2822应用举例1(人教版九下)

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1、新人教版九年级数学新人教版九年级数学( (下册下册) )第二十八章第二十八章 28.2.2 28.2.2 应用举例（应用举例（1 1）在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边) 温故而知新温故而知新A

2、BC如图，如图，RtABC中，中，C=90，（1）若）若A=30，BC=3，则，则AC=（2）若）若B=60，AC=3，则，则BC=（3）若）若A=，AC=3，则，则BC=（4）若）若A=，BC=m，则，则AC=3 333tantanm例例3： 20122012年年6 6月月1818日日“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天宫一号天宫一号”目标飞行目标飞行器成功实现交会对接器成功实现交会对接“神舟神舟”九号与九号与“天宫一号天宫一号”在离地球表面在离地球表面343343k km m的的圆形轨道上运行如图，当组合体运行到地球表面上圆形轨道上运行如图，当组合体运行到地球表面上P P点

3、的正上方时，从中点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面最远的点在什么位置？最远点与能直接看到的地球上表面最远的点在什么位置？最远点与P P点的距离是多少？点的距离是多少？（地球半径约为（地球半径约为6 4006 400k km m，取取3.1423.142，结果取整数），结果取整数） 分析分析：从组合体中能直接看从组合体中能直接看到的地球上的点，应是视线到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点与地球相切时的切点OQFP 如图，如图，O O表示地球，点表示地球，点F F是组合是组合体的位置，体的位置，FQFQ是是O O的切线，切点的切线，切点Q Q是从组合体中观测地球时的是从组合体中观测地球

4、时的 最远最远点点 的长就是地面上的长就是地面上P P、Q Q两点两点间的距离，为计算间的距离，为计算 的长需的长需先求出先求出POQPOQ（即（即a a）的度数）的度数. .PQPQ例题例题 解：在图中，设解：在图中，设POQ=a POQ=a FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三是直角三角形角形9491. 034364006400cosOFOQa36.18a弧弧PQ的长为的长为)(2051640018036.18km 当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约点约2051km.OQFP铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线视线视线

5、仰角仰角俯角俯角在进行观察或测量时，在进行观察或测量时， 仰角和俯角仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；例例4:热气球的探测器热气球的探测器显示显示,从热气球看一栋从热气球看一栋高楼顶部的仰角为高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部看这栋高楼底部的俯角为的俯角为60,热气球热气球与高楼的水平距离为与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多这栋高楼有多高高?=30=60120ABCD例例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看

6、一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯 角为角为60，热气球与高楼的水平距，热气球与高楼的水平距离为离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到，这栋高楼有多高（结果精确到1m）分析分析：我们知道，在视线与水平线所：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，在图中，a=30,=60 Rt RtABCABC中，中，a a =30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识求出BDBD；类似地可以求出；类似地可以求

7、出CDCD，进而求出，进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角解解：如图，：如图，a = 30,= 60， AD120ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1 .2773160答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277mABCD4530OBA200米米 合作与探究合作与探究补充例：补充例：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上方上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为的仰角为30和和45，求飞机的高度，求飞

8、机的高度PO .LUD答案答案: : 米米)3003100(P 合作与探究合作与探究例：例：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO .4530POBA200米米C 合作与探究合作与探究4530POBA200米米C例：例：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO . 合作与探究合

9、作与探究例：例：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO .4530POBA200米米C答案答案: : 米米)2003200( 合作与探究合作与探究变题变题1 1：如图，直升飞机在长如图，直升飞机在长400米的跨江大桥米的跨江大桥AB的上方的上方P点处，且点处，且A、B、O三点在一条直线三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30和和45 ，求飞机的高度，求飞机的高度PO .ABO30454

10、00米米P200米米POBA4530D答案答案: : 米米)3100300( 合作与探究合作与探究变题变题2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB左侧左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为点处，测得大楼的顶部仰角为45,测得测得大楼底部俯角为大楼底部俯角为30，求飞机与大楼之间的水，求飞机与大楼之间的水平距离平距离.4530200米米POBD 归纳与提高归纳与提高4530PA200米米CBO453045060452002004530ABOPABOP30454501. 建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，由距，由距BC40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的

11、仰角的仰角54，观察底部，观察底部B的的仰角为仰角为45，求旗杆的高度（精确到，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m5445ABCD40m545解：在等腰三角形解：在等腰三角形BCD中中ACD=90BC=DC=40m在在RtACD中中tanACADCDCtanACADC DCtan54401.38 4055.2所以所以AB=ACBC=55.240=15.2答：棋杆的高度为答：棋杆的高度为15.2m.练习练习 2. 如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD =

