概率论与数理统计习题集及答案(共14页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上概率论与数理统计作业集及答案第1章 概率论的基本概念1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ;(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ;2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则A= ;B:数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ;B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则C= .1 .2 随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:(1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A与B都

2、发生,而C不发生表示为: .(3)A与B都不发生,而C发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: .(5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: .2. 设:则 (1) ,(2) ,(3) , (4)= ,(5)= 。1 .3 概率的定义和性质1. 已知,则 (1) , (2)()= , (3)= .2. 已知 则= .1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子

3、各一球的概率.1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。2. 已知 则 。1 .6 全概率公式1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2 将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收

4、到时,A被误收作B的概率为0.02,B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图,其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。 A B L R C D 3. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作业答案1 .1 1:(1); (2)2:(1); (2)正正,正反正正,反反正正,正反,反正

5、。1 .2 1: (1) ;(2) ;(3) ;(4);(5) ;(6) 或 ;2: (1);(2);(3);(4)或 ;(5)。1 .3 1: (1) =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2:)=0.4.1 .4 1:(1),(2)(,(3)1-(.2: .1 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。1 .6 1: 设A表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10设B表示第二人“中”,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P(B|) =两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:p = 0.5 0.4 +

6、0.5 0.5 = 0.451 .7 1:(1)94% (2)70/94; 2: 0.993;1 .8. 1: 用A,B,C,D表示开关闭合,于是 T = ABCD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念,

7、离散型随机变量1 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球中的最大号码., 试写出X的分布律.2 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。2.2 分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从=4的泊松分布,求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;(3)每分钟最多有1次呼叫的概率;2 设随机变量X有分布律: X 2 3 , Y(X), 试求: p 0.4 0.6(1)P(X=2,Y2); (2)P(Y2); (3) 已知 Y

8、2, 求X=2 的概率。2.3 贝努里分布1 一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少?(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少?(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少?(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少?2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?2.4 随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是: F(x) = (1) 求 P(X0 ); P;P(X1),(2) 写出X的分布律。2 设随机变量X的分布函数是:

9、F(x) = , 求(1)常数A, (2) P.2.5 连续型随机变量1 设连续型随机变量的密度函数为:(1)求常数的值;(2)求X的分布函数F(x),画出F(x) 的图形,(3)用二种方法计算 P(- 0.5X0.5).2.6 均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X服从的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。2.7 正态分布1 随机变量XN (3, 4), (1) 求 P(2X5) , P

10、(- 42), P(X3);(2) 确定c,使得 P(Xc) = P(Xc)。2 某产品的质量指标X服从正态分布,=160,若要求P(120X200)0.80,试问最多取多大?2.8 随机变量函数的分布1设随机变量的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求随机变量的分布律。2设随机变量的密度函数为:,;求随机变量Y的密度函数。3. 设随机变量服从(0, 1)上的均匀分布, ,求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案2.1 1: X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.62: X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.60.4 0.60.60.4 0.60.60.

11、60.4 0.60.60.60.612.2 1: (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0. 0. = 0., (2) P(X1) = 0., (3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0. = 0.。 2:(1) 由乘法公式:P(X=2,Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2)= 0.4 ()= 2(2)由全概率公式:P(Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)= 0.45 + 0.6= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 (3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y2)=2.3 1: 设X表示

12、在同一时刻被使用的台数,则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = (3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 2: 至少必须进行11次独立射击.2.4 1:(1)P(X0 )=0.5; P = 0.5;P(X1) = 0.5,(2) X的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.52: (1) A = 1, (2) P =1/62.5 1:(1),(2);(3)P(- 0.5X0.5) = ; 或= F(0,5) F(-0.5) = 。 2: (1) (2)2.6 1: 3/5 2: 2.7 1:(1) 0.5328,

13、0.9996, 0.6977, 0.5;(2) c = 3, 2:31.25。2.8 1: Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.32: , 3: ;第3章 多维随机变量3.1 二维离散型随机变量1. 设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球个数,用Y表示取到的白球个数,写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。2. 设二维随机变量的联合分布律为: X Y 0 1 2 试根椐下列条件分别求a和b的值; 0 0.1 0.2 a (1); 1 0.1 b 0.2(2); (3)设是的分布函数,。3.2 二维连续型随机变量1. 的联合密度函数为:求(1)

14、常数k;(2)P(X1/2,Y1/2);(3) P(X+Y1);(4) P(X1/2)。2的联合密度函数为:求(1)常数k;(2)P(X+Y1);(3) P(X1/2)。3.3 边缘密度函数1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求与的边缘密度函数。2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求与的边缘密度函数。 3.4 随机变量的独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下, X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值; 1 1/6 1/9 1/18(1) ; 2 a b 1/9(2) ; (3)已知与相互独立。2. (X,Y) 的联合密度函数如下,求常数c,并讨论与是否相互独

15、立? 第3章作业答案3.1 1: X Y 1 2 2: (1) a=0.1 b=0.3 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 3.2 1:(1) k = 1;(2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8;(3) P(X+Y1) = 1/3;(4) P(X1/2) = 3/8。 2:(1) k = 8;(2) P(X+Y1) = 1/6;(3) P(X1/2) = 1/16。3.3 1: ; 2: ; ;3.4 1: (1)a=1/6 b=7/18; (2) a=4/9 b=1/9;(3)a =

