计算，并定义稳健权数，其中。3）重复第一步，进行局部多项式拟合，但权数用，重复s次后，可得稳健估计。由于稳健估计的权数可以将异常值排除在外，并且初始残差大（晓）的观测值在下一次局部多项式中的权数就小（大）。因而重复几次后就可将异常值不断地排除在外，并最终得到稳健的估计。专心-专注-专业
第11章-非参数回归(非参数统计-西南财大)(共11页)