12、140，BD = 520m，D=50，那，那么开挖点么开挖点E离离D多远正好能使多远正好能使A，C，E成一直线（精确到成一直线（精确到0.1m）50140520mABCEDBED=ABDD=90cosDEBDEBDcosDEBDE BDcos505200.64 520332.8答：开挖点答：开挖点E离离点点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，在同一直线上，则则 ABD是是 BDE 的一个外角的一个外角1 1数形结合思想数形结合思想. .方法：方法：把数学问题把数学问题转化成解直角三角形转化成解直角三角形问题，问题，如果示意图不是直

13、角三角形，可添加适当的辅如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，助线，构造出直角三角形构造出直角三角形. . 思想与方法思想与方法2 2方程思想方程思想. .3 3转化（化归）思想转化（化归）思想. . 当堂反馈当堂反馈2.如图如图2，在离铁塔，在离铁塔BE 120m的的A处，处，用测角仪测量塔顶的仰角为用测角仪测量塔顶的仰角为30，已知测角仪高已知测角仪高AD=1.5m，则塔高，则塔高BE= _ （根号保留）（根号保留）图图1图图2(40 31.5)m1.如图如图1，已知楼房，已知楼房AB高为高为50m，铁塔塔基距楼房地基，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离间的水平距离BD为为100m，塔

14、高，塔高CD为为 m，则下面结论中正确的是（则下面结论中正确的是（ ）A由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为60B由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为60C由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为30 D由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为30100 3(50)3C 当堂反馈当堂反馈3.如图如图3，从地面上的，从地面上的C，D两点测得树顶两点测得树顶A仰角分别是仰角分别是45和和30，已知，已知CD=200m，点，点C在在BD上，则树高上，则树高AB等于等于 （根号保留）（根号保留）4.如图如图4，将宽为，将宽为1cm的纸条沿的纸条沿BC折叠，使折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为，则折

15、叠后重叠部分的面积为 （根号保留）（根号保留） 100( 31)m图图3图图4222cm3.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学在学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学在环西文化广场休息环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手中看到濠河对岸的电视塔，他想用手中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已测现已测出出ADB=40，由于不能过河，因此无法知道，由于不能过河，因此无法知道BD的长度，的长度，于是他向前走于是他向前走50米到达米到达C处测得处测得ACB=55，但他们在计，但他们在计算中碰到了困难，请大家一起

16、想想办法，求出电视塔塔楼算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔塔楼AB的高的高. 更上一层楼更上一层楼217tan40,tan55255 （参考数据：（参考数据： ）答案：答案：空中塔楼空中塔楼AB高高约为约为105米米塔楼塔楼濠河濠河 ABCD50m 55401.如图，某飞机于空中如图，某飞机于空中A处探测到目标处探测到目标C，此时，此时飞行高度飞行高度AC=1200米米，从飞机上看地平面控制从飞机上看地平面控制点点B的的俯角俯角=16031，求，求飞机飞机A到控制点到控制点B的距的距离离.(精确到精确到1米）米）A AB BC C2. 两座建筑两座建筑AB及及CD，其，其地面地面距

17、离距离AC为为50.4米米，从，从AB的顶点的顶点B测得测得CD的顶的顶部部D的的仰角仰角250, ,测得测得其底部其底部C的的俯角俯角a500, , 求两座建筑物求两座建筑物AB及及CD的的高高.（精确到（精确到0.1米）米）（ 第 2 题 ） 课本课本P78 第第3题题3.3.国外船只，除特许外，不得进入我国国外船只，除特许外，不得进入我国海洋海洋100100海里海里以内的区域，如图，设以内的区域，如图，设A A、B B是我们的观察站，是我们的观察站，A A和和B B 之间的之间的距离为距离为157.73157.73海里海里，海岸线是过，海岸线是过A A、B B的一条的一条直线，一外国船只

18、在直线，一外国船只在P P点，点，在在A A点测得点测得BAP=45BAP=450 0，同，同时在时在B B点测得点测得ABP=60ABP=600 0，问此时是否要向外国船只，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域发出警告，令其退出我国海域. .PAB4、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面的倾斜角的倾斜角BDC是否符合建筑标准，用一根长为是否符合建筑标准，用一根长为10m的铁管的铁管AB斜靠在石堡坎斜靠在石堡坎B处，在铁管处，在铁管AB上量上量得得AF长为长为1.5m，F点离地面的距离为点离地面的距离为0.9m，又量，又量出石堡坎顶部出

19、石堡坎顶部B到底部到底部D的距离为的距离为 m ，这样能计，这样能计算出算出BDC吗？若能，请计算出吗？若能，请计算出BDC的度数，若的度数，若不能，请说明理由。不能，请说明理由。m34ABCDFE1.5m0.9m10m利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题的的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案. 1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念的一些概念(仰角仰角,俯角俯角) 2.实际问题向数学模型的转化实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形解直角三角形)