16、 1/3, b = 2/9。 2: c = 6, X与Y相互独立。第4章 随机变量的数字特征4.1 数学期望1盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X表示取到的红球的个数,则EX是: (A)1; (B)1.2; (C)1.5; (D)2.2. 设有密度函数: , 求,并求大于数学期望的概率。3. 设二维随机变量的联合分布律为: X Y 0 1 2 已知, 0 0.1 0.2 a 则a和b的值是: 1 0.1 b 0.2 (A)a=0.1, b=0.3; (B)a=0.3, b=0.1; (C)a=0.2, b=0.2; (D)a=0.15, b=0.25。4设随机变量 (X, Y) 的联

17、合密度函数如下:求。 4.2 数学期望的性质1设X有分布律: X 0 1 2 3 则是: p 0.1 0.2 0.3 0.4(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2. 设有,试验证 ,但与不相互独立。4.3 方差1 丢一颗均匀的骰子,用X表示点数,求.2 有密度函数: ,求 D(X).4.4 常见的几种随机变量的期望与方差1 设,相互独立,则的值分别是:(A) -1.6和4.88; (B)-1和4; (C)1.6和4.88; (D)1.6和-4.88.2. 设,与有相同的期望和方差,求的值。 (A) 0和8; (B) 1和7; (C) 2和6; (D) 3和5.4.6 独立性与不相关性

18、 矩1下列结论不正确的是( )(A)与相互独立,则与不相关;(B)与相关,则与不相互独立;(C),则与相互独立;(D),则与不相关;2若 ,则不正确的是( )(A);(B);(C);(D);3()有联合分布律如下,试分析与的相关性和独立性。 X Y 1 0 1 . 1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/84是与不相关的( ) (A)必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。5. 是与相互独立的( )(A) 必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试验证

19、与不相关,但不独立。 第4章作业答案4.1 1: B; 2:3/2, 2, 3/4, 37/64; 3: D; 4: 2/3,4/3,17/9;4.2 1: D; 4.3 1:7/2, 35/12; 2:11/36;4.4 1:A; 2: B;4.5 1:0.2, 0.355; 2:1/144, 1/11;4.6 1:C; 2:C; 3:与不相关,但与不相互独立;4:C;5:A;第5章 极限定理*5.1 大数定理5.2 中心极限定理1 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只

20、元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。2 某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。第5章作业答案5.2 2:0.1788; 3:0.889, 0.841;第6章 数理统计基础6.1 数理统计中的几个概念1 有n=10的样本;1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4, 1.8, 1.4,则样本均值= ,样本均方差 ,样本方差 。2设总体方差为有样本,样本均值为,则 。6.2 数理统计中常用的三个分布1. 查有关的附表,下列分位点的值:= ,= ,= 。2设是总体的样本,求。

21、6.3 一个正态总体的三个统计量的分布1设总体,样本,样本均值,样本方差,则 , , , ,第6章作业答案6.1 1; 2. ;6.2 1-1.29, 9.236, -1.3722; 2;6.3 1.;第7章 参数估计7.1 矩估计法和顺序统计量法1. 设总体的密度函数为:,有样本,求未知参数 的矩估计。2.每分钟通过某桥量的汽车辆数,为估计的值,在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如下:次数: 2 3 4 5 6 量数: 9 5 3 7 4 试求的一阶矩估计和二阶矩估计。 7.2 极大似然估计1. 设总体的密度函数为:,有样本,求未知参数 的极大似然估计。7.3 估计量的评价标准1.

22、设总体服从区间上的均匀分布,有样本,证明是 的无偏估计。2. 设总体,有样本,证明是参数的无偏估计()。7.4 参数的区间估计1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量,某厂化纤纤度,抽取9根纤维,测量其纤度为:1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47,试求的置信度为的置信区间,(1)若,(2)若未知2. 2. 为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得,s = 0.0494, 设另件长度,取置信度为,(1)求的置信区间,(2)求的置信区间。第7章作业答案7.1 1:; 2: 5, 4.97;7.2 1:;7.37.4 1:(1.

23、377,1.439),(1.346,1.454); 2:(0.0013,0.0058);(0.036, 0.076)第8章 假设检验8.1 假设检验的基本概念1. 某种电子元件的阻值(欧姆),随机抽取25个元件,测得平均电阻值,试在下检验电阻值的期望是否符合要求?2. 在上题中若未知,而25个元件的均方差,则需如何检验,结论是什么?8.2 假设检验的说明1. 设第一道工序后,半成品的某一质量指标,品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验,;,当与的绝对偏差不超过3.29时,许进入下一工序,试推算该检验的显著性水平。8.3 一个正态总体下参数的假设检验1. 成年男子肺活量为毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后,测定他们的肺活量,得平均值为毫升,设方差为,试检验肺活量均值的提高是否显著(取)?第8章作业答案8.1 1:拒绝; 2: 接受;8.2 1:0.1;8.3 1:拒绝;专心-专注-专业

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