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1、2随机向量数字特征一随机向量数字特征:L两个随机变量函数的均值公式m设为二维连放型随机向量,概率密度为小,浦，则对于z=/(x,y)有E(Z)=/Cr*y)RCr.y)dMd斗J3-w设E=(X)为二维离散型随机向坦，其概率分布为，丫=了?=拼G-1寸2产=121)-则对于z=/(x,y)有(Z)=E1/(X,Y)=：SW“*J2=3是不可能事件.产犬=2,丫=1=尸X=2P(F=1|X=2=4x=4,34b尸(X=2,Y=2=P(X=2P(y=2|X=2=4xJ=4,O6UP(X=2,Y=3=0.同理可得即为所求w=（x,y）的概率分布，0,)0；p(N，” =0；其它.(1)确定常数上(2
2、)求(XI)落在区域。的概率，其中D=a,y)：o/1,02；,(2)求(XI)落在区域。内的概率，使用公式产(X,Y)D二1力Cr,y)dNdy,此时J于是有】广2巴0Vxl,0VVW2=12eudxe-dyJ0J0=(一,)(-e-4y)|=(l-e-3)(l-e-4)9502r例3没随机向量(X,Y)服从正态分布，其密度px.y)=2kX1O2eM：2TM,(-8nV+oo；-OCy+g).求概率尸(xwi)解将(x,Y)看作是平面上随机点的坐标，则Y，这里z=rf-x1/=dSerdrJ：Jo.200k当2一+，或工20时,Px(*)=o,当一得0时，pr+lpx（n）=4dy=4（2
3、+l）TJo所以考查当X取值为-1,Y取值为1时的情形尸X=7,?=1=春,0尸X=-l=*，尸丫=1=可见?/=-l,y=lKFX=TPY=1.所以X1不相互独立.显然由.上面联合分布表知11?2PX=PY=-1=X=.乙4。/U所以FX=!，y=-lKPX=与PY=-D,(0,4),(bl),(1,2),(1,4).由于x和y相互独立，因此155FX=_2,y=l=PX=-2P(y=L=卷得=唳.同理，可以求出其它的尸(X=,y=%,于是可得(x,y)的概率例8设二维随机向量（x,y）的概率密度为春到2OWNV21UIo,其它.判断X和丫是否相互独立.解先求出（X,y）的关于x的边缘分布密
4、度所Cr.当x0与时,0x0=0,当。二V2时/x（r）=（才,了）办二f-yjyd-y.从而-y0xx（.Py6）成立，所以x和y相互独立.例9设（x,y）在ih或服从均匀分布，问相互独立吗？解法一因圆域+丁Cr.y）nj10,其它，对于事件的概率J2J2J(c.yXO,所以/T-TzPX-,YWPX一r,Py2U,/rncV2于是可以知道X,Y不是相互独立的.解法二先求出（X,K）关于X,Y的边缘分布p*Ch）.m（y）.广3斤G.3TW。式h)=p(1,y)dy=1J_CJ-RI。，其它2/ix2-十其它.同理可得J1,1公1;pY（,）=j久：0，其它，显然/FP上.%KX所以，在圆域
5、二寸所以1内，力（M,y）px（H），Pr（y）不恒成立，于是可知X,y不相互独立.E(X) =(2x2 + 2工)也=/暂交3+/由公式D(X)=n + cc_QQCkE（X）2Mz，？）d 曲,D(X)=fdjrfxQ+y)dyJoJoob,例14对二维随机向量(XI设X服从一1,口上的均匀分布,y=x)证明cov(x,y)=o.证由均匀分布的期望乙JU因此covCX,Y)-ECX-(X)XK-(r)J=efxyE(y)=xy-XE(y)=(Xa)-tX)玖Y)=E(X小结：由本例可知,sv(xi)=3X,y不相关，但x*并不独立(y=x)例15设x与丫相互独立，且(X)=E(y)=O,D
6、(X)-D(y)/,求e(xyy.解(x-y)=(x)-(y)=o,因x,丫独立，所以Q(x-y)=Dx)+z)y)E+=2/,由D(X)=(X)-耿X)，可推出E(X)=D(X)+CE(X)f于是可知1Kx土y)=D(x)+Dy)2cov(x,y)成立，而D(X)=E(X2)-：(X)32=20-22-16,D(y)=g一E(Y)y=3432=25,又由于_cov(x,r)c/W),/W)例12设XN（0,4）1服从（0,4）上的均匀分布，并且X和7相互独立，求ZXX+Y）.。（2乂+3丫）,口（2乂-3丫）.W由正态分布和均匀分布的方差知D（X）=4,D（y）=（&7?）2=tt=4-NL乙O*由于x和y独立，因此,2X和3y也相互独立，从而D(x+y)=D(x)+D(y)=4+4*=*,O0D(2X+3Y)=Q(2X)+D(3Y)=4ZXX)+9D(Y)=28.D(2X-3y)=Z)(2X)H-D(3r)=28.此处要注意，当X,Y独立时,ZX2X-3Y)=D(2X)+D(3y),
随机向量数字特征
